广义相对论_ppt05

2020/3/1
广义相对论_球对称的引力场
20
5.3 伯克霍夫定理
我们在上一节对Schwarzschild解的推导，开始于度规是球对称的和 静态的假设。后一个假设实际上是不需要的，因为它暗含在前一个假设 之中----可以证明，Einsten方程的任何球对称真空解必定是静态的，而 且必须与Schwarschild解一致*。这就是Birkhoff定理。
（5.3.4） （5.3.5） （5.3.6） ，故 是与时间无关的。
2020/3/1
广义相对论_球对称的引力场
22
如果把
代入到方程（5.3.1）---（5.3.4），这些方程就与
（5.2.7）---（5.2.10）相等。因而，方程的解就可以用与前面完全相同
的方式来求出，我们得到【见（5.2.11）---（5.2.13）】
广义相对论简介
授课教师： 范忠辉 云南大学物理科学技术学院
第五章 球对称的引力场
➢ 5.1 球对称度规场的一般结构 ➢ 5.2 史瓦西外部解 ➢ 5.3 伯克霍夫定理 ➢ 5.4 史瓦西坐标的物理意义 ➢ 5.5 引力源中的内引力场
2020/3/1
广义相对论_球对称的引力场
2
5.1 球对称度规场的一般结构
周分成等份的能力；即使在不知道度规的情况下，我们也能做到。“径
向”坐标 r 的含义是不明确的，因为我们不知道它和距离测量的准确关
系。“时间”坐标 t 也有类似的不确定性。
2020/3/1
广义相对论_球对称的引力场
7
场是球对称和静态的，采用球坐标： 我们用（5.1.6）式的度规形式
（5.2.1）
度规的逆变形式为： （利用
则（5.3.9）式就与（5.2.17）式相同。我们的球对称解（5.3.9）式因此 与Schwarzschild解一致。
Birkhoff定理的意义：Schwarzschild解描述的是球对称源的外引力 场，但这个源不必是静止的。因此，当观测到一个Schwarzschild引力 场，我们无法判明它的源是一个稳定的，还是一个膨胀、收缩、振荡的。
2020/3/1
广义相对论_球对称的引力场
24
度规场是由度规张量的10个独立分量描述的，每一分量都是时空坐 标的四元函数。
引力场由度规场确定。因此，球对称引力场即球对称度规。 球对称度规为在三维空间正交变换（转动或反射）下，线元（或度 规张量）形式不变的度规。 在三维空间正交变换下，只有两空间点之间的距离
、径向距离r及其微分和时间 t及其微分是不变量。因此，所求的 只能由这些不变量组成。
作为这一定理的一个结果，球对称质量分布在其周围区域产生的场
总是静态Schwarzschild场，无论该质量是静态的、坍缩的、膨胀的或
者脉动的。（这一表述暗含着一个假定，即质量分布中没有净电荷；如
果有净电荷，则周围空间将存在电场，而且真空条件
将被违
反。
放弃静态假设，我们必须使用度规形式
（5.1.5）
* 当然，可以把任何解的形式通过坐标变换加以改变。因此，如果两个解只差 一个坐标变换，则它们将被认为是一致的；这样的解在物理上式完全相同的。
球对称的，这一物质分布所产生的引力场必定也是球对称的。此外，如
果质量分布是静止的并且没有转动，引力场必定也是静态的。
一个场被称为是静态的，必须同时满足时间无关和时间对称两个条
件，后者即时间反演不变。
对于一个球对称的场，自然是应用球极坐标
。角坐标 和
是明确的；这两个坐标的测量，只取决于外面把一个以原点为中心的圆
广义相对论_球对称的引力场
17
Ricci张量和曲率不变量可以从Christoffel符号计算出来；只有 的对 角分量不为零。真空中的Einstein方程
利用
，则上面的场方程变为下面的方程组：
（5.2.7） （5.2.8）
（5.2.9）
（5.2.10）
上述方程可以相当容易地积分出来。考虑（5.2.7），它可以写成
（5.2.15）
（5.2.16）
最后一步，我们必须验证，解（5.2.12）式和（5.2.16）式也满足至今
还没有用过的微分方程（5.2.9）和（5.2.10）。作业5：对此验证。
按照（5.2.12）和（5.2.16）式，球对称场的时空间隔的形式为：
（5.2.17）
2020/3/1
广义相对论_球对称的引力场
2020/3/1
广义相对论_球对称的引力场
21
度规（5.1.5）式相应的曲率张量的计算，只比度规（5.1.6）式相应 的计算稍稍复杂一些。结果得到的Einstein方程如下（撇号和点号分别 表示对 r 和 t 的导数）：
（5.3.1） （5.3.2）
（5.3.3）
方程（5.3.5）和（5.3.6）意味着
10
2020/3/1
广义相对论_球对称的引力场
11
2020/3/1
广义相对论_球对称的引力场
12
里契（Ricci）张量：
作业3：证明由式（5.2.4）得到的Ricci张量具有如下的 非零分量：
