清华大学杨虎应用数理统计课后习题参考答案
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习题一
1 设总体X 的样本容量5=n ,写出在下列4种情况下样本的联合概率分布.
1)),1(~p B X ; 2))(~λP X ;
3)],[~b a U X ; 4))1,(~μN X .
解 设总体的样本为12345,,,,X X X X X , 1)对总体~(1,)X B p ,
11223344555
11
1
55(1)
(,,,,)()(1)(1)i i
n
x x i i i i x x P X x X x X x X x X x P X x p p p p -==-========-=-∏∏
其中:5
1
15i
i x x ==∑
2)对总体~()X P λ
11223344555
1
1
555
1
(,,,,)()!
!
i
x
n
i i i i i x
i i P X x X x X x X x X x P X x e x e x λ
λ
λλ-==-==========
∏∏
∏
其中:5
1
15i
i x x ==∑
3)对总体~(,)X U a b
55
1151
1
,,1,...,5 (,
,)()0i i i i a x b i f x x f x b a
==⎧≤≤=⎪==-⎨⎪⎩
∏∏
,其他
4)对总体~(,1) X N μ
()()
()2
55
55/2
22
1511
1
1 (,
,)()=2exp 2i x i i i i i f x x f x x μπμ--
-===⎛⎫==-- ⎪⎝⎭
∑∏
2 为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况,现随机抽取20个集装箱检查其产品损坏的件数,记录结果为:1,1,1,1,2,0,0,1,3,1,0,0,2,4,0,3,1,4,0,2,写出样本频率分布、经验分布函数并画出图形.
解 设(=0,1,2,3,4)i i 代表各箱检查中抽到的产品损坏件数,由题意可统计出如下的样本频率分布表:
表 频率分布表
经验分布函数的定义式为:
()()()
(1)10,(),,=1,2,
,1,1,n k k k x x k
F x x x x k n n x x +<⎧⎪⎪≤<-⎨⎪≥⎪⎩,
据此得出样本分布函数:
200,
00.3,010.65,12()0.8,
230.9,341,4x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪
⎪≤<⎨
≤<⎪⎪≤<⎪
≥⎩
()
n F x
x
图经验分布函数
3 某地区测量了95位男性成年人身高,得数据(单位:cm)如下:
组下限165 167 169 171 173
175 177
组上限167 169 171 173 175
177 179
人数 3 10 21 23 22
11 5
试画出身高直方图,它是否近似服从某个正态分布密度函数的图形.
解
图 数据直方图
它近似服从均值为172,方差为的正态分布,即(172,5.64)N .
4 设总体X 的方差为4,均值为μ,现抽取容量为100的样本,试确定常数k ,使得满足9.0)(=<-k X P μ
.
解 ()
- 54100X P X k P k μμ⎫
-⎪<=<⎪⎭
()()
555 P k X k μ=-<-<
因k 较大,由中心极限定理(0,1)4100
X N :
()
()()
-55P X k k k μ<≈Φ-Φ-
(5)(1(5))
k k =Φ--Φ
()2510.9k =Φ-=
所以:()50.95k Φ=
查表得:5 1.65k =,0.33k ∴=.
5 从总体2
~(52,6.3)X
N 中抽取容量为
36的样本,求样本均值落
在到之间的概率.
解 (
)50.853.8 1.1429 1.7143X P X P ⎛⎫<<=-<
< ⎪⎝⎭
(0,1)6.3X U N =
()()
50.853.8 1.1429 1.7143(1.7143)( 1.14290.9564(10.8729)0.8293
P X P U ∴<<=-<<=Φ-Φ-=--=)
6 从总体~(20,3)X N 中分别抽取容量为10与15的两个独立的样本,求它们的均值之差的绝对值大于的概率.
解 设两个独立的样本分别为:110,,X X 与115,
,Y Y ,其对应的样
本均值为:X 和Y .
由题意知:X 和Y 相互独立,且:
3~(20,
)10X N ,3~(20,)15
Y N (0.3)1(0.3)P X Y P X Y ->=--≤
1P =-
~(0,0.5)~(0,1)(0.3)22(0.4243)0.6744
X Y N X Y
N P X Y -->=-Φ=
7 设
110
,,X X 是总体
~(0,4)
X N 的样本,试确定C ,使得
10
21
(
)0.05i i P X
C =>=∑.
解 因~(0,4)i X N ,则
~(0,1)2
i
X N ,且各样本相互独立,则有: 10
12
2~(10)2i i X χ=⎛⎫
⎪⎝⎭∑
所以:10
102
2
1
1
(
)()144
i
i
i i C
P X C P X ==>=>
∑
∑
1021
110.0544i i c P X =⎛⎫
=-≤= ⎪⎝⎭∑
1021
10.9544i i c P X =⎛⎫
≤= ⎪⎝⎭∑
查卡方分位数表:c/4=,则c=.
8 设总体X 具有连续的分布函数()X F x ,1,,n X X 是来自总体X 的样本,且i EX μ=,定义随机变量: