连续介质力学读书报告

第一章绪论

研究连续介质宏观力学性状的分支学科。宏观力学性状是指在三维欧氏空间和均匀流逝时间下受牛顿力学支配的物质性状。连续介质力学对物质的结构不作任何假设。它与物质结构理论并不矛盾，而是相辅相成的。物质结构理论研究特殊结构的物质性状，而连续介质力学则研究具有不同结构的许多物质的共同性状。连续介质力学的主要目的在于建立各种物质的力学模型和把各种物质的本构关系用数学形式确定下来，并在给定的初始条件和边界条件下求出问题的解答。

如果一个物体的质量、动量、能量密度在数学意义上存在，这个物质就是一个物质连续统（连续介质）。这样一个物质连续统的力学就是连续介质力学（附加限制条件：只要始终保持含有足够多的粒子，而不至于使极限值不存在或者发生突跃）。它通常包括下述基本内容：①变形几何学，研究连续介质变形的几何性质，确定变形所引起物体各部分空间位臵和方向的变化以及各邻近点相互距离的变化，这里包括诸如运动，构形、变形梯度、应变张量、变形的基本定理、极分解定理等重要概念。

②运动学，主要研究连续介质力学中各种量的时间率，这里包括诸如速度梯度，变形速率和旋转速率，里夫林－埃里克森张量等重要概念。③基本方程，根据适用于所有物质的守恒定律建立的方程，例如，热力连续介质力学中包括连续性方程、运动方程、能量方程、熵不等式等。④本构关系。⑤特殊理论，例如弹性理论、粘性流体理论、塑性理论、粘弹性理论、热弹性固体理论、热粘性流体理论等。⑥问题的求解。根据发展过程和研究内容，客观上连续介质力学已分为古典连续介质力学和近代连续介质力学。

1.1基本假设

连续介质力学的最基本假设是“连续介质假设”：即认为真实的流体和固体可以近似看作连续的，充满全空间的介质组成，物质的宏观性质依然受牛顿力学的支配。这一假设忽略物质的具体微观结构（对固体和液体微观结构研究属于凝聚态物理学的范畴），而用一组偏微分方程来表达宏观物理量（如质量，数度，压力等）。这些方程包括描述介质性质的方程（constitutive equations）和基本的

1.2研究对象

固体：固体不受外力时，具有确定的形状。固体包括不可变形的刚体和可变形固体。刚体在一般力学中的刚体力学研究；连续介质力学中的固体力学则研究可变形固体在应力，应变等外界因素作用下的变化规律，主要包括弹性和塑性问题。

弹性：应力作用后，可恢复到原来的形状。

塑性：应力作用后，不能恢复到原来的形状，发生永久形变。

流体：流体包括液体和气体，无确定形状，可流动。流体最重要的性质是粘性（viscosity，流体对由剪切里引起的形变的抵抗力，无粘性的理想气体，不属于流体力学的研究范围）。从理论研究的角度，流体常被分为牛顿流体和非牛顿流体。

牛顿流体：满足牛顿粘性定律的流体，比如水和空气。

非牛顿流体：不满足牛顿粘性定律的流体，介乎于固体和牛顿流体之间的物质形态。

1.3连续介质力学发展史

古典连续介质力学，侧重于研究两种典型的理想物质，即线性弹性物质和线性粘性物质。弹性物质是指应力只由应变来决定的物质。当变形微小时，应力可以表示为应变张量的线性函数，这种物质称为线性弹性固体。本构方程中的系数称为弹性常数。对各向异性弹性固体最多可有21个弹性常数,而各向同性弹性固体则只有2个。粘性物质是指应力与变形速率有关的物质。对流体来说，如果这个关系是线性的，就称为线性粘性流体或称牛顿流体。对线性粘性流体只有2个粘性系数。这两种典型物质能很好地表示出工程技术上所处理的大部分物质的特性，所以，古典连续介质理论至今仍被广泛应用并将继续发挥它解决实际问题的能力。连续介质力学

近代连续介质力学

是1945年以后逐渐发展起来的。它在下列几个方面对古典连续介质力学作了推广和扩充：①物体不必只看作是点的集合体；它可能是由具有微结构的物质点组成。②运动不必总是光滑的；激波以及其他间断性、扩散等，都是容许的。③物体不必只承受力的作用；它也可以承受体力偶、力偶应力以及

电磁场所引起的效应等。④对本构关系进行更加概括的研究。⑤重点研究非线性问题。研究非线性连续介质问题的理论称为非线性连续介质力学。

近年来，近代连续介质力学在深度和广度方面都已取得很大的进展，并出现下列三个发展方向：①按照理性力学的观点和方法研究连续介质理论，从而发展成为理性连续介质力学。②把近代连续介质力学和电子计算机结合起来，从而发展成为计算连续介质力学。③把近代连续介质力学的研究对象扩大，从而发展成为连续统物理学。

1.4学科构成

连续介质力学体系的由基元（物体、质量、时空系、运动、力、功和能、温度和热），基本规律（适合于所有物体，构成自然界的基本规律）及本构方程（各种物体特有的规律）组成。

1.5主要分支学科：

基本分支学科：固体力学；弹性力学；塑性力学；断裂力学；流体力学；流体静力学；流体运动学；流体动力学。

应用分支学科和交叉学科：结构力学；材料力学；爆炸力学；空气动力学；等离子体动力学；磁流体动力学。

1.6主要研究内容

张量初步（张量的概念、坐标变换、张量运算等）；运动和变形（关于物体变形和运动的几何描述）；基本定律（如质量守恒、动量守恒等以及热力学定律）；本构关系（本构公理以及典型简单物质的本构方程）。

第二章张量初步

2.1矢量和张量

重要矢量等式：()()()??=?-?c a b b c a a c b

指标记法：

哑指标求和约定

3

自由指标规则

协变基底和逆变基底：

i i ξ?=

?r g j j i i δ?=g g i

i k k x

ξ?=?g e

1

23 ??===g g g g g g g 张量概念

i i'i'i β=g g i'i'i i β=g g

i'i'i i v v β=i i'i'i v v β=i'j'i'j'k l ij ..k'l'i j k'l'..kl T T ββββ=

i i i i v v ==v g g ..kl i j ij k l T =???T g g g g

度量张量

ij i i i j i i g =?=?=?G g g g g g g

?=?=?=?=v G G v v T G G T T

.j kj i ik T T g =

张量的商法则

lm ijk T(i,j,k,l,m )S U =ijk ...lm T(i,j,k ,l,m )T =

臵换符号

31121231231n n n i i i i i ....n .n i i i ...i A a a a ......a a e --

31121231231231n n n n j j j ...j i i i i i n .j .j .j .j .n i i i ...i a a a ......a a e A e --=

i i i

r s t j j j ijk ijk ijk r s t rst rst rst

k k k

r s t e e δδδδδδεεδδδδ===

ijk j

k j

k jk

ist s t t s st δδδδδδ=-

2ijk

k

ijt t δδ=

6ijk

ijk δ=

臵换张量

i j

k ijk ijk i j k εε=??=??εg g g g g g

ijk i j k ijk ()e ε=??=g g g ijk

ijk i j k ()ε=??=g g g

()::()i j k ijk

ijk i j k a b a b εε?===?=?a b g g a b εεa b

2.2：二阶张量

重要性质：T =T.u u.T

主不变量

1.()i i Tr T ζ==T 212ij l m

lm .i .j T T ζδ=3()det ζ=T

1()()(())(())()ζ?????????=??T u v w +u T v w +u v T w u v w

2)[)][()(]()[()]()

ξ????????????=??T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （

()[()()]det()()?????=??T u T v T w T u v w

标准形

1) 特征值、特征向量

λ?=T v v ()λ-?=T G v 032

1230λζλζλζ-+-=

2) 实对称二阶张量标准形

123112233i i λλλ=??=?+?+?N N g g g g g g g g

3. 正交张量（了解方法）

12112233(cos()sin())(sin()cos())????=+?+-+?+?R e e e e e e e e

4. 反对称二阶张量的标准形

21123μμμ=?-?=?Ωe e e e e G

?=?Ωu ωu

31

:2μ=-=?ωεΩe u

=-?Ωεω

5. 正则张量极分解

=?=?T R U V R

2.3张量函数

概念：各项同性张量函数、解析函数

5

计算 e T s i n ()

