非线性滤波

非线性滤波
现代数字信号处理非线性信号滤波滤波的信号模型统计状态转换方程联系当前状态与以前状态统计观察测量方程联系观察数据与当前状态噪声滤波方法线性加性高斯噪声非线性加性高斯噪声非线性非高斯非加性噪声卡尔曼滤波扩展卡尔曼滤波基于高斯积分无色变换的卡尔曼滤波粒子滤波器信号模型滤波方法非线性滤波通用贝叶斯非线性滤波加性高斯噪声非加性高斯噪声高斯积分卡尔曼滤波器无色卡尔曼滤波器MC卡尔曼滤波器扩展卡尔曼滤波器重采样粒子滤波器无重采样粒子滤波器SequentialImportanceSamplingParticleFilterSISPFBootstrapParticleFilter BPF基于高斯分布的粒子滤波器高斯积分粒子滤波器无色粒子滤波器MC粒子滤波器粒子退化问题RaoBlackwellasationPF粒子滤波器应用（一）贝叶斯滤波一个非线性随机系统可以由一个统计的状态转换方程和一个统计的观察测量方程共同定义。

贝叶斯框架下公式（）确定了预测当前状态的条件转换概率(给定前一时刻的状态和所有的观测值)：公式（）确定了预测当前观测值的似然概率(给定当前状态)：()()(*)(*)贝叶斯滤波假设n时刻状态的后验分布已经得到那么我们利用条件转移概率可以获得n时刻状态的先验分布：在n时刻可以获得新的观测矢量基于贝叶斯准则可以利用似然模型来更新先验概率分布从而得到n时刻状态的后验概率：迭代滤波问题通常就是在给定观测值情况下计算当前状态的某个函数的期望（如前两阶矩）。

即：遗憾的是上式在很多场合下（非线性非高斯）没有可分解的计算方法。

因此常常采用一些近似的方法求解上面的积分。

在线性模型和加性高斯噪声情况下上面各式有解析计算方法。

此时最优滤波为卡尔曼滤波。

两种可分解情况在两种情况下有可分解的计算方法：。

离散状态空间。

线性模型高斯噪声。

（Kalmanfilter）（二）卡尔曼滤波器状态转换方程观察测量方程W,V为互不相关的均值为方差为Q,R的高斯加性噪声f(),h(),Q,R已知且不随时间改变。

贝叶斯框架下状态方程确定了预测当前状态的条件转换概率为高斯分布：先验概率：当前状态的先验估计：设n时刻后验概率为高斯分布：设n时刻先验概率为高斯分布：设n时刻后验概率也为高斯分布则有（当加性高斯噪声且线性模型时可精确推得下面公式文献推导了一般情况下下面公式可用来近似后验概率为高斯分布）取后验均值作为状态的估计值。

卡尔曼滤波器认为后验概率以及先验概率在任何时刻都是高斯分布的这样由均值和方差就可以完全确定其概率分布（注意前面的个假设）。

PeterSMaybeck,Stochasticmodels,estimationandcontrol,AcademicPress,N
ewYork,SanFrancisco,London,AJHaug,Atutorialonbayesianestimationand trackingtechniquesapplicabletononlinearandnonGaussianProcesses,MTR W,July,通用卡尔曼滤波过程状态预测（先验均值）和预测误差功率（先验方差）观察值预测和预测方差先验预测互相关矩阵计算卡尔曼增益使用观察值更新预测（后验均值）和估计误差功率（后验方差）预测更新初始估计：卡尔曼滤波（线性模型）如果信号模型为线性噪声为加性高斯噪声则前面几个假设真实成立。

并且如果已知n时刻的后验均值和方差则先验和n时刻的后验均值和方差可以轻松算出。

线性卡尔曼滤波过程状态预测（先验均值）和预测误差功率（先验方差）观察值预测和预测方差先验预测互相关矩阵计算卡尔曼增益使用观察值更新预测（后验均值）和估计误差功率（后验方差）预测更新初始估计：非线性卡尔曼滤波求解：（三）高斯积分的数值近似求解高斯尔米特（GaussHermite）积分Choleskydecompositionn=高斯型求积公式基本思想:在节点数n固定情况下适当选取节点和求积系数使求积公式具有最高的代数精确度。

高斯尔米特（GaussHermite）积分M个积分点的求积公式的最高代数精度可达到M（即对于小于等于M阶多项式f(z)上式精确成立）高斯积分的数值近似求解无色变换（unscentedtranformation）可见,无色变换是高斯尔米特积分的简化（取前n项）和修改形式（权重参数不同）。

k是一个添加的自由度可以用来控制高阶项对结果的影响而且还
可以降低估计误差。

如果x假设是高斯的话那么根据经验值作者建议选择nk=。

如果x被假设成其他的分布那么k可以有不同的选择。

当k是负数的时候计算出的预测协方差矩阵可能是非正定的。

此时可以在伽马粒子χ周围计算而不是在预测均值周围计算协方差矩阵。

高斯积分的数值近似求解MonteCarloapproximation（四）非线性卡尔曼滤波GHKFUTKFMCKF（五）重要性采样固定的采样点和固定的权重系数（MC）正态分布的Ns个随机采样点当后验分布是非高斯分布或者非标准分布（无法用任何pdf描述或者多模分布）时很难直接得到此分布的采样点。

