高等计算流体力学讲义(5)

a>0 a<0
Δt
2．二阶以上的差分或有限体积格式在间断附近的解可能会出现振荡。而一阶精度的格式通 常会把激波“抹平” 。参见图 1 和图 2 的（a） ， （b） 。
图 1 线性对流方程的解
图2
我们希望，构造一种二阶或以上精度的格式，使之可以比较准确的计算含有间断的流动，同 时不产生非物理的数值振荡。这种格式称为“高分辨率格式” （如图 1 的（c） ， （ d） ，图 2 的（c） ） 。
2、迎风型 TVD 格式
如果我们取 记
L0 f i+ 1
2
为一阶迎风格式的数值通量， 则得到的差分格式称为迎风型 TVD 格式，
φi+ = ψ i+
1 2
1 2
。则 TVD 格式的数值通量可以写为：
f
TVD i+ 1 2
⎧ n ⎡1 n⎤ ⎪ aui + ψ i + 1 ⎢ (1 − c ) Δui + 1 ⎥ a ⎪ 2 ⎣2 2 ⎦ =⎨ ⎪ au n − ψ ⎡ 1 (1 + c ) Δu n ⎤ a 1 ⎢ 1 ⎥ ⎪ i +1 i+ i+ 2 ⎣2 2 ⎦ ⎩
（15）
（14）式可以改写为：
ˆ Δu 1 uin +1 = uin − C i−
2
（16）
ˆ = C − D / r , r = Δu 1 Δ u 1 C i− i+
2
2
Harten 的 TVD 条件此时为：
1 O ≤ c[1 + ( β 0 − 1)ψ i − 1 + β1ψ i + 1 ] ≤ 1 2 2 r
由（17）式，
（17）
ψ i±
1 2
应是 r 的函数。显然我们要求
2 2
−c[1 + ( β 0 − 1)ψ i − 1 ] ≤ c β1ψ i + 1
我们要求ψ是有界的。所以可以对
1 ≤ 1 − c[1 + ( β 0 − 1)ψ i − 1 ] 2 r
（18）
ψ 1−
1 2
引入下列限制条件：
ψ B ≤ ψ i− ≤ ψ T
对（21）式左边不等式进行分析，可知：
2
1 ≤ 1 − c[1 + ( β 0 − 1)ψ B ] r
if r > 0 if r < 0
（21）
ψ i+ (r )⎨
1 2
⎧≥ ψ L ⎩≤ ψ L ⎛ ⎝
（22）
ψ L (r ) = ⎜ ⎜ψ T −
对（21）中右侧不等式进行分析，有
1 ⎞ ⎟r β1 ⎟ ⎠ 。
f jn+1/ 2 = f jn−1/ 2
+1 un − un j j
a n 1 n (u j +1 + u n (u j +1 − u n j)− j) 2 2λ a n n = (u n (u n j + u j −1 ) − j − u j −1 ) 2 2λ
（3）Lax－Wendroff 格式 （second order）
（12）
把（10）式代入（9）式，有
fi TVD = [α 0 + ( β 0 − α 0 )φi + 1 ](auin ) + [α1 + ( β1 − α1 )φi + 1 ](auin+1 ) +1
2 2 2
（13）
把（13）代入（8b）式，得：
u in +1 = u in − CΔu i − 1 + DΔu i + 1
i+
1 2
≥0
D
i+
1 2
≥0
0≤C
i+
1 2
+D
i+
1 2
≤1
∂u ∂f + = 0 ； f ( u ) = au 的差分格式为： ∂t ∂x
u in +1 = u in + ⎤ Δt ⎡ ⎢ f i− 1 − f i+ 1 ⎥ Δx ⎣ 2 2⎦
TVD 1 i+ 2
（8a）
如果(8)具有 TVD 性质，记此时的数值通量为 f
LO n n fi+ 1/ 2 = α 0 aui + α1aui +1 HI n n fi + 1/ 2 = β 0 aui + β1aui +1 L0 fi + 1/ 2 可以有多种取法，如取
（10）
α0 =
1 (1 + s ) α 1 = 1 (1 − s ) 2 2 ，
（11）
LO 时， f i +1/ 2 为一阶迎风格式的数值通量，其中 s = sign(a ) 。
i− 2 i− 2 i+ 2
i+
1 2
（6）
其中 Δu
1 i+ 2
= uin+1 − uin 。 C
1 i− 2
