物理竞赛中的数学方法与物理方法-于强

例 4 质量为 m 的小球自 A 点以水平速度 v0 抛出，在重力和空气阻力作用下，经一段时 间落到地面上。小球在运动中受到的空气阻力为 f kv ，其中 k 为正的常量，v 为小球在 运动中的速度。试求解小球在任一时刻的速度。[3][4] 分析与解 本题中小球除了受到重力以外还受到空气阻力， 这是一个大小和方向都随着速度变化的变力，难以列方程求解。 这里我们把 v0 分解为两个分速度
l 1 N sin ml 2 2 12
研究与地面的接触点 P，地面系中其加速度必沿水平方向， 竖直方向加速度分量为零
an cos at sin aC
其中 an
2
l l ， at r 2 2
又根据质心动力学方程有
联立以上三式，将
mg N maC
2mgr 3 J mr 2 2mgr 3 J mr 2
条件为
u
解法二 本题也可以先求出圆盘沿切向方向给甲虫的作用力，求出该力所做的功，运用 动能定理求解。
对甲虫 M 受力分析如图所示，有
F mg sin mr
利用动力学方程
F mg sin
mr 2 J mg sin mg sin 2 J mr J mr 2
恰为零。根据临界条件，写能量方程 临界条件：当甲虫与竖直轴夹角 / 2 时，
1 WF mgr mu 2 2
解得 u
2
2mgr 3 ，即应满足 u J mr 2
2mgr 3 J mr 2
2 寻找动力学与运动学关系，化简求导和微分运算 运用求导和微分计算速度和加速度，思路清晰，不易出错。但若遇到计算量较大，或需 要一定的技巧的情况时，可以寻找动力学方程和运动学关系使问题简化。 “绳拉小船”是一个常见问题，小船速度很容易求解，加 速度则比较难。下面用两种方法求小船的加速度。 例 2 在离水面高度为 h 的岸边，有人用绳子拉船靠岸，若 人收绳的速率恒为 v0 ，试求船在离岸边距离 s 处时的加速度大 小为多少？ 解法一 本题直接利用加速度与速度的导数关系求解如下： 设船速为 v ，加速度为 a ，均沿水平方向； 为绳与水平面夹角，有
v d( 0 ) dv d v0 d v0 sin a ( ) cos dt dt cos d dt cos 2 ds d h h cos v0 ( ) dt dt sin s in 2
两式联立得
2 v0 tan 3 h
恰为零。 动力学方程改写为
d mgr sin d ( J mr 2 ) d d d d d d dt dt
利用
0 d mgr / 2 sin d ( J mr 2 ) u/r 0
得
u2
2vC ，及 vC 的表达式代入即可解得 l sin
N
3cos 2 6 cos 4 mg (1 3sin 2 ) 2
解法二只需要进行代数运算，计算量小，但是需要对物理关系有清晰的认识。解法一思 路明确， 但要进行复杂的求导， 两种方法各有优缺点， 可互相印证， 加深对物理关系的理解。 3 难以求解的问题，构造物理模型进行等效 构造物理模型可以让很多问题大大的简化。 常见的如一维谐振子， 数学上需要求解一个 二阶常系数线性微分方程， 在教学中常将其等效为一个匀速圆周运动在坐标轴上的投影。 又 比如求解曲线的曲率半径问题，在微积分中有具体的公式，但是计算较为繁琐，我们通过构 造具体运动来求解， 如构造斜抛运动求解抛物线的曲率半径， 构造天体运动或两个一维谐振 子在 x-y 平面上的合成求解椭圆的曲率半径等。 这里介绍一种速度构造方法，可以求解受到随速度变化的变力的物体的运动。
2vC aC
d 3 gl (1 cos ) sin 2 d d 3 gl (1 cos )sin 2 ( ) ( ) d 1 3sin 2 dt d 1 3sin 2

aC
2vC l sin
3 g (sin 2 3sin 4 2cos 2 cos 2 ) (1 3sin 2 )2



ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ


v0 sin 2 ar r ，其中 ， r h / sin h cos
2
又加速度 a 水平向左，有 a
v2 ar 0 tan 3 cos h
例 3 匀质细杆直立在光滑水平地面上，从静止状态释放 后，因不稳定而滑行地倾倒，如图所示。试问，在细杆全部着 地前，它的下端是否会跳离地面？[2] 解法一 设细杆质量为 m，长为 l，水平方向不受外力，质 心 速 度 vC 和 加 速 度 aC 沿 竖 直 方 向 。 根 据 瞬 心 法 有
其中竖直方向空气阻力与重力抵消，作匀速运动直线运动
v(t ) v
v1 方向空气阻力使该方向的运动为变减速直线运动，阻力写为 f1 kv1
m dv1 kv1 dt
k t m
v1 (t ) v1 e

