德州数学圆 几何综合单元测试题(Word版 含解析)

德州数学圆 几何综合单元测试题（Word 版 含解析）

一、初三数学 圆易错题压轴题（难）

1．如图，二次函数y=x 2-2mx+8m 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边且OA≠OB ),交y 轴于点C ，且经过点（m ，9m ）,⊙E 过A 、B 、C 三点。 （1）求这条抛物线的解析式； （2）求点E 的坐标；

（3）过抛物线上一点P （点P 不与B 、C 重合）作PQ ⊥x 轴于点Q ，是否存在这样的点P 使△PBQ 和△BOC 相似？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由

【答案】（1）y=x 2

+2x-8（2）（-1，-

72）（3）（-8，40），（-15

4，-1316），（-174

，-25

16

） 【解析】

分析：（1）把(),9m m 代入解析式，得：22289m m m m -+=，解这个方程可求出m 的值；

（2）分别令y =0和x =0，求出OA ，OB ，O C 及AB 的长，过点E 作EG x ⊥轴于点

G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ，AE ,设OF =GE =a ,根据AE CE = ，列方过程求出a 的值，

从而求出点E 的坐标；

（3）设点P (a , a 2+2a -8)， 则2

28,2PQ a a BQ a =+-=-，然后分PBQ ∽CBO 时

和PBQ ∽BCO 时两种情况，列比例式求出a 的值，从而求出点P 的坐标.

详解：（1）把(),9m m 代入解析式，得：22289m m m m -+= 解得：121,0m m =-=（舍去） ∴228y x x =+-

（2）由（1）可得：2

28y x x =+-，当0y =时，124,2x x =-=;

∵点A 在点B 的左边 ∴42OA OB ，== ， ∴6AB OA OB =+=， 当0x =时，8y =-， ∴8OC =

过点E 作EG x ⊥轴于点G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ，,

则11

6322

AG AB =

=?= ，

设

，则

， 在Rt AGE ?中，，

在

中，

()2

22218CE EF CF a =+=+-，

∵AE CE = ，

∴()2

2918a a +=+- ，

解得：7

2a =

， ∴712E ?

?-- ??

?

，

； （3）设点()2,28a a a P +-，

则2

28,2PQ a a BQ a =+-=-， a.当PBQ ?∽CBO ?时，

PQ CO

BQ OB =，即228822

a a a +-=-， 解得：10a =（舍去）；

22a =（舍去）；38a =- ，

∴()18,40P - ；

b.当PBQ ?∽BCO ?时，

PQ BO

BQ CO =，即228228

a a a +-=-， 解得：12a =（舍去），2154a =-；317

4

a =- ， ∴21523,416P ??-

- ???；31725416P ??

- ???

， ； 综上所述，点P 的坐标为：()18,40P -，21523,416P ??--

???，31725416P ??

- ???

， 点睛：本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与坐标轴的交点，垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质和分类讨论的数学思想，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系、相似三角形的性质是解答本题的关键.

2．已知圆O 的半径长为2，点A 、B 、C 为圆O 上三点，弦BC=AO ，点D 为BC 的中点，

(1)如图，连接AC 、OD ，设∠OAC=α，请用α表示∠AOD ； (2)如图，当点B 为AC 的中点时，求点A 、D 之间的距离：

(3)如果AD 的延长线与圆O 交于点E ，以O 为圆心，AD 为半径的圆与以BC 为直径的圆相切，求弦AE 的长．

【答案】（1）1502AOD α∠=?-；（2）7AD =3331331

+- 【解析】 【分析】

（1）连接OB 、OC ，可证△OBC 是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOC 等于30°，OA=OC 可得∠ACO=∠CAO=α，利用三角形的内角和定理即可表示出∠AOD 的值. （2）连接OB 、OC ，可证△OBC 是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOB 等于30°，因为点D 为BC 的中点，则∠AOB=∠BOC=60°，所以∠AOD 等于90°，根据OA=OB=2,在直角三角形中用三角函数及勾股定理即可求得OD 、AD 的长.

