一阶逻辑

现在假设个体域D是全总个体域 这时，xF（x）和xG（x）不能表达原命题 的意义，因为 1. 所有的人要死的。 2. 有的人活百岁以上。 变成了 1. 所有的个体要死的。 变严格 2. 有的个体活百岁以上。 变松垮
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个体域D是全总个体域时,命题应转述为 1. 所有的人要死的。 2. 有的人活百岁以上。 1. 对所有个体而言,如果它是人,则它是要死 的。 2. 存在着个体,它是人并且活百岁以上。
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1. 一切人都不一样高。 也可将命题转译为： 不存在这样的事实：有两个个体x和y，x是人， y是人，而且x与y不是同一个人，x和y一样高。
则命题可符号化为 （xy(M(x)∧M(y)∧H(x，y)∧L(x，y))） 两种符号化的结果是等值的
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2.每个自然数n都有后继数n+1。 命题可转译为： 对于所有的个体，如果它是一个自然数，则肯 定存在另一个个体，它是自然数而且是前一个 个体的后继数。 令F（x）：x是自然数； H（x，y）：y是x的后继数。 则命题可符号化为 x(F(x)→y(F(y)∧H(x，y)))
个体变项：表示抽象的或泛指的个体的词
用小写的英文字母x，y，z，…表示
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个体域（论域）：个体变项的取值范围 个体域可以是有限事物的集合，例如： {1，2，3，4} {a，b，c} {计算机，2，狮子} 也可以是无限事物的集合，例如自然数 集合，实数集合等 特别是，当无特殊声明时，将宇宙间的 一切事物组成个体域，称为全总个体域
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量词：有些命题除了有个体词和谓词外，还 有表示数量的词 例如： 所有的人要死的 有的人活百岁以上
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两种量词
全称量词：对应日常语言中的“一切”， “所有的”，“任意的”等词，用符号“” 表示 x 表示对个体域里的所有个体， xF（x）表示个体域里的所有个体都有性质F
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与谓词相关的概念 : 谓词常项：表示具体性质或关系的谓词 例如：可以用F表示“…是无理数“
谓词变项：表示抽象的或泛指的谓词
谓词常项和变项都用大写英文字母F，G， H，…表示 F，G，H…表示的是谓词常项还是谓词变项 要根据上下文而定
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F（x）: 表示x具有性质F 如F（x）:x是学生 F（x，y） ：表示x和y具有关系F 如F（x，y） ：x和y是同学
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使用量词时的注意点 多个量词同时出现时，不能随意颠倒它们的 顺序。颠倒后会改变原命题的含义 例如，对于命题“对任意的x，存在着y，使 得x+y=5”应符号化为： xyH（x，y） 其中，H（x，y）：x+y=5 而不能符号化为 yxH（x，y） 这一公式表示：存在y，对任意的x有x+y=5
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练习:在一阶逻辑下将命题符号化
1.鸟都会飞翔 2.并不是所有的人都爱吃糖 3.有人爱看小说 4.没有不爱看电影的人
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练习:在一阶逻辑下将命题符号化 1.鸟都会飞翔 F(x):x是鸟； G(x):x会飞； x(F(x)→G(x)) 2.并不是所有的人都爱吃糖 F(x):x是人； G(x):x爱吃糖； ┐ x(F(x)→G(x)) 或： x(F(x) ∧ ┐ G(x)) 3.有人爱看小说 F(x):x是人； G(x):x爱看小说； x(F(x) ∧ G(x)) 4.没有不爱看电影的人 F(x):x是人； G(x):x爱看电影； ┐ x(F(x) ∧ ┐ G(x)) 39
以后常称这种个体变项和谓词的联合体为
谓词
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例如： 若 F（x）表示“x是无理数”， L（x，y）表示“x比y高2厘米”， a表示√2，b表示小李，c表示小赵 则 F（a） 表示“√2是无理数”， L（b，c） 表示“小李比小赵高2厘米”。
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谓词的元



一个谓词中所包含的个体词的数目称为该 谓词的元数 含有n（n ≧1）个个体词的谓词成为n元谓 词 一元谓词通常表示个体词的性质， n（n ≧2）元谓词通常表示个体词之间 的关系 用P（x1，x2，…，xn）表示泛指的n元谓词， 是以个体变项x1，x2，…，xn的个体域为定 义域，以{0，1}为值域的n元函数 在这里，n个个体变项的顺序不能随意改动
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有时将不带个体变项的谓词称为0元谓词

