最简差分格式
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最简差分格式
朱勇军
20083738
考虑问题：
考虑一维热传导方程：
()x f x
u
a t u +∂∂=∂∂22，
T ≤ 其中a 为正常数，()x f 是给定的连续函数 边值条件： ()()x u x u 00,= l x <<0 ()()0,,0==t l u t u T ≤ 网格剖分： 取空间步长N l h =和时间步长M T =τ，其中N ，M 都是正整数，用两族平行直线 ()N j jh x x j ,,1,0 ===和()M k k t t k ,,1,0 ===τ将矩形域 {}T ≤≤≤≤=t l x G 0;0分割成矩形网格，网格节点为() k j t x , 差分格式： 向前差分格式： 向量形式： j k j k j k j k j k j f h u u u a u u ++-=--++2 1 11 2τ () ()0 ,00 =====k N k j j j j j u u x u x f f ϕϕ 其中1,,2,1,1,2,1-=-=M k N j ，以2 h a r τ=表示网比，则该格式可变为：()j k j k j k j k j f ru u r ru u τ++-+=-++111 21 矩阵形式： ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----+-+-++k N N N k k N k N k k k N k N k k ru f f f ru f u u u u r r r r r r r r r u u u u 1220112211112121121002100210021ττττ 向后差分格式： 向量形式： j k j k j k j k j k j f h u u u a u u ++-=-+-++++2 1 1 1 1 1 1 2τ () ()0 ,00 =====k N k j j j j j u u x u x f f ϕϕ 其中1,,2,1,1,2,1-=-=M k N j ，以2 h a r τ=表示网比，则该格式可变为：()j k j k j k j k j f u ru u r ru τ+=-++-+-+++1 1 1 1 1 21 矩阵形式： ⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎦⎤ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎣⎡+--+-+--+----+-+-++k N N N k k N k N k k k N k N k k ru f f f ru f u u u u u u u u r r r r r r r r r 122011********* 112100 21002100 21ττττ θ-格式： 向量形式： 将向前差分格式和向后差分格式作加权平均，即得： ()j k j k j k j k j k j k j k j k j f h u u u h u u u a u u +⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎣⎡+--++-=-+-+++-++2 1 11112111 212θθτ () ()0 ,00 =====k N k j j j j j u u x u x f f ϕϕ 其中1,,2,1,1,2,1-=-=M k N j ，以2 h a r τ=表示网比，则该格式为： ()()()()()j k j k j k j k j k j k j f u u r ru ru u r ru τθθθθθθ++-+=-+-++--++-+++11111112111211 矩阵形式： ()()()()()()()()⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎢⎢ ⎢⎣⎡+-++-++⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎦ ⎤⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎣⎡-+---------++--+--+-+-++k N k N N N k k k N k N k k k N k N k k ru ru f f f ru ru f u u u u r r r r r r u u u u r r r r r r θθτττθθτθθθθθθθθθθθθ112201011221111212 1 1 11210 00002112110010 0100 1121 特别当2 1 = θ时，即为下面的六点对称格式 六点对称格式： 向量形式： 将向前差分格式和向后差分格式作算术平均，即得： j k j k j k j k j k j k j k j k j f h u u u h u u u a u u +⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎣ ⎡+-++-=--++-++++2 112 1 1 1 1 11 222τ () ()0 ,00 =====k N k j j j j j u u x u x f f ϕϕ 其中1,,2,1,1,2,1-=-=M k N j ，以2 h a r τ=表示网比，则该格式为： ()()j k j k j k j k j k j k j f u r u r u r u r u r u r τ++-+=-++--++-+++11111112 12212