，D
1 i+ 2
不仅与 Δx ， Δt 有关，而且与物理量
u in ， u in±1 等有关。
Harten 证明了下列定理： 定理： （6）式是 TVD 格式的充分条件是：
C
， ， （7） 根据这一条件，我们可以构造精度高于一阶的 TVD 格式。下面介绍构造 TVD 格式的思路。 方程
1 2
∀i, ∀r
（19）
ψB、ψT 与 i 和 r 无关。 （19）式可以等价地写为：
c[1 + ( β 0 − 1)ψ T ] ≤ c[1 + ( β 0 − 1)ψ i − 1 ] ≤ c[1 + ( β 0 − 1)ψ B ]
2
（20）
6
易知下式是（18）式成立的充分条件：
−c[1 + ( β 0 − 1)ψ T ] ≤ c β1ψ i + 1
二、TVD 格式的概念
TVD（Total Variation Diminishing）格式即总变差减小（不增）格式。所谓总变差，是 衡量函数的光滑性的一种指标，其定义为：
TV (u ) = ∫ u′( x ) dx
−∞
∞
（3）
在离散点上， u = {ui } ，有：
n n
3
TV (u n ) =
i =−∞
∑u
∞
n i +1
− uin
（4）
可以证明一维线性和非线性标量守恒律的解满足，
TV (u(t2 )) ≤ TV (u (t1 ))
∀t2 > t1
这种性质称为 TVD 性质。既然一维标量守恒律的解析解满足 TVD 性质，要求其数值解也 具有 TVD 性质就是很自然的了。 定义：TVD 格式
uin +1 = H (uin−r +1 ,..., uin+ s )
高等计算流体力学讲义（5）
§8. TVD 格式
一、背景
1.求解线性波动方程 ut + au x = 0 a = const 的经典差分格式 （1）一阶迎风格式（First order）
u
其中 λ =
n +1 j
n n ⎧ ⎪u j +1 − u j a < 0 ， = u − λa ⋅ ⎨ n n u u a − > 0 ⎪ − 1 j j ⎩ n j
2
2
（1Fra Baidu bibliotek）
C = c[α 0 + ( β 0 − α 0 )φ i − 1 ]
2
D = −c[α 1 + ( β 1 − α 1 )φ i − 1 ]
2
5
Δu i − 1 = u in − u in−1
2
Δu i + 1 = u in+1 − u in
2
由（14）式，我们希望选取适当的 α0、β0、φ，使得 TVD 条件（7）式得到满足，且格 式为二阶精度。
分格式（1）式具有保单调性。容易证明， （1）单调格式具有保单调性， （2）不存在二阶或 二阶以上精度的线性保单调格式。即如果（2）式为线性格式（ bk 为常数）且具有保单调性， 则（2）式至多有一阶精度。 6．所谓高分辨率格式，是具有保单调性的，二阶或二阶以上精度的格式。容易知道，这类 格式必定是非线性格式， 即使求解的方程是线性的。 本节我们只介绍其中的一种典型高分辨 率格式：TVD 格式。
uin +1 = ∑ bk uin+ k
k = kl kr
（2）
是单调格式的充分必要条件是 ∀k ， bk ≥ 0 。 ★ Godunov 定理 5．保单调性 线性单调格式最多能达到一阶精度。
假定 ui 是单调的，如果通过（1）式得到的 ui
{ }
n
{ }具有与 {u } 相同的单调性，则说差
n +1 n i
1
（4）Warming－Beam 格式 （Second order）
+1 un − un j j
Δt
+1 un − un j j
( 3u +a
+a
n j
n − 4u n j −1 + u j − 2 )
2Δx n − 3 u + ( j 4u nj +1 − u nj +2 ) 2Δx
=
a 2 Δt n n u − 2u n j −1 + u j ) 2 ( j −2 2 Δx = a 2 Δt n (u j +2 − 2u nj +1 + u nj ) 2Δx 2
Δt +a
(u
n j +1
− un j −1 )
2Δx
=
a 2 Δt n ( u j +1 − 2u nj + u nj −1 )。 2 Δx 2