L（a，b），L（c，d）是0元谓词


一旦一个0元谓词中的谓词的意义明确之 后，该0元谓词就是命题 命题逻辑中的简单命题都可以用0元谓词 表示，因而

可将命题看成谓词的特殊情况 命题逻辑中的联结词在一阶逻辑中均可应用 一阶逻辑是命题逻辑的拓展
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例: 将下列命题用0元谓词符号化 1.2是素数且是偶数. 2.如果2大于3,则2大于4. 3. 如果张明比李民高,李民比赵亮高,则张明比 赵高. 4.l 解题步骤： （a）找出个体词和谓词 （b）符号化谓词和个体词 （c）使用符号化了的谓词和个体词及逻辑联 结词进行命题符号化
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1. 2是素数且是偶数 （a）找出个体词和谓词 个体常项：2 谓词常项：…是素数、…是偶数 （b）符号化谓词和个体词 F（x）：x是素数 G（x）：x是偶数 a：2 （c）命题符号化为F（a）∧G（a）

个体词：可以独立存在的客体


可以是一个具体的事物，也可以是一个抽象的概念 例如，李明，玫瑰花，黑板，自然数，√2 ，思想，定 理等都可以做为个体词

谓词：用来刻画个体词的性质或个体词之间关系 的词语

例如：××是人； ××和××是同学
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例：在下面3个简单命题中：
1. √2是无理数 2. 王宏是程序员。 3. 小李比小赵高2厘米。
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2.如果2大于3,则2大于4. （a）找出个体词和谓词 个体常项：2，3，4 谓词常项：…大于… （b）符号化谓词和个体词 F（x，y）：x大于y a：2 b：3 c：4 （c）命题符号化为F（a,b） → F（a,c）
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3.如果张明比李民高,李民比赵亮高,则张明比 赵亮高. （a）找出个体词和谓词 个体常项：张明，李民，赵亮 谓词常项：…比…高 （b）符号化谓词和个体词 F（x，y）：x比y高 a：张明 b：李民 c：赵亮 （c）命题符号化为: （F（a,b） ∧ F（b,c）） → F（a,c）
前提:P,Q 结论:R
（PQ） R表示上述推理，但它不是重言式
所以,无法判断“苏格拉底三段论”的正确性
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其原因是P，Q，R这样的表示太粗略，没有把
它们的内在联系反映出来。
要反映这种内在联系，就要对简单命题做进
一步的分析，分析出其中的个体词、谓词、量 词等，研究它们的形式结构及逻辑关系，总结 出正确的推理形式和规则 -----这就是一阶逻辑所研究的内容
例 使用多元谓词在一阶逻辑中将下列命题符号 化。 1. 一切人都不一样高。 2. 每个自然数n都有后继数n+1。 3. 有的自然数n无先驱数n-1。 解 ：因为题目中没指明个体域，因而使用全总 个体域。
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1.一切人都不一样高。 可将命题转译（详述）为： 对于任意的两个个体x和y，如果x是人，y是人, 而且x与y不是同一个人（个体），那么x和y不 一样高。 令M（x）:x是人 H（x，y）：x与y是同一个人（个体） L(x，y)：x和y一样高。 则命题可符号化为 xy(（M(x)∧M（y）∧H(x，y)） → L(x，y))
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谓词与命题的关系
一般说来，谓词P（x1，x2，…，xn） 不是命题，它的真值无法确定 为了使它成为命题，必须

