(精品)数学讲义七年级秋季班-第14讲：分式的综合计算-教师版

本讲内容综合了分式的基本概念和基本性质以及分式的计算．针对前几讲的内容，进行一节阶段性复习课．通过复习，可以更加灵活应用分式的性质，能够可以准确计算．

【例1】 在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？

1t ，(2)3x x +，2211x x x -+-，24x x +，52a ，2m ，21321x x x +--，3πx -，32

3a a a +．

【难度】★

【答案】分式：1t ，2211x x x -+-，24x x +，21321x x x +--，32

3a a a +；

整式：(2)3x x +，52a ，2m ，3πx

-．

【解析】分母中含有字母的代数式叫做分式． 【总结】本题主要考察分式与整式的概念．

分式综合计算

内容分析

知识结构

例题解析

2 / 25

【例2】 求使下列分式有意义的条件：

（1）1x ； （2）33x + ； （3）2a b a b +--；

（4）

2

1

n

m +； （5）22x y x y ++； （6）21

28x x -- ； （7）293x x -+．

【难度】★ 【答案】见解析．

【解析】（1）0≠x ；（2）3-≠x ；（3）a b 2≠；（4）m 为任何实数；（5）0≠x 或0≠y ；

（6）4≠x 且2-≠x ；（7）3-≠x ． 【总结】考察分式有意义的条件，分母不为零．

【例3】 当x 为何值时，下列分式的值为0？

（1）1

x x +；

（2）211

x x -+；

（3）

3

3x x --； （4）237x x -+；

（5）2231

x x x +--；

（6）224

2x x x

-+．

【难度】★ 【答案】见解析

【解析】（1）1-=x ；（2）1=x ；（3）3-=x ；（4）3±=x ；（5）3-=x ；（6）2=x ． 【总结】考察分式值为0的条件：分母不为零，分子为零．

【例4】 如果原计划a 天完成b 件产品，现需提前c 天完成，那么现在每天应生产的产品件

数是___________． 【难度】★

【答案】c

a b

-．

【解析】考察分式的实际应用．

【例5】 约分：32

22221()_______14()

a x y a x x y -=-．

【难度】★

【答案】()()

y x x y x a +-23． 【解析】()()()()3232

2222321()21()14()142a x y a x y a x y a x x y a x x y x y x x y ---==-+-+．

【总结】考察约分的方法，注意先利用平方差公式进行因式分解．

【例6】 若

222

22

x x x x =

--，则有（ ）．

A ．0x >

B ．0x ≠且2x ≠

C ．0x <

D ．2x ≠

【难度】★ 【答案】B

【解析】由题意可得：0x ≠且20x -≠，解得：0x ≠且2x ≠． 【总结】本题主要考察分式有意义的条件以及分式的约分化简．

【例7】 化简：293

33a a a a a ??++÷ ?--??

的结果为（ ）．

A ．

B ．

C ．

D ．1

【难度】★ 【答案】A

【解析】()2229393933333333a a a a a a a a a a a a a a a a a a ????++-++÷=-÷=÷=+?= ? ?-----+????．

【总结】考察分式的混合运算，注意法则的准确运用．

a a -()2

3a +

4 / 25

【例8】 x 为何值时，分式29

113x x

-+

+有意义？

【难度】★★

【答案】3-≠x 且4-≠x ． 【解析】由题意可得：03≠+x 且031

1≠++x

，所以3-≠x 且4-≠x ． 【总结】考察分式有意义的条件．

【例9】 若分式()()

216

34x x x --+有意义，则_____x 的取值范围是．

【难度】★★

【答案】3±≠x 且4-≠x ．

【解析】由题意可得：03≠-x 且04≠+x ，所以3±≠x 且4-≠x ． 【总结】考察分式有意义的条件．

【例10】 如果把分式

22

223y

x y -中的x 和y 都扩大为原来的5倍，那么这个分式的值

（

）

A ．扩大为原来的5倍

B ．不变

C ．缩小为原来的1

5

D ．扩大为原来的

52

倍 【难度】★★ 【答案】C

【解析】变化后的表达式为

()()

