测量误差基础知识-3

[2z n
]
C12
[21 n
]
C22
[22 n
]
L
Ck2
[2k n
]
函数 Z 的中误差：
mz2 C12m12 C22m22 Cn2mk2
31
3.3 误差传播定律
例7：已知A、B点坐标，观测了角度β和距离SAP，由A点求P 点坐标的点位精度是多少？ 现已知：mxA、myA、 mTAB 、 mβ和mS。
数字测图与GPS
第三讲 误差基础知识
第三讲 误差基础知识
观测误差 衡量观测质量的指标 误差转播定律 算数平均值及其中误差 加权平均值及其中误差
2
3.1 观测误差
测量中常见的问题
距离测量 S1=56.743m≠S2=56.748m≠S3=56.745m 三角测量 理论上：∠A + ∠B + ∠C = 1800 实测中：∠A + ∠B + ∠C ≠1800 高程测量 理论上： h1 + h2 + h3 + h4 = 0 实测中： h1 + h2 + h3 + h4 ≠ 0
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3.2 衡量观测质量的指标
观测质量的相关术语 精 度：指一组观测值的误差分布的密集或离散的程度。 准确度：指观测值与真值的接近程度。
精度好，表明观测误差分布得越密集， 但并不等价于观测值离真值越接近，只说 明观测值很稳定。准确度好则离真值越接近。
同精度、不同精度 观测条件相同 —— 精度相同； 观测条件不同 —— 精度不同。
12
3.1 观测误差
偶然误差的特性
误差分布表
误差区间 0.2”
0.0～0.2 0.2～0.4 0.4～0.6 0.6～0.8 0.8～1.0 1.0～1.2 1.2～1.4 1.4～1.6
>1.6 和
正误差
vi Vi/n
46 0.128
41 0.115
33 0.092
21 0.059
16 0.045
n
]
2
f lk 1
f lk
[k
1k
n
]
lim [ij ] 0 A 0
n n
m
2 z
f l1
2 m12
f ln
2 mk2
28
误差传播定律的特例 倍数关系
6.3 误差传播定律
例4：设有函数Z = Cl，C为常数，l 为观测值。已知 ml，求 mZ。
解： 误差关系式： dz Cdl z Cl
已 知 ：mxA , m yA , mS , m
yP yA S AP sin AP
求 ：mxP ? 和m yP ?
面积：P a b; 已知：ma mb m
测 距 ：a, b 求：mP ?
25
3.3 误差传播定律
误差传播定律的含义： 概 念：阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定
三角高程测量
水准测量
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3.1 观测误差
观测误差的种类
误差产生原因与影响的性质不同，误差可分为： 系统误差: 各观测误差在大小、符号上表现出系统性； 具有一定的规律性，或为一常数； 偶然误差: 各观测误差在大小和符号上表现出偶然性； 单个误差而言，误差的大小和符号没有规律性； 大量的误差而言，具有一定的统计规律； 粗 差：观测值中含有的误差较大或超过了规定的数值。
[11] n1
72 2.68 10
m2
[22 ] n2
130 3.61 10
21
6.2 衡量观测质量的指标
极限误差（限差）—— 容许误差
由实验和误差理论可知，在大量同精度观测的一组误差中，误
区间的概率分别为： P（ -σ ＜ Δ ＜ +σ）≈ 68.3% P（-2σ ＜ Δ ＜+2σ）≈ 95.5% P（-3σ ＜ Δ ＜+3σ）≈ 99.7%
律。其作用是根据观测值中误差求得观测值函数的中误差。
应用条件：在推导和运用误差传播定律时，函数中的自变量
观测值间应该是相互独立的，两两之间不能相互表达。例如：
独立观测值：β1 和 β3、β2和β3 、β3 和 β4
不独立的观测值：β1 、β2 和 β4
因为：β4 = β1 + β2
26
6.3 误差传播定律
—— 观测作业：每测站前、后视距之差 ≤限值； —— 数据处理：对观测数据进行改正；
系统误差处理方法3 — 在测量数据处理将系统误差作为
未知数中求解。
11
3.1 观测误差
粗差的处理方法
性 质：观测值中所含“观测误差”已不属于误差范围，而是观 测值中的“错误”。
解决办法：采取“多余观测”进行检核，予以剔除； 多余观测 对观测量进行重复观测； 使多个观测量之间构成检核条件。 检核观测误差的大小、性质和观测质量，剔除粗差。
解：1）列出函数关系式:Z = f（l1，l2，…lk）
xP xA S AP cosTAP
xP
yA
S AP
sinTAP
TAP TAB
xP yP
