高数函数图形的描绘

(或 x )
f ( x) b lim x [ k ]0 x x x
f ( x) b lim [ k ]0 x x x
3/2/2017
b lim [ f ( x) k x]
x (或 x )
例2. 求曲线
3
的渐近线.
y
x , lim y , 解: y ( x 3)(x 1) x 3
1 ) 2
,
( , 1 ) ( 及 2
1 1 2 ) , 1 e 2
,
(
, 渐近线
y 1
.
y
x2
y 2 e
(1 2 x )
2 ( 1 , 1 e 2 1
2
1
) (
O
1 1 2 ) , 1 e 2
x
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作业
P76 14 (2);
P169 2 ;
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2
y 1 1 又因 lim , 即k x x 4 4 ( x 3) 2 1 1 x] b lim ( y x) lim [ x 4( x 1) 4 x 4 5x 9 5 lim 2 ( x 3 ) x 4( x 1) 4 y 4( x 1) 1 5 y x 为斜渐近线 ( x 3)( x 1) 4 4 y 4( x 1) 2 2 0 5) 求特殊点 x 2 1 y y 9 3 ( x 1 ) 4 4
x 3 2y y 2( x 1)
①两边对 x 求导得
2 4 y 8 y 4 x y 0
1 4 y y 2( x 1)
令 y 0 得 x 1, 3 ;
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3) 判别曲线形态
x ( , 1) 1 ( 1,1) y 0 y y 2
有渐近线
但抛物线
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x y 0 a b
无渐近线 .
O
y O
x
x
1. 水平与铅直渐近线 若
(或 x )
则曲线
有水平渐近线 y b .
若
(或 x x0 )
则曲线
有铅直渐近线 x x0 .
y
例1. 求曲线
的渐近线 .
2
1 解: lim ( 2) 2 x x 1
(极大)
(1, 3) 3 0 无 定 义 0
1
(极小)
(3 , )

4) 求渐近线 lim y , x 1 为铅直渐近线
x1
2 ( x 3)( x 1) ( x 3) y , y , y 2 4( x 1) ( x 1)3 4( x 1)
y x 2 为曲线的斜渐近线 .
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二、函数图形的描绘
步骤 : 1. 确定函数 期性 ; 2. 求 的点 ; 3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ; 4. 求渐近线 ; 5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .
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的定义域 , 并考察其对称性及周 并求出 及 为 0 和不存在
4 3
(1, 2)
2 ( 2 , ) 0
2 3
x
(极大)
(拐点)
(极小)
4)
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例4. 描绘方程
的图形.
Fra Baidu bibliotek
( x 3) 2 , 定义域为 解: 1) y 4( x 1) 2) 求关键点. 原方程两边对 x 求导得 ① 2( x 3) 4 y 4 y 4 x y 0
3a t 2 3a t 3 at (1t ) lim y ( x) lim lim 2 3 3 ( 1 t )( 1 t t ) x t 1 1 t t 1 1 t a 所以笛卡儿叶形线有斜渐近线 y x a 笛卡儿 叶形线
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6）绘图
x ( , 1) 1 ( 1,1)
y
铅直渐近线 斜渐近线 特殊点
1
无 定 义
(1, 3)
3 0
(极小)
(3 , )
2
(极大)
x 1 1 5 y x 4 4
y
2 1
( x 3) 2 y 4( x 1)
O1 2 3 5 5 y1 x 4 4
x
O
1
y 2 为水平渐近线; 1 lim ( 2) , x 1 为铅直渐近线. x1 x 1
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2. 斜渐近线 若
(或 x )
( P76 题14)
( k x b)
斜渐近线 y k x b .
( k x b)
f ( x) b k lim [ ] x x x f ( x) k lim x x
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叶形线
(或 x 1)
3 O 1
y x2
x
所以有铅直渐近线 x 3 及 x 1 f ( x) x2 又因 k lim lim 2 x x x x 2x 3
2 x 2 3x b lim [ f ( x) x] lim 2 x x x 2x 3
(
D
)
(C) 仅有铅直渐近线； (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线. 提示: lim
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1 e
x2
2
x 1 e x
1;
x 0 1 e x
lim
1 e
x2
2

2. 曲线 y 1 e 凸区间是 拐点为 提示:
x2
1 , ( 的凹区间是 2 1 , ) 2
5
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第七节
备用题 求笛卡儿叶形线 x 3 y 3 3a x y 的渐近线 . 解: 令 y = t x , 代入原方程得曲线的参数方程 :
2 3 a t 3a t , t 1 , y x 3 1 t 1 t3 当x 时t 1, 因 y 3a t 2 3a t 1 lim lim t 1 1 t 3 x x 3 1 t
x2 2
y 0 为水平渐近线
5) 作图
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A
y0 O
x
内容小结
1. 曲线渐近线的求法 水平渐近线 ; 垂直渐近线; 斜渐近线 2. 函数图形的描绘 按作图步骤进行
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思考与练习
1. 曲线 y
1 e
x2 x
2
1 e (A) 没有渐近线； (B) 仅有水平渐近线；
例3. 描绘
解: 1) 定义域为
的图形.
无对称性及周期性. y 2 2) y x 2 x , y 2 x 2 , 令 y 0 ,
令 y 0 ,
3)
1 O 1
2 3
x ( , 0) y y y x 1 3 y 2 2 3
0 0
2
(0 ,1) 1 0
第六节 函数图形的描绘
一、 曲线的渐近线
二、 函数图形的描绘
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一、 曲线的渐近线 定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点 时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为 曲线C 的渐近线 . 或为“纵坐标差” 例如, 双曲线
y
y f ( x) C M y kx b L PN
x
y
x
0 9 4
2 1 4
x 1
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例5. 描绘函数
解: 1) 定义域为
的图形. 图形对称于 y 轴.
2) 求关键点 2 2 x x 1 1 2 2 2 y e ( 1 x ) y xe , 2π 2π 令 y 0 得 x 0 ; 令 y 0 得 x 1 3) 判别曲线形态
x y y y
0 0
1 2π
(0 , 1)

1
(1, )
0
1 2πe

(极大)
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(拐点)
x y y y
0 0
1 2π
(0 , 1)
1
0
1 2πe
(1, )
(极大)
(拐点)
4) 求渐近线 lim y 0
x
y
1 2π
y
B
1
1 e 2π