T 重要定理：

1) Hamilton-Cayley 定理：

32321231230λ?λ?λ????-+-=?-+-=T T T G 0

2) .对称各向同性张量函数表示定理：

2012()f k k k ==++H N G N N ；

其中T T

;==H H N N ；而系数i k 是N 的主不变量的函数。 张量函数的导数

1) 方向导数：'01

(;)lim [()()]h h h →=+-T A C T A C T A 是C 的线性函数

2) 方向导数与导数之间的关系

''(;)():=T A C T A C 3) 导数'()()()i j k i j k ijk ijk

A A ??=???=?????T T T A g g g g g g 4) 张量函数导数的链式法则：()(())=H T G F T ，则 ''*'

()()()n =H T G F F T 重要辅助知识

.....()()()

()::()()()i j T T j i i j k j k i tr tr tr tr A B tr A B C tr tr +=+?===??==??=??A B A B A B A B A B

A B C B C A C A B

2.4：曲线坐标系张量分析

基矢量的导数

j

k ij k i

ξ?=Γ?g g i i j kj k ξ?=-Γ?g g k km ij ij ,m g Γ=Γm ij ,k km ij g Γ=Γ

Hamilton 算子

i i'

i i'ξξ?

?

?=????=g g

i i ξ???=??T T g i i ξ???=??T

T g

i

i ξ??=??T T g i i ξ??=??T T g

i i ξ???=??T T g i i ξ???=??T

T g

张量的协变导数

ij

ij mj i im j ij m ij m ij ..kl

s ..kl ..kl ms ..kl ms ..ml ks ..km ls ..kl ;s s T T T T T T T ξ??+Γ+Γ-Γ-Γ?

重要性质：

1) ．度量张量的协变导数为零

2) ．臵换张量的协变导数为零

3) ．张量分量的缩并与求协变导数次序可交换

4) ．.........()()()ij l ij l ij l

s k m s k m k s m A B A B A B ?=?+?

积分定理

A d d Ω*=Ω?*??a T T A d d Ω

*=*?Ω??T a T

()S L d d ???=???a T s T ()L S

d d ?=-?????T s T a

Riemann-Christoffel 张量

欧氏空间特性：

① Riemann 曲率张量等于零

②张量对曲线坐标的求导顺序可交换

张量的物理分量

掌握张量在标准基下分解时Hamilton 算子对张量的运算（会求极坐标系下线应变张量）

第三章连续介质力学基础

7

3.1物质坐标和空间坐标

对于有限个质点组成的质点系统，我们可以采用给质点编号的方式区分各个质点;对于有无限

个质点组成的系统，我们就采用坐标识别系统中各个质点。用于标示质点的坐标称为物质坐标132(,,)ξξξ；表示空间中几何点的坐标312(,,)x x x 则称为欧拉坐标。

两种坐标是通过连续介质的运动联系起来的：如果在时刻t 质点

132(,,)ξξξ占据空间位臵312(,,)x x x ，则二者之间具有函数关系：

123(,,,)k k x x t ξξξ=

由于这个函数必须是一一影射的，其反函数存在并且唯一：

123(,,,)k k x x x t ξξ=

因此，质点的位臵矢量、速度等都可以等价地用物质坐标或空间坐标描述：

(,)((),)t t =r ξr ξx

当我们采用物质坐标时，相应的基矢量：

i i ?ξ?=?r

g

当我们采用空间（Euler ）坐标时，相应的基矢量：

i i x ?

=?r

g

两者之间具有转换关系：

k k i k i k i i x x ?x ξξξ????===????r r g g j j

m

m ?x ξ

?=?g g

k k i k i i k i ?x x x ξξξ????===????r r g g j

j m

m x ?ξ?=?g g

3.2物质导数

高斯定理：

设Ω 为空间有界闭区域，其边界面S 是分片光滑曲面，曲面正侧记作S +，若向量函数F (x,y,z)={P (x,y,z), Q (x,y,z), R (x,y,z)}的各分量在Ω及S +上有连续一阶偏导数，则有：

dV z R y Q x P dS n F S ?????Ω??+??+??=

?+)(或

dV z

R y Q x P S d R Q P S ?????Ω??+??+??=+++)()cos cos cos (γβα其中，{

}γβαcos ,cos ,cos =n 在点(x,y,z)处的单位法向量。

3.2.1质点的速度：

D D k k

k k (,t )()x (

,t )v t t x t ???==???r r ξr x ξv g 算子D

D t 称为物质导数（全导数）。它的含义是保持物质坐标不变时，张量随时间的变化率。

Euler 坐标基底矢量的物质导数：

k k m

i

i ik m k D v v Dt x ?==Γ?g g g

i i k

k i m

mk k D v v Dt x ?==-Γ?g g g

物质坐标（Langrange ）基底矢量的物质导数：

?(,)

()i

i D t Dt t ξ?

