第1讲_最短路问题

顶点的度数
定义（１）在无向图中，与顶点 v 关联的边的数目（环算两次）称为 v 的度数，记为 d(v)． （２）在有向图中，从顶点 v 引出的边的数目称为 v 的出度，记为 d+(v)，从顶点 v 引入的边的数目称为的入度，记为 d-(v)，d(v)=d+(v)+d-(v)称 为 v 的度数．
d (v4 ) 4
d (v4 ) 2 d (v4 ) 3 d (v4 ) 5
定理１（握手定理）
vV ( G )
d (v) 2 (G)
推论１ 任何图中奇次顶点的总数必为偶数．
例 在一次聚会中，认识奇数个人的人数一定是偶数。
子图
定义 设图 G=(V,E, ),G1=(V1,E1, 1 )
若vi 与e j 相关联 若vi 与e j 不关联
e1 1 M= 1 0 0
注：假设图为简单图
e2 e3 e4 e5 0 0 0 1 v1 1 0 1 0 v2 0 1 1 0 v3 1 1 0 1 v4
对有向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝ (mij )nm ，其中：
1 mij 1 0
若vi 是e j的起点 若vi 是e j的终点 若vi 与e j 不关联
邻接矩阵
对无向图Ｇ，其邻接矩阵 A (aij )nn ，其中：
1 aij 0
若vi 与v j 相邻 若vi 与v j 不相邻
注：假设图为简单图
v4 v1 v2 v 3 v 4
(3)设 E1 E,且 E1 ,以 E1 为边集,E1 的端点集为顶点集的图 G 的子图, 称为 G 的由 E1 导出的子图,记为 G[E1].
G
G[{v1,v4,v5}]
G[{e1,e2,e3}]
关联矩阵
对无向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝ (mij )nm ，其中：
1 mij 0
• 1857年，英国数学家哈密顿发明了一种游戏，他用一个实心正12 面体象征地球，正12面体的20个定点分别表示世界上20座名城， 要求游戏者从任一城市出发，寻找一条可经由每个城市一次且仅 一次再回到原出发点的路，这就是“环球旅行”问题。
• 七桥问题与“环球旅行”问题不同，前者要在图中找一条经过每 边且仅一次的路统称欧拉回路，而后者是要在图中找一条经过每 个点一次且仅一次的路，能成为哈密尔顿回路。
（２）边不重复但顶点可重复的通路称为道路，记为 Tv0vk （３）边与顶点均不重复的通路称为路径，记为 Pv 0 v k
通路 W v1v4 v1 e 4 v 4 e5 v 2 e1 v1 e 4 v 4 道路 Tv1v4 v1 e1 v 2 e5 v 4 e 6 v 2 e 2 v 3 e3 v 4 路径 Pv1v4 v1 e1 v 2 e5 v 4
v1 v2 v3 0 1 0 1 A= 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0
对有向图Ｇ＝（Ｖ，Ｅ） ，其邻接矩阵 A (aij )nn ，其中：
1 aij 0
若（vi，v j） E 若（vi，v j） E
对有向赋权图Ｇ，其邻接矩阵 A (aij )nn ，其中：
G 的图解如图.
定义
在图 G 中，与 V 中的有序偶<vi，vj>对应的边 e，称为图的有向边 （或弧） ，而与 V 中顶点的无序偶(vi，vj)相对应的边 e，称为图的 无向边.每一条边都是无向边的图，叫无向图；每一条边都是有向 边的图，称为有向图；既有无向边又有有向边的图称为混合图.