（3）分两种情况讨论：两圆外切，两圆内切.先根据两圆相切时圆心距与两圆半径的关系，求出AD 的长，再过O 点作AE 的垂线，利用勾股定理列出方程即可求解.

【详解】

(1)如图1：连接OB、OC.∵BC=AO

∴OB=OC=BC

∴△OBC是等边三角形∴∠BOC=60°

∵点D是BC的中点

∴∠BOD=1

30 2

BOC

∠=?

∵OA=OC

∴OAC OCA

∠=∠=α

∴∠AOD=180°-α-α-30?=150°-2α

(2)如图2：连接OB、OC、OD.

由（1）可得：△OBC是等边三角形，∠BOD=1

30 2

BOC

∠=?

∵OB=2，

∴OD=OB?cos30?=3

∵B为AC的中点，

∴∠AOB=∠BOC=60°

∴∠AOD=90°

根据勾股定理得：227

AO OD

+=

（3）①如图3.圆O 与圆D 相内切时： 连接OB 、OC ，过O 点作OF ⊥AE ∵BC 是直径，D 是BC 的中点 ∴以BC 为直径的圆的圆心为D 点 由（2）可得：OD=3，圆D 的半径为1 ∴AD=31+ 设AF=x

在Rt △AFO 和Rt △DOF 中，

2222OA AF OD DF -=-

即(

)

2

222331x x -=-+-

解得：331

x 4+=

∴AE=331

2AF +=

②如图4.圆O 与圆D 相外切时： 连接OB 、OC ，过O 点作OF ⊥AE

∵BC 是直径，

D 是BC 的中点 ∴以BC 为直径的圆的圆心为D 点 由（2）可得：OD=3，圆D 的半径为1 ∴AD=31- 在Rt △AFO 和Rt △DOF 中，

2222OA AF OD DF -=-

即()

2

222331x x -=--+ 解得：331

x -=

∴AE=331

2AF -=

【点睛】

本题主要考查圆的相关知识：垂径定理，圆与圆相切的条件，关键是能灵活运用垂径定理和勾股定理相结合思考问题，另外需注意圆相切要分内切与外切两种情况.

3．如图，矩形ABCD 中，BC ＝8，点F 是AB 边上一点（不与点B 重合）△BCF 的外接圆交对角线BD 于点E ，连结CF 交BD 于点G ． （1）求证：∠ECG ＝∠BDC ．

（2）当AB ＝6时，在点F 的整个运动过程中． ①若BF ＝2时，求CE 的长．

②当△CEG 为等腰三角形时，求所有满足条件的BE 的长．

（3）过点E 作△BCF 外接圆的切线交AD 于点P ．若PE ∥CF 且CF ＝6PE ，记△DEP 的面积

为S 1，△CDE 的面积为S 2，请直接写出1

2

S S 的值．

【答案】（1）详见解析；（2182

当BE为10，

39

5

或

44

5

时，△CEG为等腰三

角形；（3）7 24

.

