波动方程推导过程

例 1.5 一柔软均匀的细弦, 一端固定, 另一端是弹性支承. 设该弦在阻力与速度成正比的介质 中作微小的横振动, 试写出弦的位移所满足的定解问题.
解: k, σ 为正常数
utt − a2uxx + kut = 0, u|t=0 = φ(x), ut|t=0 = u|x=0 = 0, (ux + σu)|x=l = 0.
解: 设弦长为 l, 取弦上端点为原点, 取铅垂向下的轴为 x 轴. 设 u(x, t) 为时刻 t, x 处的横向位 移. 取位于 (x, x + ∆x) 的微元进行分析, 由绝对柔软的假设, 弦的张力 T 的方向总是沿弦的切
线方向. 又由微小振动的假设 ux ≪ 1. 因此认为弦在振动过程中不伸长, 且张力 T 与时间无 关. 考察受力平衡 (α1, α2 为张力 T 的方向与竖直线的夹角)
第一章 波动方程
齐海涛 山东大学威海分校 数学与统计学院
Email: htqisdu@
September 28, 2011
目录
1 方程的导出、定解条件
2
2 达朗贝尔公式、波的传播
4
3 初边值问题的分离变量法
7
4 高维波动方程的柯西问题
10
5 波的传播与衰减
13
6 能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性
3
2 达朗贝尔公式、波的传播
例 2.1 证明方程
∂ [( x )2 ∂u ] 1 ( x )2 ∂2u
∂x
1− h
∂x
= a2
1− h
∂t2
(h > 0 常数)的通解可以写成
u = F(x − at) + G(x + at) , h−x
其中 F, G 为任意的具有二阶连续导数的单变量函数, 并由此求解它的初值问题:
)
,
其中 ρ 为杆的密度, E 为杨氏模量.
解: 由细杆的假设, 在杆的垂直与杆的每一个截面上的每一点力与位移的情形是相同的. 取杆的左端截面的形心为原点, 杆轴为 x 轴. 任取 (x, x + ∆x) 上的小段 B 为代表加以研
究. t 时刻, B 的两端位移分别记作 u(x, t) 和 u(x + ∆x, t) = u(x, t) + ∆u, B 段的伸长为
解: (1) u(0, t) = u(l, t) = 0;
(2)
端点自由,
即端点处无外力作用.
在左端点
S
E(0)
∂u ∂x
(0,
t)
=
0,
即
∂u ∂x
(0,
t)
=
0.
同理右端
点 ∂∂(ux3()l端, t)点=固0定. 在弹性支承上, 端点受的外力与支撑的变形成比例. 如左端有弹性支承, 弹性
系数设为 k, 则
T (x) = ρg(l − x).
O.
又
sin α2
≈
tan α2
=
∂u ∂x
(x
+
∆x, t),
sin α1
≈
tan α1
=
∂u ∂x
(x,
t).
由 (2) 知
∂ ∂x
[ T
(x)
∂u(x) ∂x
]
=
ρ
∂2u ∂t2
⇒
∂2u ∂t2
[
]
∂ = g∂x
(l
−
x)
∂u ∂x
.
T
x x + ∆x
T x
u(x + ∆x, t) − u(x, t) = ∆u, 相对伸长则为
u(x
+ ∆x, t) ∆x
−
u(x, t)
=
∆u ∆x
=
∂u ∂x
(x,
t),
∆x → 0.
由 Hooke 定律, B 两端的张力分别为 E(x)ux|x, E(x)ux|x+∆x. B 段的运动方程为
S
ρ(x)∆x
∂2u ∂t2
14
1
1 方程的导出、定解条件
例 1.1 细杆(或弹簧)受某种外界原因而产生纵向振动, 以 u(x, t) 表示静止时在 x 点处的点在
时刻 t 离开原来位置的偏移. 假设振动过程中所发生的张力服从胡克定律, 试证明 u(x, t) 满足
方程
∂ ∂t
( ρ(x)
∂u ∂t
)
=
∂ ∂x
( E
∂u ∂x
T (x + ∆x) cos α2 − T (x) cos α1 = −ρg∆x,
(1)
T (x + ∆x) sin α2 − T (x) sin α1 = ρ∆xutt.
(2)
由 (1) 知
dT dx
= −ρg
⇒
而 x = 0 时, T (0) = ρgl, 知 C = ρgl, 所以
T = −ρgx + C.
(x,
t)
=
E(x)S
ux|x+∆x
−
E(x)S
ux|x
其中 S 为细杆截面面积, x 为 B 段重心坐标. 约去 S , 令 ∆x → 0, 有
(
)
(
)
∂ ∂t
ρ(x)
∂u ∂t
∂ = ∂x
∂u E(x) ∂x
.
例 1.2 在杆纵向振动时, 假设 (1) 端点固定, (2) 端点自由, (3) 端点固定在弹性支撑上, 试分别 导出这三种情况下所对应的边界条件.
0<x ψ(x),
<
l, t
>
0,
例 1.6 若 F(ξ), G(ξ) 均为其变元的二次连续可导函数, 验证 F(x − at), G(x + at) 均满足弦振
动方程 (1.11).
例 1.7
验证
u(x,
y,
t)
=
1/
√ t2
−
x2
−
y2
在锥
t2
−
x2
−
y2
> 0 中满足波动方程 utt
= uxx + uyy.
(
)
S
E(0)
∂u ∂x
(0,
t)
=
ku(0,
t),
∂u
− ∂x + hu
=0
x=0
h= k . E(x)S
同理右端:
(
)
∂u ∂x + hu
= 0.
x=l
例 1.3 试证: 圆锥形枢轴的纵向振动方程为
E
∂ ∂x
[( 1
−
x )2 h
] ∂u ∂x
=
ρ
( 1
−
x )2 h
∂2u ∂t2
,
其中 h 为圆锥的高.
2
解: 仿照第一题有 (R 为圆锥的底面半径)
ρV ( x)
∂2u ∂t2
(x,
t)
=
ES
(x
+
∆x)
∂u ∂x
(x
+
∆x,
t)
−
ES
(x)
∂u ∂x
(x,
t)
其中
V ( x)
=
πR2
( 1
−
Байду номын сангаасx )2 ∆x
+
o(∆x),
S (x)
=
πR2
( 1
−
x )2
.
h
h
令 ∆x → 0, 即得结论.
例 1.4 绝对柔软而均匀的弦线有一端固定, 在它本身重力作用下, 此线处于铅垂的平衡位置, 试导出此线的微小横振动方程.
t=0:
u = φ(x),
∂u ∂t
= ψ(x).
解: (1) 令 v(x, t) = (h − x)u(x, t) 并代入方程得
vtt = a2vxx,
进而
u
=
v h−
x
=
F(x − at) + G(x + at) . h−x
(2)
{ vtt = a2vxx,
t = 0 : v = (h − x)φ(x), vt = (h − x)ψ(x).