第一章 弹性动力学基础

第一章 弹性动力学基础

§1.1 弹性动力学的基本概念与基本假设

1.1.1 连续介质的概念

力学系统最基本的概念是连续介质。物体从宏观上看是稠密的，无间隙的，我们称之为连续介质。固体、液体、气体等各种形态的物体一般地都可认为是连续介质。严格地说，从微观角度看，这种假设并不成立。但研究物体的运动规律和变形规律等力学行为是它的外部现象，并不涉及它的内部分子结构，连续介质假设已有足够的精确度。

描述一个物体须确定它的构形。物体在三维欧几里德空间内占据的一般是一个有界区域，它的内部区域用V 来表示，它的边界用表示。连续介质可由V S S +给出其构形。连续介质内任意点P 的位置由欧几里德空间中的三个坐标给出，即

),,(x x x 321),,()(321x x x P x P i =

S V +∈连续介质进行力学分析时，取其微体作为基本元件。微体是在各个方向上取微分长度的微小物体。这种基元在宏观上是无限小，在微观上是无限大。它们的集合是稠密的，无间隙的，构成了连续介质。

1.1.2 基本假设

弹性动力学是在更普遍的意义上研究线性动力学系统的力学行为。它的理论基础是建立在连续介质力学的基础之上。连续介质的基本假设有：

（1）连续性假设。这是连续介质的基本属性，是几何变形方面的假设。物体在任一瞬时的构形都是稠密的、无间隙的。这一点在 1.1.1节已作了阐述。

（2）均匀性假设。均匀性是指连续介质各处力学性能都相同，是物理方面的假设。金属材料在宏观上是满足均匀性假设的，而且还具有各向同性性质，即在连续介质同一地点不同方向上力学性能皆相同。新材料的出现，如复合材料等多相材料，缺乏这种均匀性，更没有各向同性性。在这种情况下一般仍假设宏观上的均匀性，但须引入各向异性的概念。在本课程内不作特殊的说明时，认为均匀性假设是成立的。

（3）线性化假设。力学现象本质是非线性的，不论几何上、物理上，以至边界上都存在着非线性因素。工程上大量问题都作线性化假设。在几何方面，若物体的变形比较小，几何上的非线性可以忽略不计，认为位移与应变之间存在线性关系。在物理方面，材料的本构关系及其工作段的特性决定了物理上的线性化程度。一般弹性材料在小变形情况下存在应力与应变的线性关系。本课程所讨论的内容属于线弹性动力学范围。

连续介质的各种力学量，例如位移 、作用力等等，都是位置的函数，称之为场变量，记作，等。

i u i f i x )(x u )(x f x i i i i 连续介质是由无限多个基元构成，描述连续介质的位移场变量有无限多个独立变量，故连续介质是个无限自由度力学系统。连续介质的稠密性和无间隙性决定了位移场变量的连续性，以保证在发生位移后仍然是稠密和无间隙的。故位移场变量在空间域内是位置 的单值、连续函数。

i 位移场变量有三种表示形式：

（1）向量形式

连续介质内点P 的位置用它的向径r 表示

332211e e e r x x x ++=

其中 ，， 是笛卡儿坐标系的单位向量。 位移场变量表示为

1e 2e 3e )(r u u =

所有的向量均用粗体字表示。

（2）张量形式

连续介质内点P 位置用张量表示为 ，下标j x j 是循环变量，j 分别取值为 1、2、3，由它表示笛卡儿坐标系内的三个坐标值。则位移场变量为

)(j i i x u u =

所有的张量均用带循环下标变量的细体字表示。

（3）矩阵形式

连续介质内点P 的位置用列阵 {x}表示，即

[]T

x x x x 321}{= 这列阵又称为列向量。位移场变量可表示为

{}[]T

321u u u u = 所有的矩阵用括号括起来。

上述的三种表示形式有各自优点，它们既然表示同一个量，可以相互转换，甚至混用。

弹性动力学研究必须引入时间概念。不仅需要了解它在某个瞬时力学行为，而是必须更真实，更全面地掌握它在整个时间过程中的力学行为。瞬时将用t 表示，时间历程是从初瞬0（或 0）到末瞬（或t ）的整个时间过程，即

t t m []m t t t ,0∈

线弹性系统的各种场变量不仅是位置 P的函数，而且是时间 t的函数。例如位移场变量

),(t x u u j i i = []m j t t t S V x ,;0∈+∈ 动力学中各种场变量是时、空域内的函数。

§1.2 位移、变形与应变分析

1.2.1 位移与变形梯度

弹性体在不同瞬时占据空间的不同位置，形成不同的构形。为分析弹性体的位移，必须有一个参考构形。取运动开始时的初始构形为参考构形，通常它是未变形的自然构形。在某个瞬时的构形称为瞬时构形，是变形构形。弹性体上某点的位移是从初始构形上点 P 到瞬时构形上对应点p 构成的向量 给出，见图 1.1。

i u ()=3,2,1i 由于引入小变形线性化假设，采用以初始构形为参考构形表示弹性体位移的拉格朗日方法，则弹性体的位移场变量定义为

),(t x u u j i i = (1.1)

图 1.1 弹性体的位移

位移向量在欧几里德空间内选用笛卡尔坐标系描述，它的单位向量为，即

i e i e u i u =

等式右端是张量表示形式，其中重下标变量相乘表示循环相乘求和。

在初始构形中微体是以点为顶点，在坐标方向上取微分长度 所组成的微小长方体。当弹性体发生位移后，在瞬时构形中的微体改变为以点为顶点的一个变形体。在第一个坐标方向上的线段 变形后为，用笛卡尔坐标系内的三个投影分量表示为：

P i e i dx p 11e dx 1dX ⎪⎭

⎪

⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+=313,1212,111

1,11e e e )1(X dx u dx u dx u d

这里 表示的是位移分量 对坐标 的偏导数，即

j i u ,i u j x j

i

j i x u u ∂∂=,

其它二个坐标方向上有类似的公式，综合写为下表：

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡

+++=3,32,31,33

,22,21,23,12,11,1111u u u u u u u u u F (1.2)

这个表由九个量组成的张量称为变形梯度张量。

微体的刚体平动位移是由位移 给出，绕 轴的刚体转动由下式给出

i u k e 2,,i

j j i k u u −=ω

(1.3)

线段 的伸长量由 给出，线段 和 的剪切变形由下式给出

i dx i i u ,1+i dx j dx 2,,i

j j i ij u u +=ε (1.4) 它们由变形梯度张量完整地描绘。