【解析】

【分析】

（1）根据平行线的性质得出∠ABD＝∠BDC，根据圆周角定理得出∠ABD＝∠ECG，即可证得结论；

（2）根据勾股定理求得BD＝10，

①连接EF，根据圆周角定理得出∠CEF＝∠BCD＝90°，∠EFC＝∠CBD．即可得出sin∠EFC

＝sin∠CBD，得出

3

5

CE CD

CF BD

==，根据勾股定理得到CF＝62CE

18

2

5

；

②分三种情况讨论求得：

当EG＝CG时，根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可得到∠GEC＝∠GCE＝∠ABD＝

∠BDC，从而证得E、D重合，即可得到BE＝BD＝10；

当GE＝CE时，过点C作CH⊥BD于点H，即可得到∠EGC＝∠ECG＝∠ABD＝∠GDC，得到

CG＝CD＝6．根据三角形面积公式求得CH＝24

5

，即可根据勾股定理求得GH，进而求得

HE，即可求得BE＝BH＋HE＝39

5

；

当CG＝CE时，过点E作EM⊥CG于点M，由tan∠ECM＝

4

3

EM

CM

=．设EM＝4k，则CM

＝3k，CG＝CE＝5k．得出GM＝2k，tan∠GEM＝

21

42

GM k

EM k

==，即可得到tan∠GCH＝

GH CH =

1

2

．求得HE＝GH＝

12

5

，即可得到BE＝BH＋HE＝

44

5

；

（3）连接OE、EF、AE、EF，先根据切线的性质和垂直平分线的性质得出EF＝CE，进而证得四边形ABCD是正方形，进一步证得△ADE≌△CDE，通过证得△EHP∽△FBC，得出EH＝

1 6BF，即可求得BF＝6，根据勾股定理求得CF＝10，得出PE＝

10

6

，根据勾股定理求得

PH，进而求得PD，然后根据三角形面积公式即可求得结果．【详解】

（1）∵AB∥CD．

∴∠ABD＝∠BDC，

∵∠ABD＝∠ECG，

∴∠ECG＝∠BDC．

（2）解：①∵AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，

∴BD＝10，

如图1，连结EF，则∠CEF＝∠BCD＝90°，∵∠EFC＝∠CBD．

∴sin∠EFC＝sin∠CBD，

∴

3

5 CE CD CF BD

==

∴CF

∴CE

②Ⅰ、当EG＝CG时，∠GEC＝∠GCE＝∠ABD＝∠BDC．∴E与D重合，

∴BE＝BD＝10．

Ⅱ、如图2，当GE＝CE时，过点C作CH⊥BD于点H，∴∠EGC＝∠ECG＝∠ABD＝∠GDC，

∴CG＝CD＝6．

∵CH＝BC CD24 BD5

?

=，

∴GH

18

5 =，

在Rt△CEH中，设HE＝x，则x2+（24

5

）2＝（x+

18

5

）2

解得x＝7

5

，

∴BE＝BH+HE＝32

5

+

7

5

＝

39

5

；

Ⅲ、如图2，当CG＝CE时，过点E作EM⊥CG于点M．

∵tan∠ECM＝

4

3 EM

CM

=．

设EM＝4k，则CM＝3k，CG＝CE＝5k．

∴GM＝2k，tan∠GEM＝

21

42 GM k

EM k

==，

∴tan∠GCH＝GH

CH

＝tan∠GEM＝

1

2

．

∴HE＝GH＝12412 255

?=，

∴BE＝BH+HE＝321244 555

+=，

综上所述，当BE为10，39

5

或

44

5

时，△CEG为等腰三角形；

（3）解：∵∠ABC＝90°，

∴FC是△BCF的外接圆的直径，设圆心为O，如图3，连接OE、EF、AE、EF，

∵PE是切线，

∴OE⊥PE，

∵PE∥CF，

∴OE⊥CF，

∵OC＝OF，

∴CE＝EF，

∴△CEF是等腰直角三角形，

∴∠ECF＝45°，EF FC，

∴∠ABD＝∠ECF＝45°，

∴∠ADB＝∠BDC＝45°，

∴AB＝AD＝8，

∴四边形ABCD是正方形，

∵PE∥FC，

∴∠EGF＝∠PED，

∴∠BGC＝∠PED，

∴∠BCF＝∠DPE，

作EH⊥AD于H，则EH＝DH，

∵∠EHP＝∠FBC＝90°，

∴△EHP∽△FBC，

∴

1

6 EH PE

BF FC

==，

∴EH＝1

6 BF，

∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，∴△ADE≌△CDE，

∴AE＝CE，

∴AE＝EF，

∴AF＝2EH＝1

3 BF，

∴1

3

BF+BF＝8，

∴

BF

＝6，

∴EH＝DH＝1，CF＝22

BF BC

+＝10，

∴PE＝1

6

FC＝

5

3

，

∴PH

＝22

4

PE EH

3

-=，

∴PD ＝47

1

33 +=，

∴1

27

7 3

824

S PD

S AD

===．

【点睛】

本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，圆周角定理、三角形的面积以及相似三角形的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．

4．已知：在△ABC中，AB=6，BC=8，AC=10，O为AB边上的一点，以O为圆心，OA长为半径作圆交AC于D点，过D作⊙O的切线交BC于E.