定义 若将图 G 的每一条边 e 都对应一个实数 w(e)，称 w(e)为边的权，
最短路问题及其算法
一、 基 本 概 念 二、固 定 起 点 的 最 短 路 三、每 对 顶 点 之 间 的 最 短 路
基 本 概 念
定义１ 在无向图 G=(V,E, )中： （１）顶点与边相互交错且 (ei ) vi 1vi (i=1,2,„k)的有限非空序列
w (v0 e1v1e2 vk 1ek vk ) 称为一条从 v0 到 vk 的通路，记为 Wv0vk
• 在这一时间，还有许多诸如迷宫问题、博弈问题以及棋盘上马的 行走路线之类的游戏难题，吸引了许多学者。这些看起来似乎无 足轻重的游戏却引出了许多有实用意义的新问题，开辟了新学科。
图论应用
图论的第一本专著是匈牙利数学家O Koing 写的“有限图与无限图的理论”，发表于1936 年。从1736年欧拉的第一篇论文到这本专著， 前后经历了200年之久，总的来讲这一时期图论 的发展是缓慢的。直到20世纪中期，电子计算 机的发展以及离散数学问题具有越来越重要的 地位，使得作为提供离散数学模型的图论得以 迅速发展，成为运筹学中十分活跃的重要分支。 目前图论被广泛地应用于管理科学、计算机科 学、信息论、控制论、物理、化学、生物、心 理学等各个领域，并取得了丰硕的成果。
P* (u, v) ，称为 u 到 v 的最短路．
固 定 起 点 的 最 短 路
最短路问题是网络理论中应用最广的问题之一。许多 优化问题可以使这个模型，如设备更新、管道铺设、线 路安排、厂区布局等。图论方法比较有效。 问题：无向连通简单带权图，求出顶点a与z之间的最短通 路的长度。 算法思想：最短路是一条路径，且最短路的任一段也是最 短路． 求出从a到第一个顶点的最短通路的长度，从a到第二个 顶点的最短通路的长度，一次类推，直到求出从a到z 的最 短通路的长度为止。即类似于树生长的过程。
第1 讲
一、图论的基本概念 二、固定起点的最短路 三、任意两点的最短路 四、最短路算法的应用
图论
18世纪的哥尼斯堡城中流过一条河。河上游七座桥连接 着河的两岸和河中的两个小岛。当时那里的人们热衷于 这样的游戏：一个游人怎样才能一次连续走过这七座桥 而每座桥只走一次，回到原出发点。没有人想出这种走 法，又无法说明走法不存在，这就是著名的“七桥”难 题。欧拉将这个问题归结图论的问题。他用A,B,C,D四 点表示河的两岸和小岛，用两点间的连线表示桥。七桥 问题变为：从A,B,C,D任意点出发，能否通过每条边一 次且 仅一次，再回到原点？欧拉证明了这样的走法不 存在，并给出了这类问题的一般结论。
并称图 G 为赋权图 .
和 分别表示图的顶点数和边数. 规定用记号
常用术语： （１）端点相同的边称为环． （２）若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边称为重边． （３）有边联结的两个顶点称为相邻的顶点，有一个公共端点的边 称为相邻的边． （４）边和它的端点称为互相关联的． （５）既没有环也没有平行边的图，称为简单图． （６）任意两顶点都相邻的简单图，称为完备（全）图，记为 Kn，其中 n 为顶点的数目． ( 7)若 V=X Y，X Y= ，X 中任两顶点不相邻，Y 中任两顶 点不相邻，称 G 为二元（分、部）图；若 X 中每一顶点皆与 Y 中一切 顶点相邻，称为完备二元图，记为 Km,n，其中 m,n 分别为 X 与 Y 的顶 点数目．
(1) 若 V1 V， E1 E,且当 e E1 时， 特 1 (e)= (e),则称 G1 是 G 的子图． 别的，若 V1=V，则 G1 称为 G 的生成子图．
(2)
设 V1 V，且 V1 ，以 V1 为顶点集、两个端点都在 V1 中的图 G 的边为边集的图 G 的子图，称为 G 的由 V1 导出的子图，记为 G[V1].
旅行商问题（TSP－traveling salesman problem） 一名推销员准备前往若干城市推销产品。如何为他（她）设计一条最短的旅行路 线（从驻地出发，经过每个城市恰好一次，最后返回驻地）？这一问题的研究历史十 分悠久，通常称之为旅行商问题。 运输问题（transportation problem） 某种原材料有个产地，现在需要将原材料从产地运往个使用这些原材料的工厂。 假定每个产地的产量和家工厂的需要量已知，单位产品从任一产地到任一工厂的运费 已知，那么如何安排运输方案可以使总运输成本最低？ 狼、羊、白菜过河问题 猎人要把一只狼、一头羊和一篮白菜从河的左岸带到右岸，但他的渡船太小， 一次只能带一样。因为狼要吃羊，羊会吃白菜，所以狼和羊，羊和白菜不能在无人 监视的情况下相处。问猎人怎样才能达到目的？
图论的基本概念
一、 图 的 概 念 1、图的定义 2、顶点的次数
3、子图
二、 图 的 矩 阵 表 示
1、 关联矩阵
2、 邻接矩阵
返回
图的定义
定义 有序三元组G=(V,E,
)称为一个图.