?=??g r ξ

欧氏空间中矢量求偏导数的顺序是可以交换的，因此

?(

,)()i i i D t Dt t ξξ???==???g r ξv

利用协变基与逆变基之间的关系，我们得到：

()m i i i m ?D ????Dt ξ?=??=???g v

g g v g

()m i

i i m ?D ????Dt ξ?=??=???g v

g g g v

Langrange 逆变基底矢量的物质导数可以由逆变基的定义式

j j i i ??δ?=g g

求得。显而易见：

??()

0i m D Dt ?=g g

9

因此

i m i i m m ??D D ???Dt Dt ξ

??=-?=-??g g v g g g 该式左端是逆变基物质导数在协变基下的分量，因而

????()???i i m i m m i i m D Dt ξξ

?=-??=-????=-??=-???g v g g g v v g g v g （物质坐标基底矢量的物质导数可表示为速度梯度与基矢量的点积；协变基的导数与哈密顿算子相邻；逆变基的导数与负的速度矢量相邻）

3.2.2张量的物质导数

Euler 描述下，张量是空间坐标和时间的函数，所以张量i j

.j i T =?T g g 的物质导数： ()()k k k k D v Dt t x

t x t

t

??=+????=+?????=+????=+???T T T T T g v T T v T v T 物质描述下，张量i j .j i

???T =?T g g 的物质导数： ()()i j .j j m j i m i .j .m i i .j j i i .j m i m j i .j m .m j i ?T ??D D D ?????T T Dt t Dt Dt

?dT ??dt

?dT ???T v T v dt ?=?+?+??=?+??-????=+?-?? ? ???

T g g g g g g g g v T T v g g 由于

i k .j j l

.l i k i k .j l j

.l k i ?DT D DT ??Dt Dt Dt ?DT D DT ??Dt Dt Dt

=?=?=?=?T g g g g T g g g g 所以

i i l k .j .l k j ?DT x DT Dt x Dt ξξ??=??i i l k .j .l k j ?DT x DT Dt x Dt

ξξ??=?? 可以证明度量张量的物质导数为零： ()()

D D D D D D i i i i ??????t t t

=?+?=??-??=G g g g g v G G v 0 ()()D D D D D D i i k m i k i m i i ik m mk i v v t t t

=?+?=Γ??-Γ?=G g g g g g g g g 0 （()()k i m k m i mk i ik m v v Γ?=Γ?g g g g ） 3.3速度场的加法分解

将速度梯度分解为对称部分D 和反对称部分Ω：

?=v D +Ω

()T ?=?=-v v D Ω

其中：

1()2=?+?D v v 1()2

=?-?Ωv v 如果弹性体做刚体运动，则刚体上一点的速度

00()=+?-v r

ωr r 因此 i i i i ??ξξ

??=?=?=???v r ωωg Ωg （T =-ΩΩ） i i i i ?ξ

??=?=??=?v v g Ωg g Ω 所以，刚体运动时速度梯度的对称部分=D 0，即刚体运动的速度梯度是反对称的。速度梯度的对称部分D 描述变形的速率，而反对称部分Ω描述基矢量的转动速率。

3.4二阶张量场的相对导数

刚体转动会引起张量变化率的改变，客观的应力、应变随时间变化率应剔除刚体转动所引起的那部分。

..?d ??()()d ?d ??()()d ?d ??()()d ?d ??()()d ij i j i j j i i j j i ij i j D H Dt t

H t H t

H t

=?+??+??=?+??-??=?-??+??=?-??-??H g g v H H v g g v H H v g g v H H v g g v H H v

11

将速度梯度进行加法分解后得到：

?d ??()()d ij i j D H Dt t =?+?+?+?-?H g g D H H D ΩH H Ω .?d ??()()d i j j i H D Dt t =?+?-?+?-?H g g D H H D ΩH H Ω .?d ??()()d i j j i H D Dt t