或
+1 n n un = un j j − λ ( f j +1/ 2 − f j −1/ 2 )
f jn+1/ 2 = f jn−1/ 2
a n a 2λ n (u j +1 + u n ) − (u j +1 − u n j j) 2 2 a a 2λ n n = (u n + − ) (u j − u n u j j −1 j −1 ) 2 2
(9)
其中 f i +1/ 2 是某一阶格式的数值通量， fi +1/ 2 是二阶格式的数值通量。 φi +1/ 2 称为通量限制器
LO HI
（flux limiter） 。我们希望选择合适的 φ
LO HI
i+
1 2
，使格式在光滑区具有二阶精度。当采用三点格式
时， f i +1/ 2 ， fi +1/ 2 可写成如下一般形式：
。即
uin +1 = uin +
⎤ Δt ⎡ TVD f 1 − f TVD ⎢ ⎥ 1 i+ Δx ⎣ i− 2 2 ⎦
4
（8b）
如果要求格式具有高于一阶精度，则 f
i+
TVD 1 2
可以写成：
LO f TVD 1 = f 1 +φ i+ 2 i+ 2
1 i+ 2
⎡ HI LO ⎤ ⎢ fi+ 1 − fi+ 1 ⎥ 2 ⎦ ⎣ 2
4．单调格式的性质 ★ 已知
n i
{u }，利用单调格式（1）求得 {u }，则：
n +1 i
max{uin +1} ≤ max{uin }
i i
min{u } ≥ min{uin }
i i
n +1 i n j
min{u } ≤ u
j
n +1 i
≤ max{u n j}
j
★线性波动方程
∂u ∂u +a = 0 的差分格式： ∂t ∂x
当取：
α0 =
L0
1 (1 + c ) α 1 = − 1 (1 − c ) 2c 2c ，
时， f i +1/ 2 对应的差分格式为 Lax-Friedrichs 格式。注意，上式中 c = 二阶精度的三点格式只有 Lax-Wendroff 格式，即：
aΔt 。 Δx
β0 =
1 (1 + c ) β 1 = 1 (1 − c ) 2 2 ，
，此时：
a>0 a<0
当 a>0 时，
L0 n f i+ 1 = au i
2
α 0 = 1, α1 = 0, c > 0 C = c[1 + ( β 0 − 1)ψ i − ], D = −c β1ψ 1+
1 2
1 β0 = 1 2 (1 + c ), β1 = 2 (1 − c )
⎫ ⎪ ⎪ 1 ⎬ 2 ⎪ ⎪ ⎭
2
3．单调格式 单调格式是一种没有数值振荡的格式，它的定义为： 定义：单调格式，设差分格式可以写为：
uin +1 = H (uin− r +1 ,", uin+ s )
∂H ≥0 ∂u n j
（1）
其中 r ,s 为非负整数。如果 ∀j ，
，则（1）式称为单调格式。一阶迎风和 Lax－
Friedrichs 格式为单调格式。
Δt 。上式也可以写为： Δx
+1 n n un = un j j − λ ( f j +1/ 2 − f j −1/ 2 )
f jn+1/ 2 = f jn−1/ 2
a n (u j +1 + u n j)− 2 a n = (u n j + u j −1 ) − 2
a 2 a 2
n (u n j +1 − u j )
n (u n j − u j −1 )
（2）Lax－Friedrichs 格式 （First order）
+1 un − j
1 n ( u j −1 + u nj +1 ) u nj +1 − u nj −1 2 +a =0 Δt 2Δx
或
+1 n n un = un j j − λ ( f j +1/ 2 − f j −1/ 2 )
称为 TVD 格式，如果
（5）
TV (u n +1 ) ≤ TV (u n )
∀n
容易证明：TVD 格式具有保单调性，所以在间断附近不会出现非物理振荡。
三、TVD 格式的构造
1． TVD 格式的充分条件和构造原则
设一维标量守恒律
∂u ∂f + = 0 的差分格式可以写成： ∂t ∂x uin +1 = uin − C 1 Δu 1 + D 1 Δu