数列求和方法大全例题变式解析答案——强烈推荐

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1.7 数列前n 项和求法

知识点一 倒序相加法

特征描述：此种方法主要针对类似等差数列中

112n n a a a a -+=+=

,具有这样特点的数列．

思考： 你能区分这类特征吗？

知识点二 错位相减法

特征描述：此种方法主要用于数列}{n

n b a 的求和，

其中}{n

a 为等差数列，}{n

b 是公比为q 的等比数列，

只需用n

n

S

qS -便可转化为等比数列的求和，但要注

意讨论q=1和q ≠1两种情况． 思考：错位时是怎样的对应关系？

知识点三 分组划归法

特征描述：此方法主要用于无法整体求和的数

列，例如1，112+，11

124++，……， 11

124

+++……+1

12n -，可将其通项写成等比、等差等

我们熟悉的数列分别进行求和，再综合求出所有项的和．

思考：求出通项公式后如何分组？

知识点四 奇偶求合法

特征描述：此种方法是针对于奇、偶数项，要讨论的数列 例如11357(1)(21)

n n

S

n -=-+++

+--，要求S n ，就必须分奇

偶来讨论，最后进行综合． 思考：如何讨论？

知识点五 裂项相消法 特征描述：此方法主要针对12

23

111

1n n

a a

a a a a -+

++

这样的

变式2：数列求和2

2

22sin 1sin

2sin 3sin 89

++++

考点二 错位相减法 例题2：试化简下列和式： 21123(0)

n n

S x x nx x -=++++≠

变式1：已知数列)

0()12(,,5,3,112

≠--a a n a a n ，求前n 项

和。

变式2：求数列2

3

,2,3,

,,

n a a a na ；的前n 项和

变式3：求和：n n

a

n a a a S

++++=

32321

考点三：分组划归法

例三：求数列1，112+，11124++，……，11

124

+++……+1

12n -的和.

变式1：5，55，555，5555，…，5

(10

1)

9n

-，…；

变式2：13,24,35,,(2),

n n ⨯⨯⨯+；

变式3：数列1,(1+2),(1+2+22),……(1+2+2 2

+…

+2 n －1

),……前n 项的和是 （ ）

A ．2 n

B ．2 n －2

C ．2

n+1

－n －2 D ．n2n

考点四：奇偶求合法 例四：11357(1)(21)

n n

S n -=-+++

+--

变式1：求和：n 1

n S n-3-+ =1-5+9-13++(∈)

…（-1）（4） n N

变式2：已知数列{a n

}中a 1

=2，a n

+a

n+1

=1，S n 为{a n }前n 项和，求S n

变式3：已知数列{a n

}中a 1

=1，a 2

=4，a n

=a

n-2

+2 （n ≥3），S n 为{a n }前n 项和，

求S n

考点五：裂项相消法

例五：{a n }为首项为a 1,公差为d 的等差数列，求122334

11111n

n n

S a a a a a a a a -=

++++

变式1：1111

,,,,

,

132435(2)

n n ⨯

⨯⨯+；

变式2：数列通项公式为1

n

a n n =

++；求该数列前

n 项和

变式3：：求和)

12)(12()2(5343122

22+-+

+⋅+⋅=n n n S n

考点六：分类讨论法

例六：在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1，2a 2＋2，5a 3成等比数列． (1)求d ，a n ；

(2)若d<0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.

变式1：在等差数列}{n

a 中，,

369181716

-==++a a a a

其前n

项和为n

S .

（1）求n

S 的最小值，并求出n

S 的最小值时n 的值；

（2）求n

n

a a a T +++= 21.

变式2：设数列}{n

a 满足1

32,511

++=-=+n a a a

n n ，已知存

在常数q

p ,使数列}

{q pn a n

++ 为等比数列.求

n

a a a +++ 21.

变式3：已知等比数列{n

a }中，1

a =64，q=2

1，设n

b =log 2n

a ，求数列{|n

b |}的前n 项和n

S .