指定某一谓词常项代替P 指定n个个体常项a1，a2，…，an分 别代替n个个体变项x1，x2，…，xn

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例如，L（x，y）是一个2元谓词，它不 是命题 当令L（x，y）表示“x小于y”之后， 该谓词中的谓词部分便成为了常项， 但它不是命题 当取a为2，b为3时，L（a，b）才是 命题，并且是真命题 同理，当取c为2，d为1时，L（c，d） 为假命题
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1.
2.
凡偶数均能被2整除 F（x）：x 是偶数 G（x）：x 能被2整除 x（F（x）→G（x）） 存在着偶素数。 F（x）：x 是偶数 H（x）：x 是素数 x（F（x）∧H（x））
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3.没有不犯错误的人 M（x）：x 是人 I（x）：x 犯错误 x（M（x）∧I（x）） 或x（M（x）→I（x）） 4. 在北京工作的人未必都是北京人 J（x）：x 是人 K（x）: x在北京工作 P（x）: x是北京人 x（（J（x）∧K（x））→P（x））
需要引进新的谓词 M（x）：x是人。 这样的表示了个体词取值范围的谓词称为 特性谓词 28
使用特性谓词M（x），所给命题就可以 符号化为:
1. 2. x（M（x）→F（x）） x（M（x）∧G（x））
注意：特性谓词在不同量词下的不同用法
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使用量词时的注意点 在不同的个体域中，命题符号化的形式可 能不一样 如果事先没有给出个体域，都应以全总个 体域为个体域 在引入特性谓词后，使用全称量词与存在 量词符号化的形式是不同的 个体域和谓词的含义确定之后，n元谓词要 转化为命题至少需要n个量词
一阶逻辑也称谓词逻辑
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第2章 一阶逻辑
本章学习: 一阶逻辑的基本概念 一阶逻辑合式公式及解释 一阶逻辑等值式 一阶逻辑推理理论
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今日内容

一阶逻辑的基本概念

个体词、谓词、量词等基本概念 一阶逻辑下如何将命题符号化
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2.1 一阶逻辑基本概念
来自百度文库
一阶逻辑中，简单命题被分解成个体词和谓词
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例 :在一阶逻辑中将下面命题符号化。 1. 凡有理数均可表成分数。 2. 有的有理数是整数 个体域为全总个体域
解：F（x）：x 可表成分数 G（x）：x 是整数 引入特性谓词： R（x）：x 是有理数。 1. x（R（x）→F（x）） 2. x（R（x）∧G（x））
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例:在一阶逻辑中将下面命题符号化。 1. 凡偶数均能被2整除 2. 存在着偶素数。 3. 没有不犯错误的人。 4. 在北京工作的人未必都是北京人。 解 ：本题未指定个体域，因而取个体域为全总 个体域。
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使用量词时的注意点 当个体域为有限集时， 如D={a1，a2…，am}， 对于任意的谓词A（x），都有
xA（x） A（a1）∧A（a2）∧…∧A（am） xA（x） A（a1）∨A（a2）∨…∨A（am）
这实际上是将一阶逻辑中的命题公式转化 成为了命题逻辑中的命题公式
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例:个体域D={a,b,c}，消去下面公式中的量词 xR（x） ∧ yS（y） 原式 R（a）∧R（b）∧R（c） ∧ yS（y） R（a）∧R（b）∧R（c） ∧ ( S（a）∨S（b）∨S（c）)
两种量词
存在量词：对应日常语言中的“存在着”， “有一个”，“至少有一个”等词，用符号 “”表示
x表示存在个体域里的个体， xF（x）表示至少存在个体域里的一个个体 具有性质F
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带量词命题的符号化 例如： 1.所有的人要死的 2.有的人活百岁以上 由于量词与个体域之间有紧密的联系，在考虑 命题符号化问题时，必须先明确个体域 假设个体域D是人类的集合 1. 符号化为 xF（x），其中，F（x）：x是要死的 这个命题是真命题 2. 符号化为 xG（x），其中，G（x）：x活百岁以上 这个命题也是真命题 26
个体词:√2，王宏, 小李,小赵 谓词: …是无理数 ，…是程序员，…比…高2厘米 其中： “…是无理数”，“…是程序员”：表示个体词性 质 “…比…高2厘米”：表示个体词之间关系
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注：个体词与谓词的划分并不唯一
例如，可以把“√2”和“无理数”看成个体词， 把“…是…：看成谓词
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与个体词相关的概念: 个体常项：表示具体的或特定的个体的词 用小写的英文字母a，b，c，…表示
离散数学
一阶逻辑
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内容回顾
命题逻辑的特点和局限性: 命题是命题演算的基本单位 不再对简单命题进行分解 无法研究命题的内部结构及命题之间内在 的联系 在推理方面存在的局限性 例如，无法判断著名的“苏格拉底三段论” 的正确性 课P37
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P：凡人都是要死的 Q：苏格拉底是人 R：所以苏格拉底是要死的