最新线性规划问题及其数学模型

a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
约束条件：
a
21
x1
a22
x
2
a2n xn
b2
a
m
1
x1
am 2 x2
a mn xn
bn
x1 , x2 , , xn 0
•生产的产品不能,即 是 x1,x负 2 值 0 •如何安排生产， 最使 大 ,这 利是 润目标。
数学模型
目标函数 max z 2 x1 3x2
x1 2 x2 8
约束条件
:
4 x1
16 4 x2 12
x1 , x2 0
例2. 简化的环境保护问题
靠近某河流有两个化工厂(见 图1-1)，流经第一化工厂的河流 流量为每天500万立方米，在两 个工厂之间有一条流量为每天 200万立方米的支流。
规划问题的方法有多种，以下仅介绍单纯形法 。
1.1 问题的提出
从一个简化的生产计划安排问题开始
例1
某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种 产品，已知生产单位产品所需的设备台时 及A、B两种原材料的消耗，如表1-1所示。
资源 产 品 Ⅰ
设备
1
原材料 A
4
原材料 B
0
Ⅱ 拥有量 2 8台时 0 16 kg 4 12 kg
它们的对应关系可用表格表示：
决策变量
x1
x2
资源
xn
1
活
2
a11 a12 a1n a21 a22 a2n
b1 b2
动
m
a m 1 a m 2 a mn
bm
价值系数
c1
c2
cn
线性规划的一般模型形式
目标函数
max(min) z c1x1 c2 x2 cn xn 约束条件
(1.1 )
经第2工厂后的水质要求：
[0.8(2x1)(1.4x2 )] 2
700
1000
数学模型
目标函数 约束条件
min z 1000 x1 800 x2 x1 1
0.8 x1 x2 1.6 x1 2 x2 1.4 x1 , x2 0
共同的特征
(1)每一个线性规划问题都用一组决策变量
x1,x2, xn表示某一方案，这组决策变量的
第1节 线性规划问题及其数学模型
线性规划是运筹学的一个重要分支。线性规划在理论 上比较成熟，在实用中的应用日益广泛与深入。特别是 在电子计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的 线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了。 从解决技术问题的最优化设计到工业、农业、商业、交 通运输业、军事、经济计划和管理决策等领域都可以发 挥作用。它已是现代科学管理的重要手段之一。解线性
无可行解
当存在矛盾的约束条件时，为无可行域。
如果在例1的数学模型中增加一个约束条件: x11.5x28
该问题的可行域为空集，即无可行解，
图1-5-2 不存在可行域
x11.5x28
增加的约束条件
1.3 线性规划问题的标准型式
M1 :
目标函数： max z c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn ( , ) b1 a21 x1 a22 x2 a2n xn ( , ) b2
(1.2 )
am1x1 am 2 x2 am xn ( , ) bm
x1 , x2 , , xn 0
(1.3 )
1.2 图解法
例1是二维空间（平面）线性规划问题， 可用作图法直观地来表述它的求解。
• 第二 化工厂处理工业污水的成本是800元/万立方 米。现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应 处理多少工业污水，使这两个工厂总的处理工业污 水费用最小。
建模型之前的分析和计算
设：
第一化工厂每天处理工业污水量为x1万立方米， 第二化工厂每天处理工业污水量为x2万立方米
经第2工厂前的水质要 (2求x1： ) 2 500 1000
续例1
该工厂 • 每生产一件产品Ⅰ可获利2元， • 每生产一件产品Ⅱ可获利3元， • 问应如何安排计划使该工厂获利
最多?
如何用数学关系式描述这问题， 必须考虑
•设x1,x2分别表示计 I,II产 划品 生的 产数 称它们为决策变量。
•生产 x1,x2的数量多少，有 受量 资的 源 ,限 拥 这是约束条x1 件 2x2。 8即 ;4x116;4x2 12
因存在 x1,x2 0 必须在直角坐标的第1象限内作图， 求解。
图1-2
max z 2 x 1 3 x 2
x1 2 x2 2
4 x1
16 4 x 2 12
x 1 , x 2 0
图1-3 目标值在（4，2）点，达到最大值14 目标函数 mz ax 2x13x2
x2
2 3
x1
z 3
值就代表一个具体方案。一般这些变量取值是 非负且连续的；
(2)要有各种资源和使用有关资源的技术数据 ，创造新价值的数据；
a i; jcj(i1 , m ;j1 , n)
共同的特征（继续）
(3) 存在可以量化的约束条件，这些约束条 件可以用一组线性等式或线性不等式来表 示;
(4) 要有一个达到目标的要求，它可用决策 变量的线性函数(称为目标函数)来表示。 按问题的不同，要求目标函数实现最大化 或最小化。
表示一簇平行线
可能出现的几种情况
（1）无穷多最优解(多重最优解)，见图1-4 （2）无界解，见图1-5-1 （3）无可行解，见图1-5-2
图1-4 无穷多最优解(多重最优解)
目标函数 max z=2x1+4x2
图1-5-1 无界解
max z x1 x 2
2
x1 x1
x4 x2 2
x1 , x 2 o
线性规划问题及其数学模型
第1章 线性wenku.baidu.com划与单纯形法
第1节 线性规划问题及其数学模型 第2节 线性规划问题的几何意义 第3节 单纯形法 第4节 单纯形法的计算步骤 第5节 单纯形法的进一步讨论 第6节 应用举例
第1节 线性规划问题及其数学模型
• 1.1 问题的提出 • 1.2 图解法 • 1.3 线性规划问题的标准形式 • 1.4 线性规划问题的解的概念
图1-1
续例2
• 第一 化工厂每天排放含有某种有害物质的工业污 水2万立方米，第二化工厂每天排放这种工业污水 1.4万立方米。从第一化工厂排出的工业污水流到 第二化工厂以前，有20%可自然净化。根据环保要 求，河流中工业污水的含量应不大于0.2%。这两个 工厂都需各自处理一部分工业污水。第一化工厂处 理工业污水的成本是1000元/万立方米。