部分数学建模习题解答

第一章第5题

一个男孩和一个女孩分别在离家2km和1km且方向相反的两所学校里上学，每天同时放学后分别以2km/h和1km/h的速度步行回家。一只小狗以6km/h的速度由男孩奔向女孩，又从女孩处跑向跑回男孩处，如此往返的奔跑，直至回到家中。问小狗总共奔波了多少路程？

解：由于男孩、女孩与小狗跑的时间一样，所以把时间设为t，则有2t+1t=3，得到t=1h。

所以小狗跑了6km/h*1h=6km。

第一章10题

一位探险家必须穿过一片宽度为800 km的沙漠，他仅有的交通工具是一辆每升汽油可行驶10km的吉普车．吉普车的油箱可装10升汽油。另外吉普车上可携带8个可装5升汽油的油桶，也就是说，吉普车最多可带50升汽油(最多能在沙漠中连续行驶500 km)。现假定在探险家出发地的汽油是无限充足的．问这位保险家应怎样设计他的旅行才能通过此沙漠？他要通过沙漠所需的汽油最少是多少升？为了穿越这片800km宽的沙漠，他总共需要行驶多少公里路程。总共要花费多少升的汽油?

思路：

1、若沙漠只有500公里或者更短，这时很简单，一次搞定。

2、若沙漠有550km，怎么办？需要保证的是：车到了离沙漠终点还有500km的地方，能恰恰加满油且不会有多余。方案可为：600-550＝50，从起点处加5*3(升)＝15升油，开出50km，设一加油站，存下5升，剩下5升刚好使得汽车返回起点。再在起点处加满50升油，到加油站时，只乘45升了，把存放在那儿的5升油加上。则可跑出沙漠。（这样共加油15＋50＝65，总路程为150+500＝650km）

3、再看2的情况，符合这种情况的沙漠的最大距离是多少呢：答案是500*（1+1/3）公里。即在起点准备100升油，第一次装50升，跑了500/3公里后存放50*1/3升油，然后返回起点，这时车里的油也正好用完，然后再在起点处装50升，跑了550/3公里后，车内剩下（50*2/3）升油，再加上存放的50*1/3升油，恰好为50升油，则可跑出沙漠。

4。当沙漠的距离超过了500*（1+1/3）km（但又超过得不多）又当如何？这时我们可以把前面的500*（1+1/3）km看成一段整体，需要保证的是：在距离沙漠终点500*（1+1/3）km 处恰恰有100升油（由3的分析可知）。怎么来保证呢，我们假设沙漠的距离只比500*（1+1/3）多了1公里，因为汽车的容量是50升，所以100升油最少从起点运3次油才能满足。除了3次装油，还有两次折回，所以往返正好有5次，这5次能保证的距离是500/5，所以这时我们又把沙漠的距离延伸到了：500*（1+1/3+1/5），起点应该储备150升油。

5。当沙漠的距离超过了500*（1+1/3+1/5）km，要保证在距离沙漠终点500*（1+1/3+1/5）km的地方有150升油。

综上所述：总有某一个值k,使得

fdis=500*（1+1/3+1/5+…+1/(2k-1)）<800，但500*(1+1/3+1/5+…+1/(2k-1)+1/(2k+1)）>800，应该在起点准备多少油呢？这时多了一小段出来，按情形2的分析，在起点准备的油应当是：（(800 - fdis)/油耗）*往返次数+ k*50。

经计算：fdis=766.66,k=3,故应准备的油应为：

（(800 – 766.66)/10）*7 + 3*50＝173.338。

第一章11题

如果你有一个3L的桶和5L的桶，问如何才能准确地称出4L的水？如果你要的不是4L而是别的数量，你又该怎么办？

解：准确称出4L水的方法：先把3L的桶装满水，倒入5L的桶中，再把3L的桶装满，又倒入5L的桶中直到倒满，此时3L的桶中还剩下1L；再将5L桶中的水倒掉，将3L桶中

剩下的1L倒入5L桶中，再用3L桶装满水倒入5L桶中即可得到4L水。

y∈）表示要的任意L的水，a表示得到y L水所要用到3L桶的次数，b 设y（[0,8]

表示得到y L水所要用到5L桶的次数。则可以得到如下模型：

=+，a，b为整数。

y a b

35

例如1、y=1L时，a=2，b= -1，表示3L的桶用了两次装满，5L的桶用3L桶中的水装满一次并且倒掉。

2、y=2L时，a= -1，b=1。

3、y=3L时，a=1，b=0。

4、y=4L时，a=3，b= -1，表示3L的桶用了三次装满，5L的桶用3L桶中的水装满一次并且倒掉。

5、y=5L时，a=0，b=1。

6、y=6L时，a=2，b=0。（注，此时5L的桶有用来中间存贮）

7、y=7L时，a= -1，b=2。

8、y=8L时，a=1，b=1。

第一章第13题

第二章1题

第i 个前初的兔子对数为i f

011,1f f ==，2012f f f =+=，3213f f f =+=，4235f f f =+= 5438f f f =+=，64513f f f =+=，76521f f f =+=，86734f f f =+=