（1）若O为AB的中点(如图1)，则ED与EC的大小关系为：ED EC（填“”“”或“”）（2）若OA<3时（如图2），（1）中的关系是否还成立？为什么？

（3）当⊙O过BC中点时（如图3），求CE长.

【答案】（1）ED=EC；（2）成立；（3）3

【解析】

试题分析：（1）连接OD，根据切线的性质可得∠ODE=90°，则∠CDE+∠ADO=90°，由AB=6，BC=8，AC=10根据勾股定理的逆定理可证得∠ABC=90°，则∠A+∠C=90°，根据圆的基本性质可得∠A=∠ADO，即可得到∠CDE=∠C，从而证得结论；

（2）证法同（1）；

（3）根据直角三角形的性质结合圆的基本性质求解即可.

（1）连接OD

∵DE为⊙O的切线

∴∠ODE=90°

∴∠CDE+∠ADO=90°

∵AB=6，BC=8，AC=10

∴∠ABC=90°

∴∠A+∠C=90°

∵AO=DO

∴∠A=∠ADO

∴∠CDE=∠C

∴ED=EC；

（2）连接OD

∵DE为⊙O的切线

∴∠ODE=90°

∴∠CDE+∠ADO=90°

∵AB=6，BC=8，AC=10

∴∠ABC=90°

∴∠A+∠C=90°

∵AO=DO

∴∠A=∠ADO

∴∠CDE=∠C

∴ED=EC；

（3）CE=3.

考点：圆的综合题

点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．

5．如图1，四边形ABCD中，、为它的对角线，E为AB边上一动点（点E不与点A、B重合），EF∥AC交BC于点F，FG∥BD交DC于点G，GH∥AC交AD于点H，连接HE．记四边形EFGH的周长为，如果在点的运动过程中，的值不变，则我们称四边形ABCD为“四边形”，此时的值称为它的“值”．经过探究，可得矩形是“四边形”．如图2，矩形ABCD中，若AB=4，BC=3，则它的“值”为．

（1）等腰梯形（填“是”或“不是”）“四边形”；

（2）如图3，是⊙O的直径，A是⊙O上一点，，点为上的一动点，将△沿的中垂线翻折，得到△．当点运动到某一位置时，以、、、、、中的任意四个点为顶点的“四边形”最多，最多有个．

【答案】“值”为10；（1）是；（2）最多有5个．

【解析】

试题分析：仔细分析题中“四边形”的定义结合矩形的性质求解即可；

（1）根据题中“四边形”的定义结合等腰梯形的性质即可作出判断；

（2）根据题中“四边形”的定义结合中垂线的性质、圆的基本性质即可作出判断.

矩形ABCD中，若AB=4，BC=3，则它的“值”为10；

（1）等腰梯形是“四边形”；

（2）由题意得当点运动到某一位置时，以、、、、、中的任意四个点为顶点的“四边形”最多，最多有5个.

考点：动点问题的综合题

点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．

6．如图①、②、③是两个半径都等于2的⊙O1和⊙O2，由重合状态沿水平方向运动到互相外切过程中的三个位置，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，分别连结O1A、O1B、O2A、O2B和AB．

(1)如图②，当∠AO1B=120°时，求两圆重叠部分图形的周长l；

(2)设∠AO1B的度数为x，两圆重叠部分图形的周长为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(3)在(2)中，当重叠部分图形的周长时，则线段O2A所在的直线与⊙O1有何位置关系？请说明理由.除此之外，它们是否还有其它的位置关系？如果有，请直接写出其它位置关系时的x的取值范

围.

