高考圆锥曲线的考查特点及变化趋势讲解学习
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
以下就通过分析 2019 年全国高考数学 I 卷 （理科）的圆锥曲线试题, 总结近年来全国卷的圆 锥曲线试题的命题特点, 明确备考方向, 提出备考建 议。
一、2019 年全国 I 卷（理科）圆锥曲线试题解答与评析
题 1（理科 10 文科 12）已知椭圆 C 的焦点为 F1( 1, 0)，F2(1, 0)，过 F2 的直 线与 C 交于 A，B 两点．若| AF2 | 2 | F2B | ，| AB || BF1 | ，则 C 的方程为
思想方法仍是坐标思想及用代数方法研究几何图形 的性质、转化与化归思想、分类讨论思想 渗透着对
数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算素养的 考查。
2019 年全国高考数学 I 卷的圆锥曲线题仍然由 客观题和主观题两部分组成, 其中理科卷客观题以 椭圆、双曲线为考点, 重点考察考生的解题基本功, 方法可圈可点; 理科的主观题以抛物线为考点, 难度 有所下降。
分析 本题结合平面向量考查双曲线的渐近线和离心率。 离 心率的计算, 关键是利用题设条件构建关于 a, b, c 的一个等式 关系, 解题中若恰当采取几何法则较为简捷。
一、2019 年全国 I 卷（理科）圆锥曲线试题解答与评析
uuur uuur 解法 1 由 F1A AB, 得 F1A AB.又 OF1 OF2 ,
一、2019 年全国 I 卷（理科）圆锥曲线试题解答与评析
焦点三角形一直是高考热点, 在历年高考题中屡见不鲜，例如：
1.
(
2018 年全国 II 卷理科 12)
已知 F1 ， F2 是椭圆 C：ax22
y2 b2
1 (a b 0)
左，右焦点， A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 3 的直线上，△PF1F2 为 6
的离心率为
一、2019 年全国 I 卷（理科）圆锥曲线试题解答与评析
题
2
（理科 16）已知双曲线 C： x2
a2
y2 b2
1(a 0,b 0) 的左、右焦点分别
uuur uuur
为 F1，F2，过 F1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点．若 F1A AB ，
uuur uuuur F1B F2B 0 ，则 C 的离心率为____________．
高考圆锥曲线的考查特点 及变化趋势
解析几何是数学发展过程中的标志性成果，是 微积分创立的基础。 圆锥曲线与方程专题可以让学
生通过建立坐标系，借助圆锥曲线的几何特征，导 出相应的方程；用代数方法研究它们的几何性质， 体会数与形的结合； 这部分内容是高考试题的重要 组成部分。
2019 年全国 13 套高考试卷对本专题考查的考 点、题量、题型、分值、难度、内容等与往年基本 相同。主要考查圆锥曲线的基本量、标准方程、定 义、简单几何性质等，题量大多数都是两道客观题 加一道主观题，分值约占全卷的 15%，有容易题、 中档题和较难题。各套试卷的文、理科卷间仍有一 定的差异，文科卷较理科卷难度稍低一些。考查的
所以，所求椭圆方程为 x2 y2 1，故选 B． 32
一、2019 年全国 I 卷（理科）圆锥曲线试题解答与评析
题 1（理科 10 文科 12）已知椭圆 C 的焦点为 F1( 1, 0)，F2(1, 0)，过 F2 的直 线与 C 交于 A，B 两点．若| AF2 | 2 | F2B | ，| AB || BF1 | ，则 C 的方程为
圆的定义有 2a BF1 BF2 4n , AF1 2a AF2 2n ．在△AF1B 中，由余弦定
理推论得 cos F1AB
4n2 9n2 9n2 2 2n 3n
1 3
．在