假设可以很容易得到q()分布的采样则可以如左计算。

此时q()成为重要性分布p()q()称为权重。

权重的非迭代形式只考虑n时刻状态时有下面权重公式：权重的迭代形式最优重要性概率为p()权重的迭代形式仅考虑一阶马尔科夫模型(所有方法都采用了此假设)：不考虑当前观测值：（改进方法不采用此简化）应用公式：观测模型状态模型采样模型（重要性分布）重要性采样概率的简化（六）粒子滤波器采样重要性重采样粒子滤波器GeneralSamplingImportanceResamplingParticleFilter(SIRPF)一个简单的重要性重采样方法一个简单的重要性重采样方法重要性采样概率的自助近似BootstrapApproximation重要性采样概率采用状态转换模型来近似。

权重：BootstrapParticleFilter简单仅需要确定两个概率（先验概率和状态转移概率）计算负担决定于粒子数目可能做到比GHKF,UKF 更少的粒子数目。

高斯和非高斯噪声严重依赖于对初始状态的估计。

可能很快收敛或者很快发散（由于仅在似然方程中用到了观测值）粒子权重退化问题退化现象：使用前面简化的重要性采样函数经过若干次迭代以后除了一个粒子以外其它粒子的权重已经微小到可以忽略的地步。

已有证明随着时间的推进粒子权重的方差只会增加因而避免退化现象是一个很重要的问题。

因为出现退化现象后大量用来更新粒子信息的计算其实是浪费了由于那些粒子的权重太小其信息对后验概率的影响已经微不足道。

以有效粒子数来描述粒子集的退化程度其定义为：需要注意有效粒子数小于等于实际粒子数目其值远小表明严重退化。

显然解决退化问题的简单方法就是使用很大的粒子数量。

但是这样的方法在很多场合下是不现实的。

所以通常我们使用其他两种方法来解决或者说缓解退化问题：）选择好的加权密度）使用重采样。

粒子退化现象示例SIS(SequentialImportantSampling)ParticleFilterwillnotworkwellbecauseo fdegeneracySIR的另一个问题由于使用先验进行采样（后验是先验与似然的乘积）似然很尖锐或者位于先验的某个尾部时将很难有足够的
粒子产生于两者的重叠区域这些粒子对后验分布的表达误差将因此增大。

改进方法是使采样分布包含当前的观测值：例如假设采样分布为高斯利用卡尔曼滤波器估计采样分布。

不需要重采样的粒子滤波器不需要重采样的粒子滤波器主要基于上式计算权重。

高斯粒子滤波器通用框架（非线性关系的线性近似）MC粒子滤波器MC粒子滤波器GaussHermite无色粒子滤波器（七）粒子滤波器的应用。

定位与导航（飞行平台车辆移动平台机器人）。

目标跟踪（机器人视频）。

系统错误变化检测。

金融数据处理（股票金融汇率的预测风险走势分析和预测投资组合的贯序操作指导）。

时间序列信号处理（滤波）和模式识别。

目前实验室应用（语音信号去噪视频对象跟踪）。

ParameterestimationusingparticlemethodsMCMCthenrecursivemaximuml ikelihoodalgorithm汽车定位导航基于数字地图匹配或者接收到各基站信号的信息图匹配精度可代替GPS基于高程匹配的飞行定位和导航Robots定位和导航在一个已知或者以前学习过的环境中多目标跟
踪手语识别。

视频序列（帧）提取手部。

利用左右手在x,y方向的速度变化建立各个手语单词模型。

利用粒子滤波器识别视频序列所表示的单词错误检测定位（FaultDetectandIsolation)LLR(Logarithmofthelikelihoodratio)function 当系统实际处于第一种参数状态和第二种参数状态时会出现也就是说当系统的参数发生突变时LLR的期望值会响应发生一个符号变化（从负到正或者从正到负）。

因此可以以此判别系统是否有参数突变发生。

对观察值到的联合LLR可以写为j：系统状态发生变化时刻需要估计出来。

使用上式判断是否有参数突变发生。

其中λ为一个正阈值。

假设有,…,M种不同的系统模式其中代表系统的正常状态。

则需要同时计算M个上面的LLR统计量如果有多个统计量都大于阈值则认为最大统计量所代表的错误模式发生。

此时使用统计量：。

利用粒子滤波器解决FDI对于M个不同的系统模式同时运行M 个粒子滤波器则可以获得M个不同的状态后验分布。

此时LLR统计量可以写为视频目标跟踪在线性模型和加性高斯噪声情况下上面各式有解析计算方法。

此时最优滤波为卡尔曼滤波。

高斯型求积公式基本思想:在节点数n固定情况下适当选取节点和求积系数使求积公式具有最高的代数精确度。