[1] V= {v1 , v 2 , , v n } 是有穷非空集，称为顶点集， 其中的元素叫图 G 的顶点 . [2] E 称为边集，其中的元素叫图 G 的边 . [3] 是从边集 E 到顶点集 V 中的有序或无序的元素 偶对的集合的映射，称为关联函数. 例 1 设 G=(V ,E, )，其中 V={v 1 ,v 2 , v3 , v4 }， E={e1 , e2 , e3 , e4, e5 }, (e1 ) v1v2 , (e2 ) v1v3 , (e3 ) v1v4 , (e4 ) v1v4 , (e5 ) v3 v3 .
公路连接问题 某一地区有若干个主要城市，现准备修建高速公路把这些城市连接起来，使得从 其中任何一个城市都可以经高速公路直接或间接到达另一个城市。假定已经知道了任 意两个城市之间修建高速公路的成本，那么应如何决定在哪些城市间修建高速公路， 使得总成本最小？ 指派问题（assignment problem） 一家公司经理准备安排名员工去完成项任务，每人一项。由于各员工的特点不同， 不同的员工去完成同一项任务时所获得的回报是不同的。如何分配工作方案可以使总 回报最大？ 中国邮递员问题（CPP－chinese postman problem） 一名邮递员负责投递某个街区的邮件。如何为他（她）设计一条最短的投递路线 （从邮局出发，经过投递区内每条街道至少一次，最后返回邮局）？由于这一问题是 我国管梅谷教授1960年首先提出的，所以国际上称之为中国邮递员问题。
wij aij 0
若(vi , v j ) E , 且wij为其权 若i j 若(vi , v j ) E
无向赋权图的邻接矩阵可类似定义．
v1 v 2 0 2 A= 2 0 8 7 3
v3 v 4 7 v1 8 3 v2 0 5 v3 5 0 ຫໍສະໝຸດ Baidu4
上述问题有两个共同的特点：一是它们的目的都是从若干可能的安排或方案中寻求某种意 义下的最优安排或方案，数学上把这种问题称为最优化或优化（optimization）问题； 二是它们都易于用图形的形式直观地描述和表达，数学上把这种与图相关的结构称为网络 （network）。与图和网络相关的最优化问题就是网络最优化或称网络优化 （netwok optimization）问题。所以上面例子中介绍的问题都是网络优化问题。由于多数网络优化问 题是以网络上的流（flow）为研究的对象，因此网络优化又常常被称为网络流 （network flows）或网络流规划等
算法细节（Dijkstra，迪克斯特拉算法） ： （1）用 0 标记 a，用 标记其余的顶点。 （2） 用记号 L0 (a) 0 和 L0 (v) 分别表示在没发生任 何迭代之前从 a 到这些顶点之间的最短通路的长度（0 表示 第 0 次迭代） ，其中这些通路只包含顶点 a（因为不存在从 a 到除 a 外顶点的通路， 所以 是 a 与这样的顶点之间的最短 路的长度） 。 （3）通过形成特殊顶点的集合完成算法。
定义２ （１）任意两点均有路径的图称为连通图． （２）起点与终点重合的路径称为圈． （３）连通而无圈的图称为树．
定义３ （１）设 P(u,v)是赋权图 G 中从 u 到 v 的路径， 则称 w( P) (2)
eE ( P )
w(e) 为路径 P 的权．
在赋权图 G 中，从顶点 u 到顶点 v 的具有最小权的路
图与网络优化的一些基本问题
最短路问题（SPP－shortest path problem） 一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地 的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车 的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。