△AF1F2
中，由余弦定理得
4n2 4n2 2 2n 2n 1 4 ，解得 n 3 ．
3
2
2a 4n 2 3 ,a 3 ,b2 a2 c2 3 1 2
A． x2 y2 1 2
B． x2 y2 1 32
C． x2 y2 1 43
D． x2 y2 1 54
分析 题设条件以焦点三角形和焦点弦为背景, 应充分利用椭圆定义 和解三角形等有关知识求解, 这是解此类问题的通性通法。
一、2019 年全国 I 卷（理科）圆锥曲线试题解答与评析
解法 1
得 OA 是三角形 F1F2B 的中位线，即 uuur uuuur
BF2 / /OA, BF2 2OA. 由 F1BgF2B 0 ，得
F1B F2B, OA F1A, 则 OB OF1 有
AOB AOF1，
又 OA 与 OB 都是渐近线，得 BOF2 AOF1, 又 BOF2 AOB AOF1 ，得
A 点的特殊位置; 再根据图形的特殊性解题, 如解法 1 利用共线向量坐
标运算或者用相似三角形确定 B 的坐标, 再由方程思想迅速求解。 若
没有关注到特殊图形, 还可用余弦定理, 借助同角或互为补角的余弦关
系列方程求解, 如解法 2 在两个三角形中对同一个角 A 运算(也可对角
B), 体现了算两次的思想方法。
等腰三角形， F1F2P 120 ，则 C 的离心率为
A. 2 3
B. 1 2
C. 1 3
D. 1 4
2.( 2010 年全国 I 卷理科 16) 已知 F是椭圆 C 的一个焦点， B 是短轴的一个 uur uur
端点，线段 BF 的延长线交 C 于点 D ，a b a cot A bcot B ，且 BF 2FD ，则 C
由|
AF2
|
2
|
F2 B
|
，利用向量或相似三角形的性质得点
B
3 2
,
b 2
，
代入椭圆方程得 a2 3 ,b2 a2 c2 3 1 2 ，故选 B．
一、2019 年全国 I 卷（理科）圆锥曲线试题解答与评析
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解法 2 如图，由已知可设 F2B n ，则 AF2 2n , BF1 AB 3n，由椭
A． x2 y2 1 2
B． x2 y2 1 32
C． x2 y2 1 43
D． x2 y2 1 54
点评 本题考查椭圆的标准方程及其简单性质, 考查数形结合和
转化化归的思想、分析问题和解决问题的能力, 很好的落实了直观想
象、逻辑推理等数学素养。 学生首先要根据椭圆定义列出方程, 得到
一、2019 年全国 I 卷（理科）圆锥曲线试题解答与评析
题 1（理科 10 文科 12）已知椭圆 C 的焦点为 F1( 1, 0)，F2(1, 0)，过 F2 的直 线与 C 交于 A，B 两点．若| AF2 | 2 | F2B | ，| AB || BF1 | ，则 C 的方程为
思想方法仍是坐标思想及用代数方法研究几何图形 的性质、转化与化归思想、分类讨论思想 渗透着对
数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算素养的 考查。
2019 年全国高考数学 I 卷的圆锥曲线题仍然由 客观题和主观题两部分组成, 其中理科卷客观题以 椭圆、双曲线为考点, 重点考察考生的解题基本功, 方法可圈可点; 理科的主观题以抛物线为考点, 难度 有所下降。
分析 本题结合平面向量考查双曲线的渐近线和离心率。 离 心率的计算, 关键是利用题设条件构建关于 a, b, c 的一个等式 关系, 解题中若恰当采取几何法则较为简捷。
一、2019 年全国 I 卷（理科）圆锥曲线试题解答与评析
uuur uuur 解法 1 由 F1A AB, 得 F1A AB.又 OF1 OF2 ,
一、2019 年全国 I 卷（理科）圆锥曲线试题解答与评析
焦点三角形一直是高考热点, 在历年高考题中屡见不鲜，例如：
1.