=?-?-?+?-?H g g D H H D ΩH H Ω ?d ??()()d ij i j H D Dt t

=?-?+?+?-?H g g D H H D ΩH H Ω 上式右端的前两项定义为Jaumann 导数:

D D D D t t =-?+?=-?+?H H ΩH H ΩH ωH H ω

Jaumann 导数剔除了局部刚体运动的影响，它是一种相对导数。些材料的本构关系和应变、应力的变化率有关。然而，应力张量（应变张量）的物质导数却不适合在本构关系中使用：例如：一个做刚体运动的弹性体的内部应力是不变的，然而应力张量的物质导数却是非零的，因此应当采用应力、应变的相对导数描述本构关系：

3.5连续介质的变形与运动

变形前物质线元

i i d d ξ=r g ，变形后成为

k k i k i k ???d d d d ξξξ

?==??=??r r g g g F r 其中 k k ?=?F g

g ； T k k ?=?F g g 是变形梯度张量，它的逆张量

1k k ?-=?F g g

；T k k ?-=?F g g 这是由于：

?????()()i k k k i k ???=?=g

g g g g g G 从变形梯度张量的表达式中可知：

k k ??=F g g

T k k ?-?=F g g 1k k ?-?=F g g T k k ??=F g g 变形梯度张量是协变瞬时协变基底矢量k ?g 与初始协变基底矢量k

g 的并矢；它的逆是初始协变基底k

g 与瞬时逆变基底k ?g 的并矢。

3.5.1位移梯度与变形梯度张量之间的关系

物质描述下空间一点的矢径

?(,)()(,)t t ξξξ=+r

r u 其中()ξr 为变形前（初始时刻）连续介质中一点所在的位臵；(,)t ξu 为质点ξ的位移。

k k k k k k ??ξξξξ

????==+=+????r r u u g g 因此

?()k k k k k ξ

?=?=+?=+??u F g

g g g G u 1?????()k k k k k ξ

-?=?=-?=-??u F g g g g G u 其中,算子 k k ξ??=??g ; k k ??ξ??=??g 两者之间的联系：

()()11 k k T T k k

????----*?

=*???=?*=??*?=T T F g F g T F T F g g 变形前后线元长度的变化：

220d d (d )(d )d d d ()d 2d d T s s -=???-?=??-?=??F r F r r r r F F G r r E r

221110?????????d d d d (d )(d )d ()d 2d d T s s -----=?-???=?-??=??r r F r F r r G F F r r e r 两种张量与位移梯度之间的关系：

()()()()1122

=+?+?-=?+?+???E G u G u G u u u u ()()()()1122?????????=--?-?=?+?-???e G G u G u u u u u 小变形、小位移假设下，应变张量的非线性部分：???u u 可以忽略，从而：

1()2≈?+?E u u ; 1??()2=?+?e u u 变形前后连续体所占据的空间没有明显变化，物质描述与空间描述之间的差别也可忽略，两种应变是

一致的。 Green 应变的分量表示

()1()()2

k j j ij i j i i k E u u u u =?+?+?? 在直角坐标系下 12k j i k ij j i i j u u u u E x x x x ??????=++ ???????