2

2

2225210152535y y

x y x y ?=

--．

【总结】若x ，y 的值扩大为原来的n 倍，分式中分子与分母的次数相同时，分式的值不变；

分式中分子的次数比分母的次数多m 次时，分式值扩大为原来的m n 倍；分式中分子的 次数比分母的次数少m 次时，分式值缩小为原来的m

n 1

倍．

【例11】 分式223234x x x x -+--与222

68x x x x +--+的最简公分母是____________．

【难度】★★

【答案】()()()214-+-x x x ．

【解析】多项式因式分解后取不同的因式的乘积，即为分式的最简公分母． 【总结】考察最简公分母的定义．

【例12】 计算：1

1_______1x x

-?=-． 【难度】★★ 【答案】121x

x --．

【解析】111211111x x x

x x x x x ---?

=-=

----．

【总结】考察异分母分式的加减运算，先通分再运算．

【例13】 若1x ≠，则

()()

222434

6

(_________)

x x x x x x +++-=--． 【难度】★★ 【答案】(

)243x x =-+．

【解析】()()()()()()2

242446323x x x x x x x x x x +++++==---+-，()()

24134(_________)(_________)

x x x x +-+-=， 根据分式的性质可得：(

)()()23143x x x x =--=-+．

【总结】考察分式的基本性质，注意十字相乘法因式分解的熟练运用．

6 / 25

【例14】 计算：

（1）3222

()a ab a b b a b b a

-+÷-；

（2）2324432478a a a a a a --÷

++-； （3）22

261241

4463

x x x x x x x --÷-++-+； （4）2222222222222()x y x xy y x xy xz

x y z yz x y z x xy -+++-÷

--+---． 【难度】★★

【答案】（1）3b a b -；（2）13a a -；（3）1

42x -；（4）x y z x y --+．

【解析】（1）()()3223

222()()a a b a b a ab a b b b b b a b b a a b a b a a b

+--+÷?=??=--+-；

（2）()()()()()()()23222814413247838223a a a a a a a a a a a a a a a a

+-+----÷=?=++-++-；

（3）

()()()()()()2222332261241111

446343322422x x x x x x x x x x x x x x

x -+---÷?=??=-=-++-+-+---；

（4）2222222222

222()x y x xy y x xy xz

x y z yz x y z x xy

-+++-÷?--+--- ()()

()()()()()()2

222

2x y x y x y x x y z x y z x y z x x y x y z yz +-++-=÷?---+--+- ()()()()()()()

()()2

x y x y x y z x y z x x y z x y z x y z x x y x y +----++-=

??+--+-+ x y z

x y

--=

+． 【总结】考察分式的乘除运算，注意分母和分子是多项式时，先因式分解再计算．

【例15】 计算：

（1）2

11a a a -+-；

（2）222

32233

565656

x x x x x x x x x ++--+-+-+-+； （3）25123

222222x x x x x x +---+

+++； （4）

2

2

2a b ab

a b a b a b -+-+-； （5）23

21111x x x x x x x ++--++；

（6）3

2

11

a a a a ++--．

【难度】★★ 【答案】（1）

211a a --；（2）23x -；（3）32；（4）a b a b +-；（5）221x -；（6）1

1a

-． 【解析】（1）()()2

222

1211111111

a a a a a a a a a a a a ---+=--=-=

-----；

（2）()()

()()