98755f f f =+=，108989f f f =+=，11109144f f f =+=（对）

（理解：第i 个月的兔子=第i-1个月的兔子+第i-2个月的兔子，12i i i f f f --=+） 第二章2题

这相当于一根棒的两端甲A ，乙B ，设初始位置甲A(0,0),棒长为R,乙的初始坐标为（D,0）,顺时针运动，设甲的切向速度为v1,乙的径向速度为v2,则有转速w=v1/R,设x 轴正方向单位向量为i,y 正方向为j,则有乙的合速度为

v1*(i*cos(wt)+j*sin(wt))+V2*(j*cos （wt ）-isin(wt)），即有乙坐标的参数方程为

x=D+[V1*cos(wt)-v2*sin （wt ）]*t y=[V1*sin(wt)+v2*cos （wt ）]*t, 这就是乙的运动路线了

第二章3题 最小二乘法

设y ax b =+，让总偏差最小，总偏差记为ε，()2

16

1

i

i

i y ax b ε==

-+????

∑，要求ε达到最小

()()()16

16

11

220i i i i i i i i y ax b x y ax b x a ε==?=-+?-=--+?=?????????∑∑ ()16

120i i i y ax b b ε=?=-+=???

??∑ ()161616

1

1116

16

16

2

1

1

1

1616i i i i i i i i i i

i i i y x y x a x y x ======-=

-∑∑∑∑∑∑，()

()16161616

2

1

1

1

1

2

16

16

2

1116i i i i i i i i i i i i i x y x y x b x x ======-=

??- ?

??

∑∑∑∑∑∑

16

1

12584123251284813377137081395014229146301488015288152991516815582158401620016728232566

i i

i y x

==++++++++++

+++++=∑

()

2

16

1

204492102521316216092220122500234092371624025243362464925281256002624426896378220

i

i x ==+++++++++

++++=∑()

2

16232566245815110.7194163782202458a ?-?=

=?-

()

2

24582325663782201511

16.073245816378220

b ?-?=

=--?

0.719416.073y x =-

数学建模2.10

将一张四条腿的方桌放在不平的地面上，桌子四条腿的连线呈长方形，不允许将

桌子移到别处，但允许其绕中心旋转，是否总能设法使其四条腿同时落地？ 若桌子四条腿共圆，结果又如何？ 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。 因此对于问题一和问题三我们都这样假设 （1）地面为连续曲面

（2）方桌的四条腿长度相同

（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。

那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 问题一

现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、B,C 、D 的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A 、B ，C 、D 平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的夹角记为θ。

容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令

()f θ为A 、B 离地距离之和，()g θ为C 、D 离地距

离之和，它们的值由θ唯一确定。由假设（1），()f θ,()g θ均为θ的连续函数。又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（?θ）。不妨设(0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：

已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有

00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。

证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故()0f π>，()0g π=。作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=，故必有00()()0f g θθ==，证毕。

问题二

现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以圆桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、C 的初始位置在y 轴上，而B 、D 则在y 轴上。当方桌绕中心0旋转时，B 、D 与x 轴的夹角记为θ。

容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，我们令0'()f θ为A 、C 离地距离之

和，'()g θ为B 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。由假设（1），0'()f θ,'()

g θ

均为θ的连续函数。又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故0'()f θ()g θ=0必成立（?θ）。不妨设'(0)0f =,'(0)0g >g （若'(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：

已知0'()f θ,'()g θ均为θ的连续函数，'(0)0f =,'(0)0g >且对任意θ有

00'()'()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00'()'()0f g θθ=。

证明：当θ=

2

π

π时，

AC 与BD 互换位置，故'()02f π>，'()02g π=。作

'()'()'()h f g θθθ=-，显然，'()h θ也是θ的连续函数，'(0)'(0)'(0)

0h f g =-<而

'()'()'()0222h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，002

π

θ<<，使得

0'()0h θ=，即00'()'()f g θθ=。又由于00'()'()0f g θθ=，故必有00'()'()0f g θθ==，

证毕。

第二章第11题

一辆汽车停于 A 处并垂直于AB 方向，此汽车可转的最小圆半径为 R ，求不倒车而A 到B 的最短路径.(1)|AB|>2R,要求汽车到达B 点时停车方向与在A 点时的方向相同。（2）|AB|>=2R,汽车到达B 点时停车方向与A 点时的方向相反。 解：

