玻色子与费米子

密度。
注意：
以上讨论没有考虑自旋，并且考虑到是非相对论性的粒子。 如果粒子的自旋不为零，比如电子自旋为1/2，光子自旋为1，由于自旋 角动量在动量方向上的投影有两个可能值（前面已提到，自旋角动量在空间 中的任意一个方向的投影有两个可能值），也就是说，有两个不同的状态， 因此上面的量子态数公式需乘以2：
E i ;
i 1
N
N为系统的粒子的总数
i i (qi , pi ; 外场参量 )
c.全同粒子
粒子的质量、电荷、自旋都相同。
d.系统的微观状态
指构成系统的所有粒子的力学运动状态。
1.系统微观运动状态的经典描述
假设系统有N个粒子，每一个粒子的自由度为r，第i个粒子的力学运动状 态，由r个广义坐标和r个广义动量来描述：
qi1 , qi2 ,, qir ;
pi1 , pi2 ,, pir
当组成系统的N个粒子在某一时刻的运动状态都确定时，也就确定了整 个系统的在该时刻的运动状态。 因此，确定系统的微观运动状态需要2Nr个变量。
经典力学中，全同粒子是可以分辨的（因为经典粒子的运动是轨道运动， 原则上是可以被跟踪的）。如果在含有多个全同粒子的系统中，将两个粒子 的运动状态加以交换，交换前后，系统的力学运动状态是不同的。
2V D( )d 2 3 (2m) 3 2 1 2 d h
二、系统微观运动状态的描述
相关概念 a.系统
热力学和统计物理学中研究的对象都是由大量微观粒子构成的系统。 我们现在只讨论：近独立的全同粒子构成的系统
b.近独立粒子
粒子之间的相互作用很弱，可以忽略
系统的能量为单个粒子的能量之和：
例子:
a.三维自由粒子
自由度：3；μ空间维数：6
广义坐标 ：q1 x q2 y q3 z
能量：
广义动量 ：p1 p x mx p2 p y my p3 pz mz
1 2 2 ( px py p z2 ) 2m

以一维自由粒子为例，以 x, p x 为直角坐标，构成二维的 μ 空间，设一维容器的长度为L，粒子的一个运动状态( x, p x ) 可以 用 μ 空间在一定范围内的一点代表:
1.粒子的运动状态的经典描述
设粒子的自由度数r（能够完全确定质点Hale Waihona Puke Baidu间位置的独立坐标数目），粒 子在任一时刻的力学运动状态（或者微观运动状态）由2r个广义坐标和广义 动量确定：
广义坐标 ：q1 , q2 , q3 ,qr 广义动量 ：p1 , p2 , p3 , pr
粒子的能量是广义坐标和广义动量的函数：
D(p)表示单位动量大小间隔范围内的量子态数，称为动量空间的态密度。
p2 对非相对论性的自由粒子，有： 2m
d 2p dp 2m
体积V内，能量大小在到 d， 自由粒子的量子态数为 :
2V D( )d 3 (2m) 3 2 1 2 d h
D ( ) 表示单位能量间隔内粒子可能的量子态数，称为能量态密度，简称为态
＝（q1 , q2 ,qr；p1, p2 , pr）
如果有外场，粒子的能量还是外场的函数。
μ空间
由2r个广义坐标和广义动量张成的2r维直角坐标空间：
μ空间 ：（q1 , q2 ,qr；p1 , p2 , pr）
μ空间中任何一点代表力学体系中一个粒子的一个运动状态，这个点 称为粒子运动状态的代表点。当粒子运动状态随时间改变时，代表点相应 地在μ空间中移动，描画出一条轨迹。
px
( x, p x )
L
O
x
2.粒子运动状态的量子描述
微观粒子普遍具有波粒二象性（粒子性与波动性） 德布罗意关系(1924年)：
;
p k
不确定性关系（1925年）
qp h
其中
h 2 6.6261034 J s
都称为普朗克常数。
微观粒子的运动不是轨道运动 微观粒子不可能同时有确定的动量和坐标,经典描述失效 在量子力学中，微观粒子的运动状态是用波函数来描述的，微观粒子的 运动状态称为量子态。量子态往往可以由一组量子数来表征。这组量子数的 数目等于粒子的自由度数。 微观粒子的能量是不连续的,分立的能量称为能级。 如果一个能级的量子态不止一个，该能级就称为简并的。 一个能级的量子态数称为该能级的简并度。 如果一个能级只有量子态，该能级称为非简并的。 普朗克常数的量纲： [时间]· [能量]=[长度]· [动量]=[角动量] 具有这样量纲的一个物理量通常称为作用量，因而普朗克常数也称为基本 的作用量子。这个作用量子常作为判别采用经典描述或量子描述的判据。
dnx dny dnz Vdp x dpy dpz h3 Vp 2 sin dpdd h3

对 : 0 , : 0 2 积分：0

2
0
sin dd 4
体积V内，动量 大小在p到p dp， 自由粒子的量子态数为 :
4V 2 p dp D ( p )dp 3 h
q1 qr p1 pr h r
对动量采用球坐标：
pz

o
py
p x p sin cos p y p sin sin p z p cos

px
dpx dpy dpz p 2 sin dpdd
体积V内，动量 大小在p 到p dp， 方向在 到 d， 到 d的范围内， 自由粒子的量子态数为 :
进一步说明：
微观粒子的运动必须遵守不确定性关系，不可能同时具有确定的动量和 坐标，所以量子态不能用空间的一点来描述，如果硬要沿用广义坐标和广义 动量描述量子态，那么一个状态必然对应于空间中的一个体积元（相格）， 而不是一个点，这个体积元称为量子相格。 自由度为1的粒子，相格大小为普朗克常数： 如果自由度为r，相格大小为：
§18-9 统计物理学的基本概念
一.粒子的运动状态
粒子：指组成宏观物质系统的基本单元。 例：气体中的分子 金属中的离子和电子 辐射场中的光子
粒子的运动状态是指它的力学运动状态。
如果粒子遵从经典力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为经典描述。 如果粒子遵从量子力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为量子描述。