13

3.5.2体积微元 变形前连续介质中一个体积微元dv 可以由三个线性无关的线元作混合积表示为

123d d d d v ()=??r r r

变形后，这三个微元分别变换为

112233?d (d )?d (d )?d (d )=?=?=?r

F r r

F r r

F r 变形后的体积微元

123123????d d (d d )(d )[(d )(d )]v =??=?????r r r F r F r F r 因此 d d ?v

J v = 其中 J 表示变形梯度张量的第三不变量，即它的行列式：

123det()i j k ijk J e F F F ==F

它与基底矢量之间的关系为

123123123123????()()dv d d d J dv d d d ξξξξξξ

??===??g g g g g g 3.5.3面元 变形前连续介质中一片带有方向的面积微元d a 可以由组成它的两条边的线元表示为：

12d d d =?a r r

面元的方向指向该面的外法线方向。变形后的面元可以由变形后的线元1d ?r

和2d ?r 表示为 ()()1212d d d d d ???=?=???a

r r F r F r 选一与变形前的两个线元线性无关的线元3d r ，则它可与面元共同组成一个体积微元d v 。这个体积微元在变形前后的关系为

d d ?v

J v = 体元与面元之间具有如下的联系

3d d d v ?=a r

()3d d d ??v ??=a

F r 因此

33d d d d ?J ??=?a

F r a r 由于上式对任何不在面元内的线元3d r 都成立，所以

d d T ?J -=?a

F a 考虑到：T k k ?-=?F g

g ，代入上式中可得：d d k k ??J a =a g 因此 d d k k ?a

J a =

3.5.4变形梯度的物质导数

由变形梯度张量的构成，依据Lagrange 基底矢量物质导数的表达式，我们可以得到：

k k ?=?F g

g →k k ???=???=??=?F v g g v F v 1k k ?-=?F g g →1111k k

???----=-???=-??=-???F g g v F v F v F T k k ?=?F g g →T k T k ???=???=??=?F g g v F v v T k k ?-=?F g g →()()

()T T T T k k ???----=-???=-??=-???F v g g v F F v F 推导以上各式的过程中，我们利用了初始构型下的基矢量的性质：

0k

k D D Dt Dt ==g g 3.5.5线元的物质导数

d d ?=?r F r 将?=??F

v F 代入后得： d d ???=?? r

v r 把线元分解为长度和方向描述，即

d d ?s =r

m 长度的变化率

?????d d d ()d ?d ()d d d s s s s

????===???r r r v r m v m 由于

??()??()()2

?+????=???=??v v m v m m v m m m 所以 d d s

s =?? m D m 特别地，如果速度梯度的对称部分等于零，则线元长度不变（局部刚体运动）。线元的物质导数也可表述为：

d d d ?s s =+r

m m 由此可得线元方向的变化率

?d d ?()()d s s

-==??-?? r m m v m m D m m 3.5.6体元的物质导数

瞬时体积微元：

()123d d d d ???v =??r

r r

15

因此，它的物质导数：

()()()

123123123

d d d d d d d d d d ??????????v =??+??+??r r r r r r r r r 将各个线元的物质导数代入到上式得： ()()()()

123123123d d d d d d d d d d ?????????????v

=????+????+????v r r r r v r r r r v r 回顾二阶张量第一不变量的性质，可知： ???d ()d v

Tr v =?v 然而：

??()()i i

Tr v div ?=?=??=v v v 所以

???d ()d v

v =??v 另一方面，由变形前后体积微元之间的联系可得：

d d d J ??v J v v J

== 两种形式的结果应当是一致的，所以

?()J

J =?? v 3.5.7面元的物质导数

由变形前后面元的转换关系 d d T ?J -=?a

F a 可知: 面元的物质导数

?d ()d T T J J --=+?a F F a 将变形梯度张量以及体积比的物质导数代入上式得到：

???????d ()d ()d ()d ()d T T J J --=???-??=??-?? a

v F a v F a v a v a 面元矢量的数值是微元的面积，面元的方向是微元的外法线方向，即：

d d ??a =a

n 微元的面积与微元矢量的关系可以表述为：

2d d d ???a

=?a a 因此，微元面积的变化率

d d d d ???a ?a

?=a a 将微元矢量的物质导数代入上式中得到：

????d [()()]d a

a =??-??? v n v n 微元矢量的物质导数可用微元面积和微元方向矢量表述为

???d da da =+a

n n 从中可得微元矢量的变化率

??????[()()][()()]?d da da

-==??-??-??-???a n n v n v n v n v n n

整理后得到：

??(())()=???-?? n

n v n n v n 与线元的物质导数?d d =??r

v r 相比，可见两者之间是不相同的。这是因为面元方向矢量不是由一段物质质点组成的线元。

3.5.8张量场函数在域上积分的导数

1) ?()d V I t v

=?

Τ 求这类积分时，不但要考虑张量自身随时间的变化，还要考虑积分域也在随连续介质的运动而改变，因此

()D D D ????d d +d D D D V V I v v v t t t ????=+=?? ? ?????

??ΤΤΤΤv 将张量的物质导数

()

D D ?t t ?=+???ΤΤv Τ 代入到上式中，我们得到：

D ???()()d D V I v t t ???=+??+?? ????