(1) 若|AB|>2R ，且汽车要求到达B 点时方向与在A 点时方向相同

(2) 若|AB|>=2R 且要求汽车到达B 点时方向与A 点时方向相反

分别以半径R 作过A 点的圆O ,作过B 点的圆

O ,再作两圆公切线CD 则

当CD 为0，即AB=2R 时，距离最短

第三章第二题

大气压强P可用对海拔高度H的变化率dp/dh与p成正比来建模，且位于海平面的压强为1013mbar，位于海拔高度20km的压强为90mbar。

1.解初值问题

微分方程dp/dh=kp

初值条件p=p0,h=0

得到通过h表示p的表达式，根据海拔-压强的给定数据确定p0和k的值。

2.在海拔高度h=50km处大气压强是多少？

3.在海拔高度是多少公里处大气压强等于900mbar？

解：1 dp/dh=kp

dp/p=kdh

lnp=kh+c

根据题意解得：

C=6.9206，k=-0.1215

Lnp=-0.1215*h+6.9206

(2) 当h=50时，

解得p=2.329。

（3）当p=900时，

h=0.97KM。

第三章第3题

3..在某化学反应中，物质的数量随着时间的改变率与其当前的数量成正比。例如，δ-糖蛋白内酯变成葡萄糖酸，当时间t 以小时为单位时，化学反应方程式是

.6y 0dt

dy

-=

如果当t=0时，有δ-糖蛋白内酯100g ，那么一小时后还剩下多少？

解:假设δ-糖蛋白内酯可以全部转变成葡萄糖酸，y 为当前 δ-糖蛋白内酯的量（y ≥0）， t 为时间，由题意：

.6dt 0y

dy

.6y 0dt

dy

-=-=

两边积分，得c .6t 0y ln +-=

c .6t 0y +-=e

因此，

c

t e

+-=6.0y

由t=0时，y=100得出c=ln100

则100

ln 6.0y +-=t e ，

所以，当t=1时，则

6

.0100

ln .60100y -+-==e

e

即一小时后还剩下 δ-糖蛋白内酯g 100.6

0-e 。

第三章13题

为了鼓励采购100（单位）某货物的买主，商家销售部门用连续打折的办法促销，以购货数量x （单位）决定所售货物的单价()p x （即单价()p x 是购货数量的函数）。假定折扣降价速率为每单位降价0.01美元，又假设购买100（单位）该货物的单价是(100)20.09p =美元。

（1） 通过解如下问题求()p x ：

微分方程：

1

100

dp p dx =- 初值条件：(100)20.09p =

（2） 求10（单位）该货物的单价(10)p 和90（单位）的单价(90)p 。

（3） 商家的收入是用()()r x xp x =来计算的。如果销售部门问你：这样打折扣是否会出现如下情况，即售出100（单位）的货物的收入比售出90（单位）货物的收入还要少，你会怎么回答他们。

（4） 试证明：当100x =时商家的收入r 达到最大。

解答：（1）由微分方程可得方程为100

()x p x ce -=，再由初值条件，可得54.61c ≈。

所以求得方程为100

p(x)=54.61e

x

-。

（2）当为10单位时，即x=10,所以p(10)=

110

54.61e

；当为90单位时，p(90)=

910

54.61e

。

（3）当售出90（单位）时r(90)=90p(90)=90

910

54.61e

;

当售出100（单位）时p(100)=100p(100)= 100

110

54.61e

。

由计算可知，(90)(100)r r <。所以不会出现售出100（单位）的货物的收入比

售出90（单位）货物的收入还要少的情况。

我的回答：不会出现售出100（单位）的货物的收入比售出90（单位）货物的收入还要少的情况，但是即使会有这样的情况，这样虽然从某种意义上来看，我们公司在当售出100（单位）的货物相对于售出90（单位）货物要赚的少，有损于我公司，但是我们的促销方法便是如此，商家以诚信为本，我们不会因为有这样的情况来改变我们的促销方式，来欺骗各位商家销售部门。

（4）令100

10054.61'()54.610100

x x

r x e

xe --=-=，解得x=100； 再将x=100代入''()r x 得1

10010054.6154.6154.61''()05010000100

x x

r x e xe e ---=-+=-<，故当x=100时()r x 取到最大值，即r(100) = 100

1

10

54.61e

= 4941.3171399778。

第五章1题

模型假设：某工厂每天生产A 产品x 个，B 产品y 个，获利为z 元。 模型建立：

y 0.15x 0.3 z max *+*=

??

?

??≤+≤≤≤≤1000120006000y x y x 模型求解：得到结果?

??==400600

y x ，24040015.06003.0=*+*=z

结论：该厂应该生产A 产品600件，每天生产B 产品400个才能得到最大的利润，最大的利润为240元。