运筹学-目标规划

目标规划的数学模型
五.多目标规划的解 (1)若多目标规划问题的解能使所有的目标都达到， 就称该解为多目标规划的最优解；
(2)若解只能满足部分目标，就称该解为多目标规划 的次优解；
(3)若找不到满足任何一个目标的解，就称该问题为
无解。
(4)前面的目标可以保证实现或部分实现，而后面的 目标就不一定能保证实现或部分实现，有些可能就
目标规划的数学模型
三.优先因子(优先等级)与优先权系数 优先因子Pk 是将决策目标按其重要程度排序并表示出 来。P1>>P2>>…>>Pk>>Pk+1>>…>>PK ，k=1,2…,K。表
示Pk比Pk+1有更大的优先权。即首先保证P1级目标的实
现，这时可不考虑次级目标；而P2级目标是在实现P1级 目标的基础上考虑的；依此类推。 若要区别具有相同优先因子的两个目标的差别，这时 可分别赋予它们不同的权系数ωj,这些都由决策者按具 体情况而定。
对每一个目标函数引入正的或负的偏差变量； 引入目标的优先等级和加权系数。
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OR:SM
第二节 目标规划的数学模型
一、目标值和偏差变量
目标规划通过引入目标值和偏差变量，可
以将目标函数转化为目标约束。
1.目标期望值 每一个目标希望达到的期望值(或目标值、理想值)。 根据历史资料、市场需求或上级部门的布置等来确定。 实现值或决策值：是指当决策变量xj 选定以后，
maxZ2=x1 minZ3=x2
≤16 2x2 ≤10 3x1+4x2 ≤32 x1，x2 ≥0 2x1
单位利润
3
5
• 根据市场需求/合同规定：
希望尽量扩大甲产品 减少乙产品产量。
• 又增加二个目标：
第二节 目标规划的数学模型
要求： 目标一是利润最大，拟定利润目标是30； 目标二是减少乙产品产量但希望不低于4件； 目标三是甲产品产量希望不少于6件 ； 对各目标引入正、负偏差变量： 3x1+5x2 +d1-- d1+ = 30 x2 +d2- - d2+ =4 x1 +d3– -d3+ = 6
第一节 多目标规划问题
一、线性规划的局限性
•
线性规划的局限性
只能解决一组线性约束条件下，某一目标而且只能是一个目标 的最大或最小值的问题
•
实际决策中，衡量方案优劣考虑多个目标
生产计划决策，通常考虑产值、利润、满足市场需求等 生产布局决策，考虑运费、投资、供应、市场、污染等
•
•
这些目标中，有主要的，也有次要的；有最大的，有最小的； 有定量的，有定性的；有互相补充的，有互相对立的，LP则 无能为力 目标规划（Goal Programming）
• 又增加二个目标：
第二节 目标规划的数学模型
例如 P1 级目标实现利润至少30元； P2级目标是甲乙产品的产量 假设：乙产品产量不少于4件比甲产品产量不少于6 件更重要，取其权重为2
minG= P1 d1- + P2(2d2- + d3- ) 3x1+5x2 +d1-- d1+ = 30 x2 +d2- - d2+ = 4 x1 + d3- - d3+ = 6 x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0(k=1,2,3)
若是超过了实际的需要，很可能是以过分地消耗了约
束条件中的某些资源作为代价。
问题的提出
• 线性规划把各个约束条件的重要性都不分主次地等同看待， 这也不符合实际情况。
• 求解线性规划问题，首先要求约束条件必须相容，如果约束
条件中，由于人力，设备等资源条件的限制，使约束条件之 间出现了矛盾，就得不到问题的可行解，但生产还得继续进 行，这将给人们进一步应用线性规划方法带来困难。 • 为了弥补线性规划问题的局限性，解决有限资源和计划指标 之间的矛盾，在线性规划基础上，建立目标规划方法，从而 使一些线性规划无法解决的问题得到满意的解答。
目标规划的数学模型
在一次决策中，实现值不可能既超过目标值又未达
到目标值，故有d＋×d－＝0,并规定d＋≥0, d－≥0 当完成或超额完成规定的指标则表示：d＋≥0, d－＝0 当未完成规定的指标则表示： d＋＝0, d－≥0 当恰好完成指标时则表示： d＋＝0, d－＝0
