2016年七宝中学自招数学试卷

c∣ ，
T1 P ' c d ，T2
P

b

max{
c

d
，c

a}

b

c

d

a∣d

a∣ ，
2
T1 P T1
P '
a b c d
2
∣b c∣-∣d a∣ 2
若
m

a
，
T1

P

T1
P
'

2a

b

c∣b 2

c∣
a

c
或
a
5. 在直角三角形 ABC 中，CD ，CE 分别是斜边 AB 上的高，中线，BC a ，AC 3a 3 ，
若 tan DCE 1 ，则 a ___________.
3
A
D
E
B
C
【答】 3 10 3
【解析】设 DE x ，则 AE BE CE 10x ，
在 x 负半轴上交点相同， 2a2b a2 x2 4 a2b 2 a 0 ， a 1，b 2 ， a b 3
二、解答题：（共 20 分）
9. （10 分）已知关于 x 的方程 4x2 8nx 3n 2 0 ①和 x2 n 3 x 2n2 2 0 ②问是否

3n

2

n
1

0
，则
n


1 2
，但 1
n

3 2
不为整数，舍；
若 4n2 3n 2 2n 2 ，则 n 0 或 1 ，当 2n 2 为整数，则 n 0 . 4
将 n 0 代入验证成立.
10. （10 分）对于数对序列 P a1 ，b1 ，a2 ，b2 ， ，an ，bn ， 记 T1 P a1 b1 ， Tk P bk max{Tk1 P ，a1 a2 ak }2 ≤ k ≤ n ，其中 max{Tk1 P ，a1 a2 ak } 表示 Tk1 P 和 a1 a2 ak 两个数中最大的数. 1 对于数对序列 P : 2 ，5 ，4 ，1 ，求 T1 P ，T2 P 的值； 2 记 m 为 a 、b 、c 、d 四个数中最小值的数，对于有两个数对 a ，b ，c ，d 组成的数对 序列 P : a ，b ，c ，d 和 P ' : c ，d ，a ，b ，试分别对 m a 的 m d 时两种情况比较 T2 P 和 T2 P ' 的大小.
冲刺 17 年自主招生之 2016 年七宝中学综合素养调研测试
一、填空题（每题 5 分，共 40 分） 1. 若 125 的立方根是 A， 25 的算术平方根为 B ，则 A B __________ .
【答】 2 5
【解析】 3
125 3
3
5
5，
25 5 A B 2 5
则 A B ______________ .
【答】 12
【解析】 f x x a 22 4a 4，g x x a 22 4a 8 当 x a 2 ，f x g x 4a 4 ，当 x a 2 ， f x g x 4a 8 ， 而 gmax g a 2 4a 8 ， H2 x ≤ g x ≤ gmax 4a 8 fmin f a 2 4a 4 ， H1 x ≥ f x ≥ fmin 4a 4 ，两个等号都能取到，
7. 已知函数 f x x2 2a 2 x a2 ，g x x2 2a 2 x a2 8. 设 H1 x max{ f x ，g x}， H2 x min{ f x ，g x}，max{p ，q} 表示 p ，q 中的较 大值， min{p ，q} 表示 p ，q 中的较小值，记 H1 x 得最小值 A，H2 x 得最大值为 B ，

b
，于是
T1

P
≤
T1
P
'
若
m

d
，
T1

P

T1

P
'

2d

b

c∣b 2

c∣
d

b
或
d

c
，于是
T1

P
≤
T2
P
'
.
2. 设 x ，y 为实数，则代数式 2x2 4xy 5y2 4x 2 y 5 的最小值为___________.
【答】 0
【解析】原式 x2 4xy 4y2 x2 4x 4 y2 2y 1
x 2 y2 x 2 2 y 12 ≥ 0
5 x 6
均随
x
的增大而减小，值域
取到 0 到正无穷之间.于是原方程有且仅有一个解.
4. 已知两质数 p ，q 之和为 2019 ，则 p 1 q1 p q 的值为______________.
【答】 2016
【解析】根据题意 p ，q 中必有一个偶数， p 2017 ，q 2 p 1 q1 2016
存在这样的 n 值，使方程①的两个实数根的差的平方等于方程②的一整数根？若存在，求出 这样的 n 值；若不存在，请说明理由.
【答】 0
【解析】若存在 n 满足题意， x1 x2 2 4n2 3n 2 ，②中 x n 1 x 2n 1 0 ，
若
4n2
设 a ，b 为整数，若对任意 x ≤ 0，都有 ax 2 x2 2b ≤ 0 成立，
则 a b _____________ .
【答】 3 【解析】作图略，显然 a 0 ，由于 x 的负半轴上 ax 2 与 x2 2b 不同号 ax 2 与 x2 2b
【答】 1 7 ，8 2 T1 P ≤T1 P '
【解析】 1 T1 P 2 5 7 ， T2 P 1 max{7 ，2 4} 1 7 8
2
T1
P

a

b
，T2
P

d

max{
a

b
，a

c}

d

a

b

c∣b 2
A 4a 4 ，B 4a 8 A B 12
8. 不等式 x 1 x2 4x 3 0 有多重解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中做
出 y1 x 1 和 y2 x2 4x 3 的图像然后进行求解，请类比求解以下问题：
当 x 2 ，y 1 时等号成立.
3. 方程： 3x 4x 5x 6x 的解有_____________个.
【答】 1
【解析】由题意

3 x 6


4 x 6


5 6
x

1
，而

3 x 6
、
4 x 6
、
点 P ，则∣PA∣∣PB∣∣PC∣∣PD∣的最小值为______________.
【答】 3 2 2 5 【解析】易知四边形 ABCD 为凸四边形，设对角线 BD 与 AC 交点为 O ，
∣PA∣+∣PB∣∣PC∣∣PD∣≥∣AC∣∣BD∣= 18 20 3 2 2 5 ， 当 P 与 O 重合时等号成立.
9 AC2 AD AB 10 1 2 10x2 ，
BC2 BD AB
10 1 2
10x2 9 1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2
10 ，
BC 3 10 3.
6. 在平面直角坐标系内，已知四个定点 A3，0 ，B 1，1 ，C 0 ，3 ，D 1，3 及一个动