高考数学导学练系列 简易逻辑教案 苏教

简易逻辑

1．理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．

2．学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合问题，形成良好的思维品质；

1．简易逻辑是一个新增内容，据其内容的特点，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，如果在解答题中出现，则只会是中低档题．

2．集合、简易逻辑知识，作为一种数学工具，在函数、方程、不等式、排列组合及曲线与方程等方面都有广泛的运用，高考题中常以上面内容为载体，以集合的语言为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现．

第1课时逻辑联结词和四种命题

一、逻辑联结词

1．可以的语句叫做命题．命题由两部分构成；

命题有之分；数学中的定义、公理、定理等都是命题．

2．逻辑联结词有，不含的命题是简单命题．

由的命题是复合命题．复合命题的构成形式有三种：，(其中p，q都是简单命题)．

3．判断复合命题的真假的方法—真值表：“非p”形式的复合命题真假与p的当p 与q都真时，p且q形式的复合命题，其他情形；当p与q都时，“p或q”复合形式的命题为假，其他情形．

二、四种命题

1．四种命题：原命题：若p 则q ；逆命题： 、否命题： 逆否命题： .

2．四种命题的关系：原命题为真，它的逆命题 、否命题 、逆否命题 ．原命题与它的逆否命题同 、否命题与逆命题同 ．

3．反证法：欲证“若p 则q ”为真命题，从否定其 出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而判定原命题为真，这样的方法称为反证法．

例1. 下列各组命题中，满足“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为真的是 （ ）A ．p :0＝∅；q :0∈∅

B ．p ：在∆AB

C 中，若cos2A ＝cos2B ，则A ＝B ； :q y ＝sin x 在第一象限是增函数C ．),(2:R b a ab b a p ∈≥+；:q 不等式x x >的解集为()

0,∞-D ．p ：圆()1)2(122=-+-y x 的面积被直线1=x 平分；q ：椭圆

13

42

2=+y x 的一条准线方程是x ＝4解：由已知条件，知命题p 假且命题q 真.选项(A)中命题p 、q 均假，排除；选项(B)中，命题p 真而命题q 假，排除；选项(D)中，命题p 和命题q 都为真，排除；故选(C)．变式训练1：如果命题“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题.那么（ ）A ．命题p 和命题q 都是假命题B ．命题p 和命题q 都是真命题

C ．命题p 和命题“非q ”真值不同

D ．命题q 和命题p 的真值不同解： D

例2. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假:(1) 若q <1，则方程x 2

＋2x ＋q ＝0有实根；(2) 若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0；

(3) 若x 2

＋y 2

＝0，则x 、y 全为零.

解：(1)逆命题：若方程x 2

＋2x ＋q ＝0有实根，则q ＜1，为假命题．否命题：若q ≥1，则方程x 2＋2x ＋q ＝0无实根，为假命题．逆否命题：若方程x 2

＋2x ＋q ＝0无实根，则q ≥1，为真命题．

(2)逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0，为真命题．否命题：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0，为真命题．

逆否命题：若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0，为真命题．

(3)逆命题：若x 、y 全为零，则x 2

＋y 2

＝0，为真命题．

否命题：若x 2

＋y 2

≠0，则x 、y 不全为零，为真命题．

逆否命题：若x 、y 不全为零，则x 2

＋y 2

≠0，为真命题．

变式训练2：写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：

（1）如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等；（2）矩形的对角线互相平分且相等；（3）相似三角形一定是全等三角形.

解：（1）否命题是：“如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等”.

原命题为真命题，否命题也为真命题.

（2）否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等”原命题是真命题，否命题是假命题.

（3）否命题是：“不相似的三角形一定不是全等三角形”.原命题是假命题，否命题是真命题.

例3. 已知p ：012=++mx x 有两个不等的负根，q ：01)2(442=+-+x m x 无实根．若p 或q 为真，

p 且q 为假，求m 的取值范围．

分析：由p 或q 为真，知p 、q 必有其一为真，由p 且q 为假，知p 、q 必有一个为假，所以，“p 假且q 真”或“p 真且q 假”.可先求出命题p 及命题q 为真的条件，再分类讨论．解：p ：012=++mx x 有两个不等的负根．

⎪⎩

⎪⎨⎧>⇔<->-=∆⇔200421m m m q ：01)2(442=+-+x m x 无实根．

⇔31016)2(1622<<⇔<--=∆m m 因为

p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 与q 的真值相反．

(ⅰ) 当p 真且q 假时，有⎩⎨⎧

≥⇒≥≤>33

12m m m m 或；

(ⅱ) 当p 假且q 真时，有⎩

⎨

⎧≤<⇒<<≤21312

m m m ．

综合，得m 的取值范围是{21≤

变式训练3：已知a>0,设命题p:函数y=a x

在R 上单调递减，q ：不等式x+|x-2a|>1的解集为R,若p 和q 中有且只有一个命题为真命题，求a 的取值范围.

解 ： 由函数y=a x

在R 上单调递减知0

⎧<≥-).

2(2),

222a x a

a x a

x （不等式x+|x-2a|>1的解集为R ，只要y min >1即可，而函数y 在R 上的