第3章 经典需求理论(1)

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瓦尔拉斯需求对应/函数
在 UMP 中，赋予每一个价格—财富状况( p , w) 0 的最优消费向量集的规
则被表示为 x ( p, w) R ，并被称为瓦尔拉斯（或序数、或市场）需求对应。
种商品是拟线性的。

这两种情形的u(· )是基数性质，效用函数的任意变换不一
定都保存递增性或拟凹形。
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效用最大化问题
下文始终假设消费者有理性的、连续的、局部非饱和的偏好关系， 且把效用函数当作代表偏好关系的一个连续效用函数。本章还始
L X R 。 终假设消费集为
x x( p, w) ，可以通过库恩－塔克条件得出：
存在一个拉格朗日乘子 0 ，使得对于所有 l 1,, L ：
u( x ) p x ，若 0 ，则等式成立 xl

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等价地，如果令 u(x)=[
u(x) u(x) , , ] 代表 u(·)在 x 的梯度向量，则 x1 x L
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定义3： 局部非饱和性
Baidu Nhomakorabea
如果对于每一个 x∈X 和每一个ε >0，存在 y∈X，使得y-x≤ε ， 而且 y x ，则称 X 上的偏好关系是局部非饱和的。


排除了所有商品都是坏东西的极端情形,因为在这 种情形下,无任何消费(x=0)将是一个饱和点。 含义：即使仅允许消费者作微小的调整，消费 者也可以做得更好一些。
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为确保效用函数的存在，需要假设：偏好关系是 连续的

偏好关系－排序关系，效用值并不重要－单调性 （效用函数的）单调变换
定义 3.C.1 如果X 上的偏好关系 在极限条件下是被保持的，也就是说，
对于任意一个成对序列( x , y )
n n

（4）消费者的支出最小化问题。希克斯（补偿）需 求对应和支出函数。
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需求与价值函数的关系 如何及何时才能根据消费者的需求行为逆推他的潜 在偏好。即可积性问题。 考察价格变化对消费者福利的影响。马歇尔剩余 显示偏好强公理
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拉格朗日乘子 的一般性质：等于在最优点上消费者的 财富的边际效用价值（财富边际增加引起的效用变化） ， 即：
u( x ) xl 1 p 。或 xl w p
u(x(p,w)) D w x(p,w) x1 (p,w) x L (p,w) =u(x(p,w)) [ , , ] w w 1 ＝ p p
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偏好与效用

理性偏好关系并不总是可以用一个效用函数来表 示的，如词典式偏好。

如果 x1 y1 ，或 x1 y1 ，且 x2 y2 ，则定义 x y 即在决定偏好顺 。 序时，商品1具有最高优先权，正如单词的第一个字母 在词典排序上具有最高优先权一样。当两个商品束中的 的一种商品的数量一样时，这两个商品束中的第二种商 品的数量就决定了消费者的偏好。
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间接效用函数
对于每个 ( p, w) 0 ，UMP 的效用值表示为 v( p, w) R 。 对于任何 x x( p, w) ，它 v( p, w) 都等于 u( x ) 。 函数 v( p, w) 被称为间接效用函数。


凸性也可被视为经济主体喜欢多样化的基本倾向。
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x2
●y ●x

●z
L y R+ :y x

x1
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x2
● 2x ●x ●y x1 位似偏好 Homothetic preference 位似偏好：无差异集均通过沿射线的等比例扩展联系在一起。
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效用最大化问题（UMP）：
消费者在给定 p 0 和 w 0 的情况下， 选择其最偏好的消费束
max u ( x) s.t. px w
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命题 若p>>0，且u(· )是连续的，则效用最大 化问题有一个解。
第3章 经典需求理论
（1）
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引言

（1）介绍消费者的偏好关系以及它的一些基本性 质:完备的、可传递的排序、单调性（或它的更弱 的形式，局部非饱和性）和凸性。

（2）代表消费者偏好的效用函数的存在性和连续 性
3）消费者的最优选择。体现在瓦尔拉斯（或市场、 或序数）需求对应中；消费者的最优效用值，它由 间接效用函数来描述。

连续偏好有可能不能用一个可微的效用函数来代表，如里昂惕 夫偏好
x2
'' ' 当且仅当 min x1 ,x ''2 min x1 ,x '2 ，
●
有x'' x'。x''＝x'处不可微。

●
X’’ X’
x1
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一个连续效用函数的任何递增，但不连续的变换也都代表理性 偏好关系。 对于偏好的限制将转化为对于效用函数形式的限制：
下等集是所有 至少与之一样好的消费束的集合：
x
y X : x y 。
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凸性
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在经济学中，凸性假设是一个苛刻的、核心的 假设，它可以用边际替代率递减来加以解释：