(
2018 年全国 II 卷理科 12)
已知 F1 ， F2 是椭圆 C：ax22
y2 b2
1 (a b 0)
左，右焦点， A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 3 的直线上，△PF1F2 为 6
的离心率为
一、2019 年全国 I 卷（理科）圆锥曲线试题解答与评析
题
2
（理科 16）已知双曲线 C： x2
a2
y2 b2
1(a 0,b 0) 的左、右焦点分别
uuur uuur
为 F1，F2，过 F1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点．若 F1A AB ，
uuur uuuur F1B F2B 0 ，则 C 的离心率为____________．
高考圆锥曲线的考查特点 及变化趋势
解析几何是数学发展过程中的标志性成果，是 微积分创立的基础。 圆锥曲线与方程专题可以让学
生通过建立坐标系，借助圆锥曲线的几何特征，导 出相应的方程；用代数方法研究它们的几何性质， 体会数与形的结合； 这部分内容是高考试题的重要 组成部分。
2019 年全国 13 套高考试卷对本专题考查的考 点、题量、题型、分值、难度、内容等与往年基本 相同。主要考查圆锥曲线的基本量、标准方程、定 义、简单几何性质等，题量大多数都是两道客观题 加一道主观题，分值约占全卷的 15%，有容易题、 中档题和较难题。各套试卷的文、理科卷间仍有一 定的差异，文科卷较理科卷难度稍低一些。考查的
所以，所求椭圆方程为 x2 y2 1，故选 B． 32
一、2019 年全国 I 卷（理科）圆锥曲线试题解答与评析
题 1（理科 10 文科 12）已知椭圆 C 的焦点为 F1( 1, 0)，F2(1, 0)，过 F2 的直 线与 C 交于 A，B 两点．若| AF2 | 2 | F2B | ，| AB || BF1 | ，则 C 的方程为
圆的定义有 2a BF1 BF2 4n , AF1 2a AF2 2n ．在△AF1B 中，由余弦定
理推论得 cos F1AB
4n2 9n2 9n2 2 2n 3n
1 3
．在
△AF1F2
中，由余弦定理得
4n2 4n2 2 2n 2n 1 4 ，解得 n 3 ．
3
2
2a 4n 2 3 ,a 3 ,b2 a2 c2 3 1 2
A． x2 y2 1 2
B． x2 y2 1 32
C． x2 y2 1 43
D． x2 y2 1 54
分析 题设条件以焦点三角形和焦点弦为背景, 应充分利用椭圆定义 和解三角形等有关知识求解, 这是解此类问题的通性通法。
一、2019 年全国 I 卷（理科）圆锥曲线试题解答与评析
解法 1
得 OA 是三角形 F1F2B 的中位线，即 uuur uuuur
BF2 / /OA, BF2 2OA. 由 F1BgF2B 0 ，得
F1B F2B, OA F1A, 则 OB OF1 有
AOB AOF1，
又 OA 与 OB 都是渐近线，得 BOF2 AOF1, 又 BOF2 AOB AOF1 ，得
A 点的特殊位置; 再根据图形的特殊性解题, 如解法 1 利用共线向量坐
标运算或者用相似三角形确定 B 的坐标, 再由方程思想迅速求解。 若
没有关注到特殊图形, 还可用余弦定理, 借助同角或互为补角的余弦关
系列方程求解, 如解法 2 在两个三角形中对同一个角 A 运算(也可对角
B), 体现了算两次的思想方法。
等腰三角形， F1F2P 120 ，则 C 的离心率为
A. 2 3
B. 1 2
C. 1 3
D. 1 4
2.( 2010 年全国 I 卷理科 16) 已知 F是椭圆 C 的一个焦点， B 是短轴的一个 uur uur
端点，线段 BF 的延长线交 C 于点 D ，a b a cot A bcot B ，且 BF 2FD ，则 C
由|
AF2
|
2
|
F2 B
|
，利用向量或相似三角形的性质得点
B
3 2
,
b 2
，
代入椭圆方程得 a2 3 ,b2 a2 c2 3 1 2 ，故选 B．
一、2019 年全国 I 卷（理科）圆锥曲线试题解答与评析
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解法 2 如图，由已知可设 F2B n ，则 AF2 2n , BF1 AB 3n，由椭
A． x2 y2 1 2
B． x2 y2 1 32
C． x2 y2 1 43
D． x2 y2 1 54
点评 本题考查椭圆的标准方程及其简单性质, 考查数形结合和
转化化归的思想、分析问题和解决问题的能力, 很好的落实了直观想
象、逻辑推理等数学素养。 学生首先要根据椭圆定义列出方程, 得到