?Τv Τv Τ 其中

??????()()()()()k k k k ξξξξ

+??????+??=??+?=???=???????k k k Τv Τv v ΤΤv v g Τg g v Τv Τ 所以

()D ()??()d ??d d ()??d d V V S

V S

I t v Dt t v t v t ???=+??? ???

??=+????=+??????? v Τa v ΤΤΤv a ΤΤ 最后两项中：第一项代表由于张量随时间变化而引起的体积分变化率；第二项则是由于外表面的运动引起的积分区域的变化所导致的体积分变化率。

2) ?()d A

I t =??a

Τ 对张量和面元分别求导得：

()()

D ()?????d d []d A A I t Dt =?+?=+??-????? a a v v a ΤΤΤΤΤ 将

17

?()v t

?+???ΤΤ = 代入上式得

()()

()D ????[()]d ???[()]d A A I Dt t t ?=+??+??-?????=+???-??????v v v a v v a ΤΤΤΤΤΤΤ

3) ()d L

I t =??T l

d ???[()]d [()()]d d L L

I v t t ?=+???=+??+?????? T T T v l T T v l 3.5.9 Green 应变张量的物质导数

由Green 应变与变形梯度之间的关系

1()2

T =?-E F F G 得到它的物质导数： 1()2

T T =?+? E F F F F 代入变形梯度张量的物质导数后： ()()

111????()()222T T T T =???+???=??+??=?? E F v F F v F F v v F F D F 可见，Green 应变张量的物质导数是否为零张量，取决于速度梯度张量的对称部分D 。如果在连续体某些点处=D 0，则这点附近的连续体做局部刚体运动。

几种应力定义

在已变形的连续介质中，过固定质点的外法线为n 的面积微元?d a 上，周围介质的作用力在这个截面上的合力为?da n p 。对图示的四面体，截面与坐标面之间存在关系（封闭曲面有向面积之和为零）：

123?d (d d d )a

=-++n a a a 其中 23123111d d d d 2a ξξ=-?=-a e e e 31231221d d d d 2a ξξ=-?=-a e e e 12312331d d d d 2a ξξ=-?=-a e e e 因此

11?d d a n a

=22?d d a n a =33?d d a n a = 运用牛顿定律可得：

112233??()d ()n n n a

dv ρ---=-n p p p p u f 当截面无限趋近于特定质点时，由于体积微元是比面积微元更高一阶的无穷小量，上式右端将比左端更快地趋近于零。因此,

112233()()()=?+?+?n p n e p n e p n e p

利用并矢定义，我们可以将上式重写为：

()112233=??+?+?n p n e p e p e p

由于矢量的并矢是张量，所以称

112233=?+?+?σe p e p e p 为Cauchy 应力张量，并且过质点外法线为n 的截面上的面力

=?n p n σ

Cauchy 应力张量i j ij σ=?σe e 的分量

ij i j i j σ=?=??p e σe e

表示外法线沿i e 的截面上的面力沿j e 方向的分量。在变形后的面积微元?d a

上的面力合力 d d n ?=?=?t a

σa P 其中P 定义为第一类Piola-Kirchhoff 应力。与Cauchy 不同的是，它参照初始构型中的面积微元度量变形后该面上的面力。根据面积微元的转换关系可得：

()1(d )d T J J --??=??F a σa F σ

从中可见：第一类Piola-Kirchhoff 应力张量与Cauchy 应力张量之的转换关系：

1J -=?P F σ

如果将Cauchy 应力张量表述为

ij i j ??σ=?σg

g 则

ij i j ?J σ=?P g g

（1i i ?-?=F g g ） 从中可见：第一类Piola-Kirchhoff 应力张量在度量初始构型中面积微元变形后所受的面力时，面力是相对瞬时基底表述的。第二类Piola-Kirchhoff 应力

1T T J ---??=? S F σF P F

则把将Cauchy 应力张量的两个瞬时协变基底都转化为初始协变基底：

km k m

J σ=?S g g 第四章连续介质的基本规律

4.1质量守恒定律、连续方程

质量守恒： 一小块连续介质，变形前的体积为dv ，变形后的体积成为?dv ；同时质量密度也从ρ变化为?ρ。物理定律告诉我们：由同量物质组成的物体，无论发生怎样的形状变化，它所含的物体质量是不变的——质量守恒定律。因此：

d d ??v v ρρ

=