2

32233

222

56

233

x x x x x x x x x +-++--=

=

=

-+---原式； （5）

()2512325123333

=22222222222

x x x x x x x x x x x x +--+-+--+-+==+++++； （6）()()()()()()()2

2222a a b b a b ab a b a b ab a b

a b a b a b a b a b a b a b a b

+--+++-+===-+-+-+--； （5）()()()2

23212111112

111111111

x x x x x x x x x x x x x x x x x +++?-=?-=-=-+++-++-+-；

（6）()()233332

1111

1111111a a a a a a a a a a a a a a a

-++-++-=-=-=------． 【总结】本题主要考查分式的加减运算，注意法则的准确运用．

8 / 25

【例16】 先化简，再求值：

（1）已知2x =3

y

，求分式3223x y x y +-的值；

（2）已知

112x y -=，求分式

343252x xy y

x xy y

+---的值； （3）已知34

a =，2

3b =-，求分式222396a ab a ab b --+的值；

（4）已知 1.125x =-，0.875y =，求分式221(1)()x y xy

xy x y -+----的值；

（5）已知20x y +=，0xy ≠，求分式22

22

22x xy y x xy y +-++的值．

【难度】★★

【答案】（1）125-；（2）29；（3）935；（4）64-；（5）17

-． 【解析】（1）已知2x =3y

，设k y k x 3,2==，

323223122322335x y k k x y k k +?+?==--?-?； （2）已知

112x y -=，则2=-xy x

y ，所以xy x y 2=-， 原式()()()()343242

252259

x y xy xy xy x y xy

xy xy

-+?-+=

=

=

--?--； （3）()()2

22233=9633a a b a ab a a ab b a b a b --=-+--，当34a =，23b =-，3593243343

=?

?

? ??--?=原式； （4）

()()22111

(1)()111x y xy x y xy xy x y xy x y xy x y xy x y

-+--+-==----+---+-+-，

当 1.125x =-，0.875y =，()64875

.0125.1875.0125.111

-=--?--=

原式；

（5）已知20x y +=，则y x 2-=，()()()()2

2

22222222221

27

222y y y y x xy y x xy y y y y y -+--+-==-++-+-?+．

【总结】本题主要考察分式的化简求值，求值时注意整体思想的运用．

【例17】 已知1111a b b c +=+=，，且0a ≠，求1

c a

+的值． 【难度】★★★ 【答案】1． 【解析】因为11b c

+=，所以c c c b 111-=

-=，代入11=+b a ，可得：11=-+c c

a ， 即

11=-+-c c a ac ，1-=+-c c a ac ，所以1-=-a ac ，所以c a -=

11，即c a

-=11

， 所以11

=+

a

c ． 【总结】本题一方面考察分式的变形，另一方面考查整体思想的运用，综合性较强．

【例18】 计算：

42

4211

1111x x x x

++++++-． 【难度】★★★

【答案】8

18

x -． 【解析】

424211

1111x x x x +++

+++-

()()()()()()

()()()()()()()()

()

()()

()

()()

()()

2

4

24

224

22422224

2244

44444

4

4

4

8

1124

1111112

24

1111224

11121214111114

411144

11414111118

1181x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-=+++-+-+++=+

+

-+++=

++

-+++-=++

+-+-+=+

+-+=+

-++-=+

-+-+=-+=

-

【总结】本题主要考查异分母分式的加法运算，注意先通分，平方差公式的运用．

10 / 25

【例19】 计算：

2222

1111

4381512351663

x x x x x x x x +++++++++++． 【难度】★★★

【答案】()()914

++x x ．

【解析】

22221111

4381512351673x x x x x x x x +++

++++++++ ()()()()()()()()

()()

1

1

1

1

133557791111111112133557791112194

19x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+

+

+

++++++++??

????????=

-+-+-+- ? ? ? ???

++++++++????????????=- ?++??

=

++ 【总结】本题主要考察分式的加法运算，注意观察分母的规律，通过裂项进行求解．

【例20】 已知11

211

a b a b +=+-+-，且20a b -+≠，试求ab a b -+的值． 【难度】★★★ 【答案】2

【解析】原式变形为：()()

2

2011b a a b a b ---++

=+-，

所以()()()121011a b a b ??-+-=??+-????

．

因为20a b -+≠，所以()()

1

1011a b -=+-，

∴()()111a b +-=，

所以2ab a b -+=．

【总结】本题一方面考查分式的化简求值，另一方面考查整体思想的运用．

【例21】 已知2221a b c ++=，1111113a b c b c a c a b ??????

+++++=- ? ? ???????

，求a b c ++的值．

【难度】★★★

【答案】0或±1．

【解析】因为1111113a b c b c a c a b ??????