在凸偏好的情况下，从任意一个初始消费状况 x开始， 对于任意两种商品而言，为补偿其中一种商品的逐次 单位减少所需要的另一种商品的数量是不断增大的。 如 y (1- )z x式所示。
有： u(x*) p 。如果有内点解，则有 u(x*)= p 。
或者说：
u ( x ) xl pl 消费者效用函数的梯度向量必须与价格向量成比例： ，或商品 u ( x ) xk pk
l 对商品k 的边际替代率等于两者的边际交换率（价格之比） 。否则，消费者就可
以通过边际地改变他的消费来改善自己的状况。图示
a0 （ 1 ） 在 ( p, w) 上 具 有 零 阶 齐 次 性 ： 任 意 给 定 p, w 和 标 量
x ( ap , aw ) x ( p , w)
，
。
x x ( p , w)
（2）瓦尔拉斯定律：任意给定

，有px w 。 x( p, w) 是一个凸集。 是拟凹的，则
x ( p , w)
（3）凸性/唯一性：如果 是凸的，从而

u ()
u ()
而且，如果 是严格凸的，从而
是严格拟凹的，则
只包含单一的元素。
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只要商品是“好东西”，则偏好具有单调性的假设就能够被满足。 单调性的含义：“某些而非全部商品的数量增加，可能并不是我 们感到有何差异。”、“增加一点东西至少与原来同样好”，如 果消费者可以无成本地处理他不想要的物品，这个假设是显而易 见的。 严格偏好的含义：“y中的某一商品比x中的多，而y中其他的商品 又不比x中的少。”、 “物品是有益的，多多益善”。
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无差异集

（1）包含点x的无差异的消费束的集合；正式的表 示是 y X : y ~ x
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x 的上等集是所有至少与 x （2）消费束 一样好的 x 消费束的集合：y X : y x ； （3）消费束 的


偏好的单调性意味着效用函数是递增的:如果 x>>y,则 u(x)>u(y)

偏好的凸性意味着效用函数是拟凹的: u(tx+(1-t)y)≥tu(x)+(1-t)u(y) or u(tx+(1-t)y)≥min{u(x),u(y)}

偏好的严格凸性意味着效用函数是严格拟凹的:
u(tx+(1-t)y)>uf(x)+(1-t)u(y)
n 1
n x ，
n n y n 对于所有 x lim x 均成立， 且 ， n
x y y lim n y n ，我们有 x
，则称该偏好关系 是连续的。
另一种定义是，对于所有 ，上等值集和下等值集均为闭集，也就是说，它 们包括了他们的边界。
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● 2y
0， x y
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x2
(i) R,e1 =(1,0,,0), (x+e1 ) (y+e1 ) (ii) 商品1是合意的， (x+ e1 ) x
x1
拟线性偏好Qasilinear preference： 任一无差异集都是其他无差异集沿商品1（或商品2）坐标轴的水平位移。
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偏好关系：基本性质

定义1 ：在消费集X上，

（1）完备性： （2）传递性

合意性假设：假设更大数量的商品优于更小数 量的商品通常是合理的。

体现在单调性假设中，即若x∈X，且y≥x，则y∈X。
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定义2 ：


单调的：若x∈X,及y＞＞x，则意味着y偏好于x 严格单调的：若x∈X,及y≥x和y≠x,则意味着y严格 偏好于x。
L
当 x( p, w) 对于所有 ( p, w) 都是单值的时，把它称为瓦尔拉斯（或序数、或市 场）需求函数。
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L 命题 3.D.2 假定u () 是一个连续效用函数，它代表了定义在消费集 X R
，则瓦尔拉斯需求对应x( p, w) 具有下述性质： 上的局部非饱和的偏好关系

递增性和拟凹形是u(· )的序数性质，效用函数的任意变换都将保
存这些性质。
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推论

（1）当且仅当它容许一个一次齐次的效用函数时，在X＝ R＋上的连续偏好是位似的。 （2）当且仅当它容许一个形如u(x)=x1+φ（x2,…,xL）的效

用函数时，在（－∞，＋∞）× R＋ 上的连续偏好对于第一
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命题 假定X上的理性偏好关系是连续的，则存在一 个 代 表偏好关系的连续效用函数。
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并非所有代表连续的理性偏好关系的效用函数都是连续的；
任何u(·)的严格递增变换，也代表偏好关系。 V(x)=f(u(x)),f(·)也是一个严格递增的函数。
v( p, w)= max u(x) L
xR +
s.t. px w
有：
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v( p, w) = u ( x ( p , w ) )
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为什么叫间接效用函数？因为表达式的效用只 是价格和财富水平的函数。如果知道了消费者 的收入水平和外在的相对价格水平，以及它们 的变化状况，如果让消费者自己求解其效用最 大化的问题，即可知道效用最大化点在何处。
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偏好的凸性蕴含着x(p,w)的凸性
x2
●x ●x’’ ●x’
x:u(x)=u*
x1
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x2
●x
偏好的严格凸性意味着x(p,w)是单值的
●x’’ ●x’
x:u(x)=u*
x1
单一解
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如果 U( · ) 是连续可微的，则最优消费束