新人教版七年级下册数学第六章实数知识点总结阶梯练习

第六章实数

考点一、实数的概念及分类

1、实数的分类

2、无理数

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳

起来有四类

（ 1）开方开不尽的数，如7, 32 等；

（ 2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如π

+8 等；3

（ 3）有特定结构的数，如0.1010010001, 等；

（ 4）某些三角函数，如sin60o等（这类在初三会出现）

判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如

, 16 是有理数，而不是无理数。

3、有理数与无理数的区别

（ 1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；

（ 2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。

考点二、平方根、算术平方根、立方根

1、概念、定义

（ 1）如果一个正数x 的平方等于a，即，那么这个正数x 叫做 a 的算术平方根。

（ 2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做 a 的平方根（或二次方跟）。如果，那么x叫做a 的平方根。

（ 3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做 a 的立方根（或 a 的三次方根）。如果，那么x 叫做 a 的立方根。

2、运算名称

（1）求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。

（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。

3、运算符号

（ 1）正数a的算术平方根，记作“ a ”。

（ 2）a(a≥0)的平方根的符号表达为。

（ 3）一个数a的立方根，用表示，其中 a 是被开方数， 3 是根指数。

4、运算公式

4、开方规律小结

（ 1）若a≥0，则a的平方根是a

，a的算术平方根

a

；正数的平方根有两个，它们互为相反数，其

中正的那个叫它的算术平方根；0 的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。

实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。正数的立方根是

正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是0。

2a<0

a 为任意实数，则 a 的立方根是。

（）若，则 a 没有平方根和算术平方根；若

（ 3）正数的两个平方根互为相反数，两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。

考点三、实数的性质

有理数的一些概念，如倒数、相反数、绝对值等，在实数范围内仍然不变。

1、相反数

（1）实数a的相反数是-a；实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相

反数是零）

（ 2）从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果 a 与 b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立。

2、绝对值

（ 1）要正确的理解绝对值的几何意义，它表示的是数轴上的点到数轴原点的距离，数轴分为正负两半，那

么不管怎样总有两个数字相等的正负两个数到原点的距离相等。|a|≥0。

（ 2）若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0，零的绝对值是它本身。

a(a0)

（ 3）

a(a0)

3、倒数

（ 1）如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。实数 a 的倒数是1/a（a≠ 0）

（ 2）倒数等于本身的数是 1 和 -1。零没有倒数。

考点四、实数的三个非负性及性质

1、在实数范围内，正数和零统称为非负数。

2、非负数有三种形式

（ 1）任何一个实数 a 的绝对值是非负数，即|a|≥ 0；

（ 2）任何一个实数 a 的平方是非负数，即≥ 0；

（ 3）任何非负数的算术平方根是非负数，即()。

3、非负数具有以下性质

（1）非负数有最小值零；（ 2）非负数之和仍是非负数；

（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.

考点五、实数大小的比较

实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：

（1）正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；

（2）实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；

（3）两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法。

（4）对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。常用有理数来估计无理数的大致范围，要想正确估算需记熟0～ 20 之间整数的平方和 0～ 10 之间整数的立方．

考点六、实数的运算

（1）在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算

（2）有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立

（3）实数混合运算的运算顺序与有理数的运算顺序基本相同，先乘方、开方、再乘除，最后算加减。同

级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里。

（4）在实数的运算中，当遇到无理数时，并且需要求结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应

的近似有限小数去代替无理数，再进行计算。

二、典例剖析，综合拓展

知识点 1：算术平方根

1.1的算术平方根为（）（A）1（B）－1（ C）±1（D）（1）2

169131313169

算术平方根的定义：

1的算术平方根可表示为，即=

2.

169

算术平方根的表示方法：（用含 a 的式子表示）

1

3.－有算术平方根吗？8的算术平方根是－2吗？

169

算术平方根具有性，即⑴被开方数 a 0，⑵ a 本身0，必须同时成立

4、已知511的小数部分为m， 511 的小数部分为 n ，则 m n

跟踪练习：

①式子x 3 有意义，x的取值范围

②已知： y=x 5 + 5 x +3,求xy的值 3 a b 40 ，求a+b的值