xA S AP cos(TAB yA S AP sin(TAB
) )
32
3.3 误差传播定律
2）列出误差关系式
dxP
dxA
观测误差产生的原因
测量设备：仪器及其附件
仪器制造：设计与实现间的差别。
长期使用：部件磨损和环境影响。
观
观 测 者：作业员
测
仪器安置和操作
条
目标瞄准和读数
件
外界环境：风、温度、日照等 大气折光、热胀冷缩等 地球曲率、仪器升沉等
5
3.1 观测误差
观测误差原因示例 仪器的原因 钢尺量距 —— 刻划线刻划不均匀
一般线性关系
例6：设有函数 Z = C1 l1 + C2 l2 + … + Ck lk ， li互为独立观测值。 已知 m1，m2，… ， mk，求 mZ。
解： 误差关系式： z C11 C22 Ck n
构造中误差计算式： [2z ] C12[12 ] C22[22 ] Ck2[2k ]
3
3.1 观测误差
观测误差的概念
概 念：被观测对象的观测值与真实值(理论值)的差值。 一般用符号△表示：
△= L观 – X真（或 X理论值） 示例 角度测量 —— 三角形的闭合差：
W = ∠A + ∠B + ∠C – 180O 高程测量 —— 闭合水准线路的高差闭合差：
fh = Σhi
4
3.1 观测误差
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6.2 衡量观测质量的指标
评定观测质量的指标
方差
2
lim n
[2 n
]
（n→∞）
方差↘， 精度 ↗；
f ()
1
e
2 2 2
2
±σ=Δ拐
标准差
中误差
lim n
[] n
（观测次数
n→
∞）
m [] （观测次数 n → 有限个数）
n ——中误差 m 为标准差 σ 的估值
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6.2 衡量观测质量的指标
误差传播定律的公式推导： 基本思想：由微分的定义式出发 Z = f（l1，l2，…lk） Z + △Z = Z真（或Z理）
f
f
f
dZ l1 dl1 l2 dl2 ln dlk
f
f
f
Z
l1
1 l2
2
ln
k
因为：m [ ]， n
则mz2
Baidu Nhomakorabea
[ z z ] n
利
用
i与
间
z
关
系
mi表 示mz
中误差 m []
n
例1：某三角形用不同精度分别进行了2组各10次观测，三角形
内角和的误差(闭合差)如下(单位秒)，求2组三角形闭合差的中 误差。
第一组： +3，-2，-4，+2， 0，-4，+3，+2， -3， -1 第二组： 0，-1，-7，+2，+1，+1，-8， 0， +3， -1
解：m1
cos(TAB
) dSAP
SAP sin(TAB
)
dTAB
mi2
[ii ] n
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6.3 误差传播定律
误差传播定律的公式推导：
Z f (l1,l2 , lk ),
dZ
f l1
dl1
f l2
dl2
f lk
dlk
Z
f l1
1
f l2
2
f lk
k
[zz ]
n
f l1
2
[11 ]
n
f l2
2
[22 ]
n
f lk
2
[k k ]
n
F
F
2
f l1
f l2
[12
解： 误差关系式： dz dl1 dl2 z 1 2
构造中误差计算式： [ z z ] [11] [22 ] 2[12 ]
m 2 [ ] n
[zz ] [11] [22]
n
n
n
函数Z 的中误差： mz2 m12 m22
0
n→∞
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3.3 误差传播定律
误差传播定律的特例
f ()
1
e
2 2 2
2
±σ=Δ拐
大于3倍标准差的观测误差Δ出现的概率只有0.3%是小概率事件。 因此，通常将2倍标准差作为偶然误差的极限值，称为极限误差。 即：限 = 2σ或 Δ限 = 2 m
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6.2 衡量观测质量的指标
相对误差：误差的绝对值与相应观测值之比。
例2：线段AB长10m, 线段CD长100m，均丈量两次，两次丈量值 的差值分别为：ΔAB =10㎝；ΔCD =20㎝, 那条线段丈量的精度好？
Δ=0 时；f(Δ)有最大值
—— 偶然误差的聚中性 f(Δ) 的渐近线为横轴，Δ→±∞时， f(Δ)→0；
—— 偶然误差的有界性
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3.1 观测误差
误差分布曲线的特点 曲线拐点Δ = ±σ —— 当|σ|愈大时，曲线愈