目标规划的数学模型
二.目标约束和绝对约束
引入了目标值和正、负偏差变量后，就对某一问题有了 新的限制，既目标约束。 目标约束即可对原目标函数起作用，也可对原约束起作 用。目标约束是目标规划中特有的，是软约束。 绝对约束(系统约束)是指必须严格满足的等式或不等式 约束。如线性规划中的所有约束条件都是绝对约束，否
则无可行解。所以，绝对约束是硬约束。
n个决策变量，m个约束条件，L个目标函数。 当L=1时，即为我们熟悉的单目标线性规划模型。
二、多目标规划的提出
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上述
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O源自文库:SM
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例：甲乙产品的最优生产计划。
资源 产品 甲 乙 现有资源
设备A
设备B 设备C
2
0 3
0
2 4
16
10 32
maxZ1=3x1+5x2
maxZ2=x1 minZ3=x2
≤16 2x2 ≤10 3x1+4x2 ≤32 x1，x2 ≥0 2x1
单位利润
3
5
• 根据市场需求/合同规定：
希望尽量扩大甲产品 减少乙产品产量。
多目标线性规划 含有多个优化目标的线性规划
目标规划与线性规划的比较
• 线性规划只讨论一个线性目标函数在一组线性约束条 件下的极值问题；而目标规划是多个目标决策，可求
得更切合实际的解。
• 线性规划求最优解；目标规划是找到一个满意解。 • 线性规划中的约束条件是同等重要的，是硬约束；而 目标规划中有轻重缓急和主次之分，即有优先权。 • 线性规划的最优解是绝对意义下的最优，但需花去大
目标规划的数学模型
三.优先因子(优先等级)与优先权系数 目标等级化:将目标按重要性程度不同依次分成一级目 标、二级目标…..。最次要的目标放在次要的等级中。 (1)对同一目标而言，若有几个决策方案都能使其达到， 可认为这些方案就这个目标而言都是最优方案；若达 不到，则与目标差距越小的越好。 (2)不同级别的目标的重要性是不可比的。即较高级别 的目标没有达到的损失，任何较低级别目标上的收获 不可弥补。故在判断最优方案时，首先从较高级别的 目标达到的程度来决策，然后再其次级目标的判断。 (3)同一级别的目标可以是多个。各自之间的重要程度 可用数量（权数）来描述。因此，同一级别的目标的 其中一个的损失，可有其余目标的适当收获来弥补。
不能实现，就称该解为多目标规划的满意解(具有层 次意义的解)
单目标规划
例5-2:某工厂生产A，B两种产品，有关数据如下。实现目 标利润为140万元的最优生产方案 A B 可用量
设备(台时) 4 2 60 原材料(KG) 2 4 48 利润(万元) 8 6 从决策者的角度看，他希望超过利润目标值，若达不 到，也希望尽可能接近，即负偏差最小
第二节 目标规划的数学模型
1.目标约束表示
ckj x j d k - d k E * j 1 n
引入正负偏差变量，对各个目标建立目标约束(软约束)
例：甲乙产品的最优生产计划。
资源 产品 甲 乙 现有资源
设备A
设备B 设备C
2
0 3
0
2 4
16
10 32
maxZ1=3x1+5x2
目标函数的对应值。
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第二节 目标规划的数学模型
2、偏差变量
偏差变量(事先无法确定的未知数)：是指实现值和目标值 之间的差异,记为 d 。偏差可能存在正的或负的。
正偏差变量:表示实现值超过目标值的部分，记为d＋。
负偏差变量:表示实现值未达到目标值的部分，记为d－。 正偏差变量dk+ 表示第k个目标超过期望值的数值； 负偏差变量dk- 表示第k个目标未达到期望值的数值。 同一目标的dk+ 和dk- 中至少有一个必须为零。
第5 章 目标规划