【答案】（1）8

3

（2）（0≤x≤180）（3）O2A与⊙O1相切；当0≤x≤90和

0≤x≤180时，线段O2A所在的直线与⊙O1相交

【解析】

试题分析：（1）解法一、依对称性得，∠AO2B=∠AO1B=120°,

∴

解法二、∵O1A=O1B=O2A=O2B

∴AO1BO2是菱形∴∠AO2B=∠AO1B=120°∴l=2×?A=

(2)∵由（1）知，菱形AO1BO2中∠AO2B=∠AO1B=x度,

∴重叠图形的周长, 即（0≤x≤180）

(3) 当时，线段O2A所在的直线与⊙O1相切！

理由如下：∵，由（2）可知：，解之x=90度

∴AO1B=90°,因此菱形AO1BO2是正方形，∴O1AO2=90°,即O2A⊥O1A,

而O1A是⊙O1的半径，且A为半径之外端；∴O2A与⊙O1相切．

还有如下位置关系：当0≤x≤90和0≤x≤180时，线段O2A所在的直线与⊙O1相交

考点：直线与圆的位置关系

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握判定直线与圆的位置关系是解本题的关键，会求函数的解析式，本题难度比较大

7．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ． （2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，Q 是⊙C 上一动点，在线段AB 上确定点P 的位置，使PQ 的长最小，并求出其最小值． （3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，以D 为圆心，3为半径作⊙D ，E 为⊙D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt △AEF ，∠EAF ＝90°，tan ∠AEF ＝

1

3

，试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．

【答案】（1）作图见解析；（2）PQ 长最短是1.2；（3）四边形ADCF 面积最大值是

81313

2

+，最小值是813132-．

【解析】 【分析】

（1）连接线段OP 交⊙C 于A ，点A 即为所求；

（2）过C 作CP ⊥AB 于Q ，P ，交⊙C 于Q ，这时PQ 最短，根据勾股定理以及三角形的面积公式即可求出其最小值；

（3）△ACF 的面积有最大和最小值，取AB 的中点G ，连接FG ，DE ，证明△FAG ～△EAD ，进而证明点F 在以G 为圆心1为半径的圆上运动，过G 作GH ⊥AC 于H ，交⊙G 于F 1，GH 反向延长线交⊙G 于F 2，①当F 在F 1时，△ACF 面积最小，分别求出△ACD 的面积和△ACF 的面积的最小值即可得出四边形ADCF 的面积的最小值；②当F 在F 2时，四边形ADCF 的面积有最大值，在⊙G 上任取异于点F 2的点P ，作PM ⊥AC 于M ，作GN ⊥PM 于N ，利用矩形的判定与性质以及三角形的面积公式即可得出得出四边形ADCF 的面积的最大值． 【详解】

解：（1）连接线段OP 交⊙C 于A ，点A 即为所求，如图1所示；

（2）过C 作CP ⊥AB 于Q ，P ，交⊙C 于Q ，这时PQ 最短．

理由：分别在线段AB ，⊙C 上任取点P '，点Q '，连接P '，Q '，CQ '，如图2，

由于CP ⊥AB ，根据垂线段最短，CP ≤CQ '+P 'Q '， ∴CO +PQ ≤CQ '+P 'Q '， 又∵CQ ＝CQ '，

∴PQ ＜P 'Q '，即PQ 最短． 在Rt △ABC 中2

2

2

2

8610AB AC BC =+=+=，11

22

ABC S AC BC AB CP ?=

?=?， ∴68

4.810

AC BC CP AB ??=

==， ∴PQ ＝CP ﹣CQ ＝6.8﹣3.6＝1.2，

∴22226 4.8 3.6BP BC CP -=-=．

当P 在点B 左侧3.6米处时，PQ 长最短是1.2． （3）△ACF 的面积有最大和最小值． 如图3，取AB 的中点G ，连接FG ，DE ． ∵∠EAF ＝90°，1tan 3

AEF ∠=， ∴

1

3

AF AE = ∵AB ＝6，AG ＝GB ， ∴AC ＝GB ＝3， 又∵AD ＝9， ∴31

93AG AD ==， ∴

D

AF AE AG

A = ∵∠BAD ＝∠

B ＝∠EAF ＝90°， ∴∠FAG ＝∠EAD ， ∴△FAG ～△EAD ， ∴

1

3

FG AF DE AE ==， ∵DE ＝3， ∴FG ＝1，

∴点F 在以G 为圆心1为半径的圆上运动， 连接AC ，则△ACD 的面积＝6

92722

CD AD ?