作业4：证明曲率标量R的值为：
2020/3/1
广义相对论_球对称的引力场
（5.2.5）
（5.2.6）
13
（Schwarzschild）解。
这个解的重要性大大超出了在太阳系中的应用。现在认为，任何非
转动、电中性的恒星的引力坍缩，其最后结果必定将导致Schwarzschild
几何；即使初始是非对称的，任何与对称的Schwarzschild场的偏离，最
终都将以引力波的形式辐射掉。
下面求解质量分布周围真空区域的Einstein场方程。如果物质分布是
方法一
2020/3/1
广义相对论_球对称的引力场
14
方法二
2020/3/1
广义相对论_球对称的引力场
15
方法三
2020/3/1
广义相对论_球对称的引力场
16
由里契张量
1.证明：
这里指标 第一项 所以
对时间求导，显然这项为零。
2.证明：
这里指标 所以
3.证明：曲率标量R。由定义 所以
2020/3/1
（5.1.6）
2020/3/1
广义相对论_球对称的引力场
5
由（5.1.5）式，可得度规形式为： 度规的逆变形式为：
2020/3/1
Biblioteka Baidu
广义相对论_球对称的引力场
（5.1.7）
（5.1.8）
6
5.2 史瓦西外部解
在研究太阳引力场中行星轨道近日点的进动，我们需要一个球对称
质量分布周围引力场的精确解，至少是比较精确的解。这就是史瓦西
或写为
（5.1.4）
（5.1.4）式是球对称度规的最普遍形式。 为求解Einstein方程，通常把b和a写出指数形式（因为这将简化计算中 的某些表示式）：
（5.1.5）
上式只考虑了度规场的几何对称性和坐标选取的任意性。为完全确定
度规，需有Einstein引力场方程来确定任意函数
和
。
如果是静态（或称稳态）的：
上面这个微分方程的解为
（5.3.7）
（5.3.8）
其中
是一个时间的任意函数。
利用（5.2.12）式给出的 ，以及
因此求得
2020/3/1
广义相对论_球对称的引力场
（5.3.9）
23
此式与Schwarzschild解的区别只是在于第一项中的因子 。这个与 时间有关的因子，可以用一个时间坐标的进一步变换消去。如果用一 个新的坐标 t’ 使得
（5.2.3）
作业1：推导Christoffel符号的上述表示式。
2020/3/1
广义相对论_球对称的引力场
9
Riemann张量：
作业2：证明度规（式5.2.1）和Christoffel符号（式5.2.3） 导致Riemann张量的下列非零分量：
（5.2.4）
2020/3/1
广义相对论_球对称的引力场
）
（5.2.2）
未知函数为 和 ，我们将用Einstein方程来求出它们。
2020/3/1
广义相对论_球对称的引力场
8
由（5.2.1）和（5.2.2），得到度规及其逆变形式的分量：
所有非对角分量为零。 按联络公式：
形式为（5.2.1）式的度规张量的Christoffel符号（撇号表示导数： ）的所有非零分量如下：
作为该定理的一个推论，一个球对称质量分布在其中心的球形空腔 中不产生引力场。【这一结论在Newton理论中是当然成立的：利用势 函数的唯一性定理可以证明，一个均匀的球壳在其内部所产生的势是常 数。】在Einstein理论中，Birkhoff定理保证了空腔内部的解必定是 （5.2.17）式给出的Schwarzschild解。因为一个空腔不能含有任何奇点， 我们必须取 C=0，因此在空腔内部时空是平直的。
19
注意： 而前面论证过（见教材3.4节，差一负号）， 在牛顿近似下有
其中M为中心质量。 通过比较，看到
利用上式，（5.2.17）式变为
（5.2.18）式称为史瓦西（Schwarzshild）解。
（5.2.18）
必须记住：质量M是系统的总质量；引力质量贡献的质量-能量也包括 在M之中。显然，除非M是系统的总能量，等效原理（MI=MG）就不能满足。
2020/3/1
广义相对论_球对称的引力场
3
因而，球对称度规的最普遍形式为：
（5.1.1）
作一坐标变换，令
，则上式化为：
令 其中 为使 cdt’ 恰为全微分的积分乘子，即
（5.1.2） （5.1.3）
2020/3/1
广义相对论_球对称的引力场
4
则以（5.1.3）式代入（5.1.1）式，即可消去 drdt 项，得到一个时轴正 交系，即
它有普遍解（C为常数）：
（5.2.11） （5.2.12）
提示：代入
，简化微分方程（5.2.11）。
2020/3/1
广义相对论_球对称的引力场
18
由（5.2.8）减（5.2.7），我们得到 由此
（5.2.13） （5.2.14）
但在大距离上 （ 度规张量。因此， 为零，则有
因而 的解为
），度规张量必须化为球坐标下平直时空的 和 必须在这一极限下趋于零，而且常数必须