学习要点 Sub title
了解目标规划与线性规划的异同 理解目标约束中的正负偏差变量 思考目标约束与系统约束的差异 理解目标的优先级和目标权系数
了解目标规划图解法和单纯形法
目标规划
本章内容重点
目标规划模型 目标规划的几何意义
目标规划的单纯形方法
问题的提出
第一节 多目标规划问题
三、多目标的处理方法
• 加权系数法：
为每一目标赋一权数，把多目标转化成单目标。 但权系数难以科学确定。
• •
优先等级法：
各目标按重要性归不同优先级而化为单目标。
有效解法：
寻求能照顾到各目标而使决策者感到满意的解。 但可行域大时难以列出所有有效解的组合。
•
目标规划法：
量的人力、物力、财力才能得到；实际过程中，只要
求得满意解，就能满足需要(或更能满足需要)。
目标规划与线性规划的比较
例5-1：某厂计划在下一个生产周期内生产甲、乙两种产 品，已知资料如表所示。试制定生产计划，使获得的利润
最大？同时，根据市场预测，甲的销路不是太好，应尽可
能少生产；乙的销路较好，可以扩大生产。试建立此问题 的数学模型。
目标规划的数学模型
四.达成函数(即目标规划中的目标函数) 目标规划的目标函数(准则函数)是按各目标约束的正、负 偏差变量和赋予相应的优先因子及权系数而构造的。当每 一目标值确定后，决策者的要求是尽可能缩小偏离目标值。 因此目标规划的目标函数只能是minZ = f(d＋、d－)。 一般说来，有以下三种情况，但只能出现其中之一： (1)要求恰好达到规定的目标值，即正、负偏差变量要尽 可能小，则minZ = f(d＋＋ d－)。 (2)要求不超过目标值，即允许达不到目标值，也就是正 偏差变量尽可能小，则minZ = f(d＋)。 (3)要求超过目标值，即超过量不限，但不低于目标值， 也就是负偏差变量尽可能小，则minZ = f(d－)。 对由绝对约束转化而来的目标函数，也照上述处理即可。
• 线性规划的局限性 • 线性规划只研究在满足一定条件下，单一目标函数取
得最优解，而在企业管理中，经常遇到多目标决策问
题，如拟订生产计划时，不仅考虑总产值，同时要考 虑利润，产品质量和设备利用率等。这些指标之间的 重要程度(即优先顺序)也不相同，有些目标之间往往 相互发生矛盾。
• 线性规划致力于某个目标函数的最优解，这个最优解
单位 资源 产品 消耗
甲
乙
资源限制
钢材 煤炭 设备台时 单件利润
9 4 3 70
4 5 10 120
3600 2000 3000
目标规划数学模型
设：甲产品x1 ，乙产品 x2 根据市场预测：
maxZ=70 x1 + 120 x2 9 x1 +4 x2 ≤3600
maxZ1=70 x1 + 120x2
第一节 多目标规划问题
二、多目标规划的提出
多目标线性规划模型的原始一般形式如下：
max(min) G1 c11 x1 c12 x2 c1n xn max(min) G2 c21 x1 c22 x2 c2 n xn max(min) Gl cl1 x1 cl 2 x2 cln xn a11 x1 a12 x2 a1n xn (, )b1 a x a x a x (, )b 2n n 2 21 1 22 2 s.t. a x a x a x (, )b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 , xn 0
目标规划的数学模型
例如：在例一中，规定Z1的目标值为 50000,正、负偏差
为d＋、d－ ,则目标函数可以转换为目标约束，既:
70 x1 120 x2 d1 - d1 50000
若规定3600的钢材必须用完，原式9x1 +4x2 ≤3600变为
9 x1 4 x2 d 4 - d 4 3600
minZ2= x1
maxZ3= x2
4 x1 +5 x2 ≤ 2000
3 x1 +10 x2 ≤3000
9 x1 +4 x2 ≤3600
4 x1 +5 x2 ≤ 2000 3 x1 +10 x2 ≤3000 x1 ， x2 ≥0
x1 ， x2 ≥0
这些目标之间 相互矛盾，一 般的线性规划 方法不能求解