中考数学第30讲 概 率

A.
1 4
B.
1 3
C.
1 2
D.
2 3
例4 (2019·黄石)将正面分别写着数字1，2，3的三张卡片(注：这三张卡 片的形状、大小、质地、颜色等其他方面完全相同，若背面朝上放在桌面上， 这三张卡片看上去无任何差别)洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲从中随机 抽取一张卡片，记该卡片上的数字为m，然后放回洗匀，背面朝上放在桌面 上，再由乙从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为n，组成一数对(m， n).
AE 交于点 O，若随机向平行四边形 ABCD 内投一粒米，则米粒落在图中阴
影部分的概率为( B )
1
1
1
1
A. 16
B. 12
C. 8
D. 6
4. (2020·河南)如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有
红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记
下指针所指区域(指针指向区域分界线时，忽略不计)的颜色，则两次颜色相 同的概率是_____14______．
(1)若规定老同志相对偏多的部门选中的可能性大， 试判断这个部门是哪个部门？请说明理由； (2)设选中C部门游三峡大坝的概率为P1，选中B部门游清江画廊或者三峡 人家的概率为P2，请判断P1，P2大小关系，并说明理由．
解：(1)C 部门； 理由：∵PA＝39600 ＝14 ，PB＝39600 ＝14 ，PC＝138600 ＝12 ， ∴选择 C 部门的可能性大．
(3)估计全校学生选择“戏曲”类的人数为 1200×24000 ＝240(人)； (4)列表得：
∵共有 12 种等可能的结果，其中恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的有 2 种结果，
∴恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率为122 ＝16 .
9. (2020·鄂州)某校为了了解全校学生线上学习情况，随机选取该校部分 学生，调查学生居家学习时每天学习时间(包括线上听课及完成作业时间).如 图是根据调查结果绘制的统计图表．请你根据图表中的信息完成下列问题：
解：(2)1500×12000 ＝300(人). 答：该校最喜爱体育节目的人数约有 300 人； (3)画树状图如解图：
共有 12 种等可能的结果，所选 2 名同学中有男生的有 6 种结果，所 以所选 2 名同学中有男生的概率为：162 ＝12 .
例1 (2020·徐州)在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球
(2)P1＝P2.理由：列表如下：
由表可得共有 12 种等可能出现的结果，其中“C 部门游三峡大坝”的有
2 种，“B 部门游清江画廊或者三峡人家”的也有 2 种，∴P1＝122 ＝16 ，P2＝
2 12
＝16
，
因此，P1＝P2.
例5 (2020·随州)如图，△ABC中，点D, E, F分别为AB，AC，BC的中点， 点P，M，N分别为DE，DF，EF的中点，若随机向△ABC内投一粒米，则 米粒落在图中阴影部分的概率为________．1
(1)频数分布表中m＝__0_._1_5__，n＝__1_2_，并将频数分布直方图补充完整； (2)若该校有学生1000名，现要对每天学习时间低于2小时的学生进行提醒， 根据调查结果，估计全校需要提醒的学生有多少名？ (3)已知调查的E组学生中有2名男生1名女生，老师随机从中选取2名学生 进一步了解学生居家学习情况．请用画树状图或列表求所选2名学生恰为一 男生一女生的概率．
数学
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第30讲 概 率
1. (2020·武汉)两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中 的小球分别标号为1，2，3.从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件 为随机事件的是( B )
A. 两个小球的标号之和等于1 B. 两个小球的标号之和等于6 C. 两个小球的标号之和大于1 D. 两个小球的标号之和大于6
2. (2020·哈尔滨)一个不透明的袋子中装有 9 个小球，其中 6 个红球、3
个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球．则摸
出的小球是红球的概率是( A )
2
1
1
1
A. 3
B. 2
C. 3
D. 9
3. (2019·随州)如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 的中点，BD，
(2)若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出 的球中一个是白球、一个是黄球的概率．
解：(1)小亮随机摸球 10 次，其中 6 次摸出的是红球，这 10 次中摸出红球
的频率＝160 ＝
3 5
；
(2)画树状图如解图，
∵共有 16 种等可能的结果，两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球 的有 2 种情况，∴P(两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球)＝126 ＝18 .
蛋”，其中只有一个“金蛋”内有礼物，“银蛋”也是如此．观众从中任意
抽取一个，选择并打开后得到礼物的可能性是( D )
A.
1 4
B.
1 5
C.
1 6
D.
1 3
4. (2020·深圳)一口袋内装有编号分别为1，2，3，4，5，6，7的七个球 (除编号外都相同)，从中随机摸出一个球，则摸出编号为偶数的球的概率是
7. (2020·陕西)小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内， 放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其他 都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记 下颜色后放回，称为摸球一次．
(1)小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频 率；
8. (2019·鄂州)某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五
类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从
中选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部
分．
类别
A
B
C
D
E
类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲
人数
11
20
40
m
4
请你根据以上信息，回答下列问题： (1)统计表中m的值为__2_5_，统计图中n的值为__2_5_，A类对应扇形的圆心 角为___3_9_._6_°___； (2)该校共有1500名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱体育节目的学 生人数； (3)样本数据中最喜爱戏曲节目的有4人，其中仅有1名男生．从这4人中任 选2名同学去观赏戏曲表演，请用画树状图法或列表法求所选2名同学中有男 生的概率．
除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，
则袋子中红球的个数最有可能是( )A
A. 5
B. 10
C. 12
D. 15
1. 动物学家通过大量的调查估计出某种动物活到 20 岁的概率为 0.8，活
到 25 岁的概率为 0.5，活到 30 岁的概率为 0.3，现在有一只 20 岁的动物，
它活到 30 岁的概率是( B )
A.