+++++=- ? ? ???????，

所以11111130a b c b c a c a b ??????

++++++= ? ? ???????，

即1111111110a b c b c a c a b ??????

++++++++= ? ? ???????

．

所以0111111111=??? ??+++??? ??+++??? ??++c b a c c b a b c b a a ，即()0111=??

?

??++++c b a c b a ．

所以0=++c b a 或0111=++c b a ，当01

11=++c

b a 时，0=++a

c ab bc ，

∵()()10122222=+=+++++=++ac bc ab c b a c b a ， 所以1±=++c b a ．

综上，01a b c ++±的值为或．

【总结】本题综合性较强，主要是考察分式的变形及其运用．

【例22】 计算：222

()()()()()()()()()

y z z x x y x y x z y x y z z x z y ---++------．

【难度】★★★ 【答案】3-．

【解析】原式222

()()()()()()()()()

y x x z z y y x x z z y x y x z y x y z z x z y -+--+--+-=++------

222222

()2()()()()2()()()()2()()()()()()()()()

x y y x x z x z y z z y y x y x z x x z z y z y x y x z y x y z z x z y -+--+--+--+--+--+-=++

------222x y x z y z y x z x z y

x z x y y x y z z y z x ------=-++-++-+

------ 222x y z y x z y z y x z x

x z x y y z

--+--+--+=

-+-+----

3=-．

【总结】本题一方面考察完全平方公式的运用，另一方面考查分式的化简求值．

12 / 25

【习题1】代数式213x +，12x x

+，211x x -+，2a b

-，3y ，2232a b ab +

，m n +，xy 中分式 有（ ）．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【难度】★ 【答案】C

【解析】分式：12x x +，21

1x x -+，3y ，共有3个，故选C ．

【总结】考察分式的定义．

【习题2】若

33a

a

-有意义，则33a a -（

）． A ．无意义 B ．有意义

C ．值为0

D ．以上答案都不对

【难度】★ 【答案】D 【解析】若

33a

a

-有意义，所以3≠a ，分母可能为0，有可能不为零． 【总结】考察分式有意义的性质．

【习题3】x 为何值时，分式2

1

32

x x -+有意义？ 【难度】★

【答案】1≠x 且2≠x ．

【解析】0232≠+-x x ，所以1≠x 且2≠x ． 【总结】考察分式有意义的条件．

随堂检测

【习题4】

()()5111

1212

x A x x x x +=+

----，则________A =． 【难度】★ 【答案】6-． 【解析】

()()()()()()()