k t v0 m e cos
小球在任一时刻的速度为 v(t ) 和 v1 (t ) 的矢量合成，可见在有阻力的空气中斜抛运动， 空气中的落体最终将逼近于一个固定的速率。 事实上， 这种速度构造方法也常用于计算带电粒子在磁场中漂移运动， 因比较常见这里 不再赘述。 4 结语 求解物理问题，对物理关系的把握和对数学的熟练运用缺一不可。当然，在不同的问题 中， 可能会偏重于两种思想其中的某一方面。 一般来说， 偏重物理思路的话需要的思维量大， 但计算量相对较小， 这样有助于培养学生对物理关系的理解。 运用微积分求解， 则思路清晰、
l vC ( sin ) ，其中 是杆的转动角速度。根据动能定理 2
有
l 1 2 1 1 mg (1 cos ) mvC I C 2 , I C ml 2 2 2 2 12
得
两边对 t 求导，得到
2 vC
3 gl (1 cos ) sin 2 1 3sin 2
物理竞赛中的数学方法与物理方法
于强 （余杭高级中学，杭州 浙江 311100） 摘 要： 运用微积分求解物理问题是大学物理中的基本方法， 运用物理模型和物理关系 求解则是中学物理竞赛教学中的常见思路。 本文通过实例分析了利用这两种方法求解动力学 问题的优缺点，探讨了教学中合理配合使用这两种思路的一些原则。 关键词：微积分；物理模型；等效；速度构造法 微积分是大学物理学中解决许多物理问题所常用的方法， 在中学物理竞赛教学和大学先 修衔接课程中也得到了广泛的运用。 一般来说， 复杂的动力学问题多可以运用微积分的方法 方便的求解，不过在教学中，有些时候采用物理模型和物理关系来解题，往往有利于学生体 会问题中蕴含的物理情境，更直观也更容易理解。本文列举了一些实例，分别利用数学方法 和寻找物理关系求解， 通过对比不同解法的优缺点， 尝试归纳和探讨在教学中应如何合理使 用这两种方法的一些原则。 1 寻找能量关系等，化简积分运算 动能定理可以看做是牛顿定律的积分形式， 物理中有很多类似的关系式， 所以运用能量 的思路可以代替一些积分运算。 例 1 均质圆盘的半径为 r，可绕其中心 O 在铅垂平面内自由 转动，转动惯量为 J。一质量为 m 的甲虫 M，以不变的相对速度 u 沿此圆环的边缘运动，初瞬时，圆盘静止不动，甲虫位于圆环的最 底部，且已有相对速度 u。[1] 求：甲虫能升高到与 O 点相同高度的条件。 解法一 设甲虫与竖直轴 y 夹角为 ， 圆盘相对于初始位置转动 角度为 ，取逆时针为正。对 O 轴写出系统的角动量定理有
3cos 2 6 cos 4 mg 地面支持力为 N mg maC (1 3sin 2 ) 2
取 x cos ，很容易判定二次函数
y 3x 2 6 x 4 0
故 N 0 ，即细杆全部着地前，杆的下端不会跳离地面。 解法二 求质心加速度 aC ，解法一采用对 vC 求导的方法，需要一点点技巧，且计算量 比较大，这里尝试寻找动力学关系求解。 以质心为参考点，系统绕质心变速转动，设 为角加速度， 写出转动方程有
d ] mgr sin mr 2 [ J dt
由运动学关系得到
t ，
u ， ，代入动力学方程得 则 r
u r
mgr sin 0 ( J mr 2 )
要求甲虫能升高到与 O 点相同高度，临界条件为当甲虫与竖直轴夹角 / 2 时，
v0 v v1
令 kv mg ，即构造出 v
mg 用来抵消重力。这样这个分 k
速度所代表的运动将向下作匀速运动，而 v1 与水平方向夹角 满足
tan
v1
mg kv0
v0 ， v v0 tan cos
此时小球受空气阻力
f k (v v1 ) mg kv1
a
解法二 这里尝试用运动学关系解答。
设船在地面系中加速度为 a ，在滑轮和绳所在的转动系中加速度为 a ，有


r 2 v0 ( r ) a a
滑轮和绳所在的参考系相对于地面系做角速度不断变化的转动参考系， 因此上式比较复 杂。不过注意到 v0 为定值，则 a 0 ，只有向心加速度项沿 ar 方向，故可以将 a 分解为沿 绳的 ar 和垂直于绳的 a ，有
步骤明确，方法上不易出错，但需要学生熟练掌握相关运算技巧。另外，有些时候选用或构 造特殊的物理模型进行等效，可以回避复杂的数学运算，达到化繁为简的目的。 参考文献 [1] 高云峰，蒋持平，吴鹤华，殷金生. 力学小问题及全国大学生力学竞赛试题[M]. 北 京：清华大学出版社，2003:210. [2] 舒幼生. 力学[M]. 北京：北京大学出版社，2005：178 [3] 程稼夫. 中学奥林匹克竞赛物理教程.力学篇[M]. 合肥：中国科学技术大学出版社， 2013:133 [4] B.A.卓里奇. 数学分析（第一卷） （第四版）[M]. 北京：高等教育出版社：267