第二章-平均数比较

推断统计

1．个体、样本和总体

推断性统计的任务是根据有限的数据对无限的数

据做出估计性判断。个体（individual）、样本（sample）、总体（population）和分布（distribution）等概念。

参数（parameters），分别表示为μ、σ2和σ等，统计量（statistics）。

随机取样

2．正态分布和Z 分数

正态分布（normal distribution）是连续随机变量概率分布的一种。自然界、人类社会、语言、心理和教育中的大量随机现象均有正态分布特征。正态分布左右对称，单峰，偏度系数（coefficient of skewness）和峰度系数（coefficient of kurtosis）均为零。

有时候，如果计算得偏度和峰度的绝对值均小于1，那么可以认为相应的分数集合接近服从正态分布。

如果从正态分布总体中随机抽取无数个样本，那么，这些样本的平均数也服从正态分布。正态分布是

一簇分布。对于不同的随机变量，他们体现着不同的随机现象，它们有不同平均数和标准差，因此，它们的测量分数呈不同的正态分布。

然而，所有服从正态分布的分数都可以转换为Z 分数（Z score）。Z 分数表示实际分数距离其平均数的程度：

Z=（X-M）/SD

Z 分数服从一种理论上的其平均数为0 和标准差为 1 的标准正态分布。

3．置信区间和置信水平

人们用概率（probability）表示偶然事件发生（也叫随机事件）的可能性，简写为p。对于完全不可能发生的事件，p=0。如果某事件的发生概率低于5%，那么，就可认为该事件为低概率事件（低概率事件并非不可能事件）。

在推断性统计中，如果存在某种可能性，使总体的参数落在某一数值范围内，那么，这个数值范围就叫做置信区间（confidence interval），而与之对应的那个

可能性就叫做置信水平（confidence level）。置信区间表达了区间估计的精确度，置信水平表达了区间估计的可靠性程度。

4．显著性水平

比如说，从同一总体中随机抽取两个样本，那么理论上，这两个样本之间是没有统计差异的。反之，如果两个样本之间没有统计差异，那么，就不能否认这两个样本来自同一总体。

然而实际上，对两个样本进行比较运算，只能在一定程度上确保相应结果不是出于偶然。

因此，推断性统计的基本逻辑是：先作零假设，然后对样本进行统计运算，求出零假设不能被推翻的可能性p，也叫显著性水平（significance level）。p 越小，说明相应统计结果的显著性水平越低，拒绝零假设的可信程度越高。

通常，如果p<0.05，那么，就可以认为相应统计结果达到可以接受的显著性水平，报告统计结果显著；如果p>0.10，那么，相应统计结果就没有达到可以接

受的显著性水平，不能拒绝零假设，报告统计结果不显著；如果0.05

5．效应大小和统计功效

效应大小（effect size）是关于两个总体相互不重叠程度的统计量

两个总体的平均数差异越大，效应越大；样本平均数的分布的标准差越小，效应越大。

与效应大小相关联的一个统计量是统计功效（statistical power）。对于一项具体研究，统计功效是在假设为真的前提下能够获得显著性统计结果的可能性。统计功效取决于效应大小和样本大小。

效应越大，统计功效越大；样本越大，统计功效越大（因为样本越大，样本平均数分布的标准差越小）。

通常，统计功效应该达到80%，

要达到80% 的统计功效，在不同的研究设计中，对应的样本大小和效应大小有不同的最低要求和不同的计算方式。

6．自由度、t分布和F分布

总体的参数是不可知的，只能通过样本的统计量进行估计。对于随机取样，人们以样本的标准差来估计其总体的标准差。

N-1 就是自由度（degrees of freedom）。用df表示。

t分布（t distribution）：

F分布：

第二章平均数比较

比较西湖边各种树木的棵数和太湖中各

种鱼的尾数是否有显著性差异，也能出现一种“统计”结果，但是此“结果”没有任何意义。

比较两组分数是否存在显著性差异的t

检验（t test）；

一、t 检验

（一）单样本平均数t 检验

如果已知某总体的平均数为μ0，而且，有一个大小为n的样本，那么，可以通过单样本平均数t 检验，推断这个样本所属总体的平均数是否与μ0没有显著性差异。

作零假设：μ=μ0。

单样本平均数t 检验，自由度为：n-1。

【单样本平均数t 检验·例】

某高校外语专业学生毕业时需要参加相应语种的词汇测验。根据常年累计，英语专业毕业生的常年平均词汇量是5000 个英语单词。某年，该校英语专业30 名毕业生的词汇测验成绩如表2-1 所示。问，这些毕业生的词汇量与英语专业毕业生常年统计的平均词汇量是

否有显著差异？

表2-1 某校30 名毕业生词汇量测验成绩

学生编号成绩学生编号成绩学生编号成绩

21 4550

9 22 5108

03 4792 1

………………

1 30 5076

表2-1-1 某校30 名毕业生词汇量测验成绩的SPSS 表格结构

注：“stdntId”代表学生编号，“stdntScr”代表学生词汇量测验成绩。

〖操作〗OneSmpl-t-Test.sav。

执行Analyze → Compare Means →

One-Sample T Test，如图2-1 所示。点击左侧变量列表中的，点击，

将出现在下方的分析变量列表中。在右边的中输入该校英语专业毕业生常年平均词汇量，即，5000。如图2-1-1 所示。点击。

图2-1 单样本t检验设置窗口1 图2-1 单样本t检验设置窗口2

〖结果与解释〗

【结果报告】

单样本平均数t检验表明，该30 名英语专业毕业生词汇量测验成绩平均数（5040.10±296.11）和该校同专业毕业生常年平均词汇量（5000）没有显著差，t（29）=0.742，p>0.10。

（二）配对样本平均数t 检验

配对的两个样本，通过配对样本平均数t 检验（paired-samples t test）来推断他们是否有统计性差异。

作零假设：两个样本分别来自平均数为和的两个总体，而且，=。

自由度为：n-1。

效应大小的估计为：

配对样本平均数t 检验的效应大小的 3 个等级分别为：0.2、0.5 和0.8

如果要在0.05 显著性水平上达到80% 的统计功效，那么，这 3 个效应大小等级对应的计划样本大小应该分别是：196、33 和14。

【配对样本平均数t 检验·例1】

某高校英语专业某班15 人在大学二、四年级末各参加了同一套题目的词汇测验，成绩如表2-2 所示。问，该班学生的两次词汇量测验成绩是否有显著差异。

表2-2 某高校英语专业某班大学生在二、四年级末的词汇量测验成绩*

学生编号成绩2 成绩4 学生编号成绩2 成绩4 学生编号成绩2 成绩4

2886 5217

7 3 51 5389

8 3323 5 81

9 2684 539

3497 5025

*“成绩2”、“成绩4”分别代表学生大学二、四年级末词汇量测验成绩。

表2-2-1 某高校英语专业某班大学生在二、四年级末的词汇量测验成绩的SPSS 表格结构*

*“stdntId”代表学生编号，“stdntScr2”和“stdntScr4”分别代表学生两次词汇量测验的成绩。

〖操作〗Pair-t-Test.sav。

执行Analyze → Compare Means → Paired-Samples T Test，系统将弹出配对本平均数t检验主窗口（Paired-Samples T Test），如图2-2 所示。按住Shift 键，点击左侧变量列表中的和，点击，和将出现在下方的分析变量对列表中，即，，如图2-2-1 所示。点击。

图2-2 配对样本t检验设置窗口1 图2-2-1 配对样本t检验设置窗口2

〖结果与解释〗