21111121111

121212A x x A x A A x x x x x x -+-+--+==------，

所以A +11=5，所以A =6-．

【总结】考察异分母分式的加减法运算．

【习题5】如果2

26x x -的值是负数，那么______x 的取值范围是．

【难度】★

【答案】6

【解析】如果2

26x x -的值是负数，因为22x 为非负数，则需要06<-x ，所以6

【总结】本题主要考察分式值为负数的条件．

【习题6】将分式11341123

a b

a b +-化简，得（ ）．

A ．

4332a b a b

+-

B ．

4364a b

a b

+-

C ．

6443a b

a b

-+

D ．

3463a b

a b

+-

【难度】★ 【答案】B

【解析】因为1111

12

433434111164122323a b a b a b a b a b a b ??+?+ ?+??==

-??--? ???，故选B ．

【总结】考察分式性质的基本性质的运用．

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【习题7】约分：

（1）3_____3mn

m

=；

（2）227______28x z xy z

-=；

（3）229

______26a a a -=-；

（4）22

22

2_______m mn n m n -+=-．

【难度】★

【答案】见解析．

【解析】（1）32

33mn n

m m =；

（2）222

7284x z x

xy z y -=-；

（3）()()()22339

326232a a a a a a a a a

+--+==--；

（4）()()()2

22222m n m mn n m n

m n m n m n m n

--+-==-+-+．

【总结】考察分式的约分．

【习题8】当_____x =时，分式222x x

x x -+-的值为零．

【难度】★★ 【答案】0．

【解析】由题意，可得：02=-x x 且022≠-+x x ，所以0=x ． 【总结】考察分式值为0的条件．

【习题9】如果

334x y x y +=-，那么_____x

y

=． 【难度】★★ 【答案】11

6

．

【解析】如果334x y x y +=-，则()y x y x -=+433，所以y x 611=，所以116

=y x ．

【总结】考察利用分式的基本性质进行变形计算．

【习题10】下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式．

（1）22444x x x -+-； （2）633()4()a a b b a --； （3）222x y y -； （4）2221

288x x x x ++++．

【难度】★★

【答案】（3）（4）是最简分式；（1）（2）不是最简分式．

【解析】（1）()()()22224424222x x x x x x x x --+-==--++； （2）()3

63

33()4()4a b a a a b b a --=-．

【总结】考察最简分式的定义．

【习题11】若1a b <-<，化简：||11|1|

a b a b a b

b b b +++-÷

+++． 【难度】★★

【答案】1

1+-b a

．

【解析】若1a b <-<，则0<+b a ，01>+b ，

所以||1111|1|11111a b a b a b a b a b a b a b a

b b b b b b b b +++++++--÷=-+÷=-+=

++++++++． 【总结】考察绝对值的化简和分式的加减乘除运算．

【习题12】求下列各组分式的最简公分母 （1）22231

77121

a a a a a --+-，，

； （2）2

22214532310x x x x x x x x --++--，，

； （3）222

222

2

a a

b ab a a ab b ab a b

+---，，； （4）222321

1881811881x x x x x -+-++，，

． 【难度】★★

【答案】（1）()()1172+-a a ；（2）()()()215++-x x x ；（3）()()b a b a ab -+；（4）

()()2299+-x x ． 【解析】将分母中的多项式进行分解，取相同因式的最高次数的表达式相乘则为最简公分母． 【总结】考察最简公分母的求法．

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【习题13】计算：

（1）4

3

22222()x y xy x y x y ????

-÷ ???+-????

；

（2）2233x y x y

x y x x y x x ??+-??---÷

???+???

?； （3）232248

4436

x x x x x x -++÷-+-()

24x -；

（4）222255102a

x ax a x ax a x a x a x a x a x x a ????++÷+- ? ?

+--+--????

； （5）

11213x

+

+．

【难度】★★ 【答案】（1）

()

()

3

5216x x y y x y -+；（2）

2x x y -；（3）3；（4）5；（5）31

72

x x ++． 【解析】（1）原式()()8436

33416()x y x y x y x y x y =÷++-()()3

3

844

3616()x y x y x y x y x y +-=?+()()3

5216x x y y x y -=+； （2）原式()22233x y x x y x x y x x y x y ??+=-?+?+???++-??2x

x y =

-；

（3）原式()

()()()()()222

22424

22322x x x x x x x x x +-+-+=

÷?+--- ()

()

()()

()()22

23224

222242x x x x x x x x x --+=

?

?+-+-+-3=；

（4）原式()()()()

()()()()

55102a a x x a x ax

a a x x a x ax

a x a x a x a x -+++-+++=

÷

+-+-

()()()()2222

51052a ax x a ax x a x a x a x a x ++++=÷+-+-()()()()()()2

2

5a x a x a x a x a x a x ++-=?