3 5
B.
3 8
C.
5 8
D.
3 10
2. (北师九上P70随堂练习T2改编)在一个不透明的盒子中装有红球6个，黄 球10个及若干个蓝球，每次将盒子充分摇匀，随机摸出一个小球记下颜色放 回，经过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在30%左右，则蓝球 的数量约为__4__．
类型一 一步概率计算
例 2 (2020·恩施州)“彩缕碧筠粽，香梗白玉团”．端午佳节，小明妈
妈准备了豆沙粽 2 个、红枣粽 4 个、腊肉粽 3 个、白米粽 2 个，其中豆沙
粽和红枣粽是甜粽．小明任意选取一个，选到甜粽的概率是( D )
A.
2 11
B.
4 11
C.
5 11
D.
6 11
3. 某商场举办现场抽奖活动，抽奖盒中有三个“金蛋”和三个“银
a，b.那么方程 x2＋ax＋b＝0 有解的概率是( D )
1
1
8
19
A. 2
B. 3
C. 15
D. 36
6. (2020·宜昌)宜昌景色宜人，其中三峡大坝、清江画廊、三峡人家景点 的景色更是美不胜收．某民营单位为兼顾生产和业余生活，决定在下设的A， B，C三部门利用转盘游戏确定参观的景点．两转盘各部分圆心角大小以及 选派部门、旅游景点等信息如图．
(2)数字之和为奇数的概率＝49 ，数字之和为偶数的概率＝59 ，∵49 ≠59 ，∴这个游戏不公平．
1．对于一步概率计算，直接利用概率公式求解； 2．对于两步试验，常采用画树状图或列表法，确定所求事件所包含的所 有等可能结果，再利用概率公式求解； 3．对于三步试验，则应通过画树状图求解．
5. (2019·荆门)投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为
分数/分 人数/人
80 85 90 95
Biblioteka Baidu
4
2
10
4
根据图表信息，解答下列问题： (1)获得“秦九韶奖”的学生有多少人，补全条形统计图； (2)获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是_9_0__分，众数是__9_0_分； (3)若从这些获奖学生中随机抽取1名，求恰好抽到获“祖冲之奖”且得分 为90分的学生的概率．
例6 (2019·黄冈)某校开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣 课程．为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行 调查(每人必选且只能选一类)，先将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计 图．
(1)本次随机调查了多少名学生？ (2)补全条形统计图中“书画”、“戏曲”的空缺部分； (3)若该校共有1200名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数； (4)学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”， 用树状图或列表法求出恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率．(书画、器 乐、戏曲、棋类可分别用字母A，B，C，D表示)
3 _____7_____．
类型二 用列表法或树状图法求概率
例 3 (2020·北京)不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，
“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，
放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字
之和为 3 的概率是( C )
10. 为了弘扬我国古代数学发展的伟大成就，某校九年级进行了一次数学 知识竞赛，并设立了以我国古代数学家名字命名的四个奖项：“祖冲之奖”、 “刘徽奖”、“赵爽奖”、“秦九韶奖”．根据获奖情况绘制了如图所示的 条形统计图和扇形统计图，并得到获得“祖冲之奖”的学生成绩统计表．
获“祖冲之奖”的学生成绩统计表
5. (2019·襄阳)从2，3，4，6中随机选取两个数记作a和b(a＜b)，那么点(a， b)在直线y＝2x上的概率是________1___．
3
6. (2020·咸宁)某校开展以“我和我的祖国”为主题的“大合唱”活动，
七年级准备从小明、小东、小聪三名男生和小红、小慧两名女生中各随机选
出一名男生和一名女生担任领唱，则小聪和小慧被同时选中的概率是 ___16__．
【分析】(1)由棋类的人数及其所占百分比可得总人数；(2)总人数乘以书 画对应百分比求得其人数，再根据总人数减去其他类人数之和等于戏曲人数， 从而补全图形；(3)利用样本估计总体思想求解可得；(4)列表或画树状图将 所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可．
解：(1)本次随机调查了学生30÷15%＝200(人)； (2)选择“书画”的人数为200×25%＝50(人)，选择“戏曲”的人数为200 －(50＋80＋30)＝40(人)， 补全条形统计图如解图；
(1)请写出(m，n)所有可能出现的结果； (2)甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求，两人各抽一次卡片，卡 片上数字之和为奇数则甲赢，数字之和为偶数则乙赢．你认为这个游戏公平 吗？请说明理由．
解：(1)(m，n)所有可能出现的结果：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)， (2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3).
16
7. (2020·山西)如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺
次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板
上，则飞镖落在阴影区域的概率是( B )
1
1
1
1
A. 3
B. 4
C. 6
D. 8
8. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，正方形的边长为2 cm，若在这个圆面 上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是__π_2______．
解：(1)补充完整的频数分布直方图如解图①所示；
(2)根据题意可知：1000×(0.15＋0.3)＝450(名). 答：估计全校需要提醒的学生有450名；
(3)设 2 名男生用 A，B 表示，1 名女生用 C 表示， 根据题意，画出树状图如解图②，
根据树状图可知：等可能的结果共有 6 种，符合条件的有 4 种，所以所 选 2 名学生恰为一男生一女生的概率为：46 ＝23 .