=?=， 过G 作GH ⊥AC 于H ，交⊙G 于F 1，GH 反向延长线交⊙G 于F 2，

①当F 在F 1时，△ACF 面积最小．理由：由（2）知，当F 在F 1时，F 1H 最短，这时△ACF 的边AC 上的高最小，所以△ACF 面积有最小值， 在Rt △ABC 中，222269313AC AB BC =+=+=∴313sin 313BC BAC AC ∠=

==

在Rt △ACH 中，313913

sin 3GH AG BAC =?∠==

∴11913

113

F H GH GF =-=

-， ∴△ACF 面积有最小值是：

11191327313

313(1)22AC F H -?=?-=

； ∴四边形ADCF 面积最小值是：2731381313

27--+

=

； ②当F 在F 2时，F 2H 最大理由：在⊙G 上任取异于点F 2的点P ，作PM ⊥AC 于M ，作GN ⊥PM 于N ，连接PG ，则四边形GHMN 是矩形， ∴GH ＝MN ，

在Rt △GNP 中，∠NGF 2＝90°， ∴PG ＞PN ， 又∵F 2G ＝PG ，

∴F 2G +GH ＞PN +MN ，即F 2H ＞PM ， ∴F 2H 是△ACF 的边AC 上的最大高， ∴面积有最大值， ∵22913

1F H GH GF =+=

+， ∴△ACF 面积有最大值是

21191327313

313(1)22132

AC F H +?=?+=

；

∴四边形ADCF 面积最大值是2731381313

2722

+++

=

； 综上所述，四边形ADCF 面积最大值是81313

+，最小值是81313-．

【点睛】

本题为圆的综合题，考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

8．如图①②，在平面直角坐标系中，边长为2的等边CDE ?恰好与坐标系中的OAB ?重合，现将CDE ?绕边AB 的中点(G G 点也是DE 的中点），按顺时针方向旋转180?到△1C DE 的位置． （1）求1C 点的坐标；

（2）求经过三点O 、A 、1C 的抛物线的解析式； （3）如图③，

G 是以AB 为直径的圆，过B 点作G 的切线与x 轴相交于点F ，求切

线BF 的解析式；

（4）抛物线上是否存在一点M ，使得:16:3AMF OAB S S ??=．若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）13)C ；（2）2323y x x =

；（3）323

y x =；（4）128383,M M ??- ????

． 【解析】 【分析】

（1）利用中心对称图形的性质和等边三角形的性质，可以求出． （2）运用待定系数法，代入二次函数解析式，即可求出．

（3）借助切线的性质定理，直角三角形的性质，求出F ，B 的坐标即可求出解析式． （4）当M 在x 轴上方或下方，分两种情况讨论． 【详解】

解：（1）将等边CDE ?绕边AB 的中点G 按顺时针方向旋转180?到△1C DE ，

则有，四边形'OAC B 是菱形，所以1C 的横坐标为3， 根据等边CDE ?的边长是2，

利用等边三角形的性质可得1C ； （2）

抛物线过原点(0,0)O ，设抛物线解析式为2y ax bx =+，

把(2,0)A

，C '

代入，得420

93a b a b +=???+=??