+-+

5=；

（5）原式1131

7272231

31

x x x x x x +=

=

=+++

++． 【总结】考察分式加减乘除法运算，注意繁分数的运算方法．

【习题14】若22103460a b a b +-+-=，求a b

a b

+-的值． 【难度】★★ 【答案】4．

【解析】若22103460a b a b +-+-=，则()()0352

2=-+-b a ，所以53a b ==，．

所以

5+3

453a b a b +==--．

【总结】本题一方面考察非负数的和为零的模型，另一方面考查分式的运算．

【习题15】已知2

2

320a ab b +-=()00a b ≠≠，，求22

a b a b b a ab

+--的值．

【难度】★★ 【答案】3-或2．

【解析】已知22320a ab b +-=()00a b ≠≠，，所以()()023=+-b a b a ，所以a b 23

=或a b -=．

因为2222222a b a b a b a b b

b a ab ab a +-----==-，

所以当a b 23

=时，2233a b a b a b a ab a +--=-=-；

当a b -=时，2222a b a b a

b a ab a +---==-．

综上，22

a b a b b a ab

+--的值为3-或2．

【总结】本题主要考察分式的化简以及整体代入思想的运用．

【习题16】已知11a x a -=

+，2332a

y a

-=-，用含x 的代数式来表示y ． 【难度】★★★ 【答案】151

5+-=x x y ．

【解析】已知11a x a -=

+，则()a a x -=+11，所以x

x

a +-=11，

所以()()3122351121325131x a x x y x a

x x

--

--+=

==--+-

+． 【总结】考察分式的变形．

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【习题17】化简：

（1）；

（2）222223253452851223a a a a a a a a a a a a ++-----+--+

++--． 【难度】★★★ 【答案】（1）1；（2）

()()()()

84

1223a a a a a -+++--．

【解析】（1）

()()()()()()()()()()

()()

a b c a b c b c a b c a c a b c a b a c b a c b a b c a b c b c a b c a +--++--++--+=

+++-+++-+++++-

a b c b c a c a b

a c

b a b

c a c b +-+-+-=++

++++++ a b c

a c b

++=

++

1=；

（2）222223253452851223

a a a a a a a a a a a a +

+-----+--+

++--

()()()()()()()()()()()()22222222231161344128611223

231161344128611223

211132132212131=1223

1111

21332211223

1a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++--+----+-=--+

++--+++--+----+-=--+

++--+++-+++-------+

++--=++----+++--

++--=()()()()

()()()()

1111223

11

122384

1223a a a a a a a a a a a a a -+-

++--=-

++---+=

++--

【总结】本题计算比较复杂，主要考查分式的加减运算，注意方法的选择运用．

222222

222222

()()()()()()a b c b c a c a b a c b a b c b c a ------+++-+-+-222222222222

()()()()()()a b c b c a c a b a c b a b c b c a ------+++-+-+-

【习题18】已知21x

x x ++=a (0)a ≠，用a 表示2421x x x ++的值．

【难度】★★★ 【答案】a

a 212

-．

【解析】因为

21

111x a x x x x

=

=++++，所以11

1-=+a

x x ，

所以2211()(1)x x a +=-，即2

221121x x a a +=--．

所以22

422

22111121121x a x x a x x a a

====

++-++-

． 【总结】本题主要考察分式的变形和完全平方公式的运用．

【习题19】化简：

． 【难度】★★★

【答案】()55

+x x ．

【解析】

()()()()()()()()()()

555115141413131212111111541

43132121111+=

+-

=+-

+++-+++-+++-+++-=

+++

++++++++++=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 【总结】考察分式化简，注意观察分式规律，利用裂项的方法进行运算．

22222111113256712920

x x x x x x x x x x +++++++++++++2222211111

3256712920x x x x x x x x x x ++++

+++++++++

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【作业1】 计算：3

2

222______x y ax a y ??

??

?= ?

?--??

??

． 【难度】★ 【答案】ay

x 10

-．

【解析】3

2

22632410

23

4x y ax x y a x x a y a y ay ?????=?=- ? ?---????

． 【总结】考察分式的乘法及乘方运算，先约分后计算．

【作业2】 当232123x k

xy x y

-=时，k 的值是________． 【难度】★ 【答案】2

222

33xy y x k -

=． 【解析】因为()2

2222323213216333x xy x x y xy xy x y x y -?--==，所以22

22

33xy y x k -=． 【总结】考察分式的基本性质的运用．

【作业3】 约分： （1）

32324_______30x y

x y -=；

（2）262______31

x x

x +=+．

【难度】★ 【答案】见解析．

【解析】（1）323

2244305x y x

x y y

-=-；

（2）()22316223131

x x x x x x x ++==++． 【总结】考察利用分式的性质进行约分．

课后作业