平缓，小误差的个数少且分散； —— 当|σ|愈小时,曲线愈陡峭,小误差的个数多且集中。 参数σ的值可以作为衡量观测质量的标准。
构造中误差计算式： [ z z ] C 2[l l ]
m 2 [ ] [ z z ] C 2 [ l l ]
n
n
n
函数 Z 的中误差：
m
2 z
C
2 m l2
mz Cml
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3.3 误差传播定律
误差传播定律的特例 和差关系
例5：设有函数 Z = l1 + l2 ， l1和l2互为独立观测值。 已知 m1，m2，求 mZ。
13 0.036
5 0.014
2 0.006
0
0
177 0.495
负误差
合计
vi Vi/n vi Vi/n 45 0.126 91 0.254
40 0.112 81 0.227
33 0.092 66 0.184
23 0.064 44 0.123
17 0.047 33 0.092
13 0.036 26 0.072
解： m 1 SK
20
1
K1 1000000 50000
20
1
K2 800000 4000
24
6.3 误差传播定律
问 题：
设有一般函数： Z = f（l1，l2，…lk） 式中 li为独立观测
值，其中误差为 mi ，(i=1，2，…k)，求 Z 的中误差？
例如
xP xA S AP cos AP
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3.1 观测误差
系统误差的处理方法 系统误差处理方法1 —— 采用数学模型改正 — 钢尺量距
— 对钢尺鉴定获得丈量温度下实际尺长
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3.1 观测误差
系统误差处理方法2 — 采用一定的作业方法消除与削弱
水准测量 i 角误差
hAB
i
(SA
SB )
h
i
S
当S A SB hAB h 0
解：
1 SK
10cm 10 1 10m 1000 100
20cm 20 1 100m 10000 500
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6.2 衡量观测质量的指标
相对中误差：观测值中误差的绝对值与相应观测值之比。
例3: 丈量两段距离：L1= 1000m； L2= 80m， 中误差分别为: m1=±20mm， m2=±20mm，则那条线段丈量的精度好？
Di D j D
水准测量 —— 水准仪的 i 角误差 x S tan i S i
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3.1 观测误差
观测人员的原因 水准测量 —— 标尺上读数
1595 ? 中丝读数： 1596 ?
1597 ?
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外界环境的原因 高程测量 —— 大气折光
3.1 观测误差
6 0.017 11 0.031
4 0.011 6 0.017
0
00
0
181 0.505 358 1.000
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3.1 观测误差
偶然误差的特性 误差分布图 —— 频率直方图
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6.1 观测误差
偶然误差的特性
当观测次数足够多时偶然误差具有以下统计规律： 限值特性 —— 有界性 在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不超过一定的限值。 小误差大概率特性 —— 聚中性 绝对值较小的偶然误差比绝对值大的出现的频率大。 等值等概率特性 —— 对称性 绝对值相等的正负偶然误差出现的可能性大致相等。 均值零特性 —— 抵偿性 当观测次数无穷增多时，偶然误差的算术平均值为零。 偶然误差上述规律可以用数学公式加以描述。
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3.1 观测误差
误差分布图 —— 分布曲线 观测次数 n →∞ 区间间隔 d → 0
直方图 → 正态分布曲线
f ()
1
e
2
2 2
2
lim 2
[2 ]
n n
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3.1 观测误差
误差分布曲线的特点 f(Δ) 是偶函数，对称于纵轴； 当|Δ| 减小时，f(Δ) 增大；
—— 偶然误差的对称性、抵偿性