解得3

a =

，b =

∴

抛物线解析式为233

y x x =

-；

（3）90ABF ∠=?，60BAF ∠=?，

30AFB ∴∠=?， 又2AB =， 4AF ∴=， 2OF ∴=，

(2,0)F ∴-，

设直线BF 的解析式为y kx b =+，

把B ，(2,0)F -

代入，得20

k b k b ?+=??-+=??，

解得k =

3

b =， ∴直线BF

的解析式为33

y x =

+

；

（4）①当M 在x

轴上方时，存在2()M x ，

211

:[4)]:[216:322

AMF OAB S S ??=???=，

得2280x x --=，解得14x =，22x =-， 当14x =

时，244y ， 当12x =-

时，2(2)(2)y =--=

1M ∴

，2(M -；

②当M 在x 轴下方时，不存在，设点2323(,

)M x x x -， 213231

:[4()]:[23]16:322

AMF OAB S S x x ??=-??-??=，

得2280x x -+=，240b ac -<无解， 综上所述，存在点的坐标为183(4,)M ，283

(2,)M -． 【点睛】

此题主要考查了旋转，等边三角形的性质，菱形的判定和性质，以及待定系数法求解二次函数解析式和切线的性质定理等，能熟练应用相关性质，是解题的关键．

9．△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，BD ⊥AC ，垂足为点D ，交⊙O 于点E ，连接AE ．

（1）如图1，求证：∠BAC=2∠CAE ；

（2）如图2，射线AO 交线段BD 于点F ，交BC 边于点G ，连接CE ，求证：BF=CE ； （3）如图3，在（2）的条件下，连接CO 并延长，交线段BD 于点H ，交⊙O 于点M ，连接FM ，交AB 边于点N ，若BH=DH ，四边形BHOG 的面积为2，求线段MN 的长． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）6MN =【解析】 【分析】

（1）先依据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理证明∠BAC+2∠C=180°，然后得到2∠CAE+2∠E=180°，然后根据同弧所对的圆周角相等得到∠E=∠C ，即可得到结论； （2）连接OB 、OC ．先依据SSS 证明△ABO ≌△ACO ，从而得到∠BAO=∠CAO ，然后在依据ASA 证明△ABF ≌△ACE ，最后根据全等三角形的性质可证明BF=CE ；

（3）连接HG 、BM ．由三线合一的性质证明BG=CG ，从而得到HG 是△BCD 的中位线，则∠FHO=∠AFD=∠HFO ，于是可得到HO=OF ，然后得到∠OGH=∠OHG ，从而得到OH=OG ，则OF=OG ，接下来证明四边形MFGB 是矩形，然后由MF ∥BC 证明△MFH ∽△CBH ，从而可证明HF=FD ．接下来再证明△ADF ≌△GHF ，由全等三角形的性质的到AF=FG ，然后再证明△MNB ≌△NAF ，于是得到MN=NF ．设S △OHF =S △OHG =a ，则S △FHG =2a ，S △BHG =4a ，然后由S 四边

形BHOG

2，可求得2，设HF=x ，则BH=2x ，然后证明△GFH ∽△BFG ，由相似三角形

的性质可得到2x ，然后依据S △BHG =

1

2

2，可求得x=2，故此可得到HB 、GH 的长，然后依据勾股定理可求得BG 的长，于是容易求得MN 的长．

【详解】

解：（1）∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB．

∴∠BAC+2∠C=180°．

∵BD⊥AC，

∴∠ADE=90°．

∴∠E+∠CAE=90°．

∴2∠CAE+2∠E=180°．

∵∠E=∠ACB，

∴2∠CAE+2∠ACB=180°．

∴∠BAC=2∠CAE．

（2）连接OB、OC．

∵AB=AC，

AO=AO，OB=OC，∴△ABO≌△ACO．

∴∠BAO=∠CAO．

∵∠BAC=2∠CAE，

∴∠BAO=∠CAE．

在△ABF和△ACE中，

ABF ACE

AB AC

BAF CAE

∠=∠

?

?

=

?

?∠=∠

?

，

∴△ABF≌△ACE．

∴BF=CE．

（3）连接HG、BM．

∵AB=AC，∠BAO=∠CAO，