一题多变多用启迪学生思维

基本认识

在正常教学中,认真挖掘典型、基本习题的内涵,充分运用其内在的基本关系,在不同的学习阶段,引导学生做不同目的、不同侧重点的练习,然后,在一定的时机,引导学生做比较、归纳、总结、引申、挖掘,是提高教学质量的基本方法与有效手段。

实践1

例如:在考查“角平分线的对称性”、“全等三角形的性质、判定方法”、“三角形外角的性质”等知识点时,我曾选用下面的问题: 如图1,△abc中,∠b=2∠c,ad是∠bac的平分线。求证:ab+bd=ac 经师生共同分析,同学们了解并逐步找到、掌握了以下两大类(三种)

典型解法.解法1.(截长法)如图2.在ac上截取ae=ab,易证△abd ≌△aed

∴bd=de 借助角度计算,得:∠edc=∠c 从而de=ec 即ab+bd=ac 解法2(补短法)如图3.延长ab至点e,使be=bd,则∠e=∠bde,逐步得到∠e=∠c

△aed≌△acd,从而ae=ac即ab+bd=ac.

解法3(补短法)如图4.延长db至点e,使be=ab,则∠e=∠bae 易证△aec是等腰三角形

∵∠ade=∠dac+∠c ∠dae=∠bad+∠bae 从而△aed是等腰三角形,ea=ed=ac∴ab+bd=ac.

小学数学一题多解浅见

小学数学一题多解浅见内容摘要：在数学教学中，我们常遇到同一道题有几种解法的现象，人们通常称之为一题多解。一题多解确实是一种在各级数学教学中都常见到的数学现象，怎样才能提高学生以题多解的能力呢？我认为可以从四个方面入手，要告诉学生一题多解是一种常见的数学现象；要教育学生充分认识培养一题多解对学好数学的重要意义；要指导学生一题多解的方法；引入竞争机制，鼓励一题多解；从而调动学生一题多解的积极性，达到逐步提高学生一题多解能力的目的。关键词：小学数学一题多解方法与技巧积极性在数学教学中，我们常遇到同一道题有几种解法的现象，人们通常称之为一题多解。如“一千零一针，仨半孩子分，每人分几根？”解法一，用整数计算，可得1001÷7×2= 286；解法二，用小数计算，可得出1001÷3.5 =286；解法三，用列方程计算，设每个孩子分ⅹ根针，可列方程

3.5ⅹ=1001，解之，得ⅹ=286由此可见，一题多解确实是一种在各级数学教学中都常见到的数学现象。数学教学是以各种数学现象作为教学内容的，既然一题多解是一种常见的数学现象，就不能不引起我们每位数学教师的高度重视，而且大量的教学实践已经证明，加强对学生一题多解能力的培养，对大面积提高数学成绩确实大有好处。由于同一道数学题大多有几种解法，并能在最短的时间内拿出最正确的答案。如果不放心还可以用其他方法来验证。这样既能开拓学生的思路，节省学生的时间，还能提高学生做题的准确率。那么怎样才能提高学生以题多解的能力呢？我认为可以从几个方面入手：一、要告诉学生一题多解是一种常见的数学现象，虽然并非每道数学题都有几种解法，但多种数学题有多种解法却是事实。二、要教育学生充分认识培养一题多解对学好数学的重要意义，引起学生对自己一题多解能力的高度重视。三、要指导学生一题多解的方法。这就要求数学教师

例谈高中数学一题多解和一题多变的意义

例谈高中数学一题多解和一题多变的意义杨水长摘要：高中数学教学中,用一题多解和一题多变的形式,可以使所学的知识得到活化，融会贯通，而且可以开阔思路，培养学生的发散思维和创新思维能力，从而达到提高学生的学习兴趣，学好数学的效果。关键词：一题多变一题多解创新思维数学效果很大部分的高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、不好学、没兴趣.但由于高考“指挥棒”的作用，又只能硬着头皮学.如何才能学好数学？俗话说“熟能生巧”，很多人认为要学好数学就是要多做.固然，多做题目可以使学生提高成绩，但长期如此，恐怕也会使学生觉得数学越来越枯燥。我觉得要使学生学好数学，首先要提高学生的学习兴趣和数学思维能力。根据高考数学“源于课本，高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径。下面举例说明：例题：已知tanα=4 3 ,求sinα,cosα的值分析：因为题中有sinα、cosα、tanα，考虑他们之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题：法一根据同角三角函数关系式tanα= 4 3= α αcos sin ，且sina2α + cos2α =1。两式联立，得出：cos2α=2516,cosα= 5 4 或者 cosα= -54 ；而sinα=53或者sinα=-53 。分析：上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接求解就简洁些：法二 tanα=4 3 ：α在第一、三象限在第一象限时： cos2α = ααcos sin cos 2 2 2 5+=αtan 2 11+=2516 cosα=5 4 sinα=αcos 21-=5 3 而在第三象限时： cosa=- 5 4 sina=- 53 分析：利用比例的性质和同角三角函数关系式，解此题更妙：法三 tanα= 43= αα cos sin ?4cos α= 3sin α ?4cos α= 3sin α= ± 3 4cos sin 2 2 2 2 ++α α ∴sinα=53，cosα= 54 或sinα=-53，cosα=-54 分析：上面从代数法角度解此题，如果单独考虑sinα、cosα、tanα，可用定义来解此题。初中时，三角函数定义是从直角三角形引入的，因此我们可以尝试几何法来解之：法四当α为锐角时，由于tana=4 3,在直角△ABC 中，设α=A,a=3x,b=4x ，则勾股定理，得，c=5x sinA=AB BC = 53 ,cosA=AB AC =5 4

六年级数学易错题难题题含详细答案

六年级数学易错题难题题含详细答案一、培优题易错题 1．列方程解应用题：（1）一个箱子，如果装橙子可以装18个，如果装梨可以装16个，现共有橙子、梨400个，而且装梨的箱子是装橙子箱子的2倍．请算一下，装橙子和装梨的箱子各多少个？（2）一群小孩分一堆苹果，每人3个多7个，每人4个少3个，求有几个小孩？几个苹果？（3）一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/时．顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时，求无风时飞机的速度和两城之间的航程．【答案】（1）解：设装橙子的箱子x个，则装梨的箱子2x个，依题意有 18x+16×2x=400，解得x=8， 2x=2×8=16．答：装橙子的箱子8个，则装梨的箱子16个（2）解：设有x个小孩，依题意得：3x+7=4x﹣3，解得x=10，则3x+7=37．答：有10个小孩，37个苹果（3）解：设无风时飞机的航速为x千米/小时．根据题意，列出方程得：（x+24）× =（x﹣24）×3，解这个方程，得x=840．航程为（x﹣24）×3=2448（千米）．答：无风时飞机的航速为840千米/小时，两城之间的航程2448千米【解析】【分析】（1）根据梨和橙子与各自箱数分别相乘，相加为两者的总数，求出装梨和橙子的箱子数。（2）利用两种分法的苹果数是相同的，列出方程求解出小孩数和苹果数。（3）利用逆风和顺风的路程是相同的，列出方程求出速度，再利用速度和时间求出航程。 2．纽约、悉尼与上海的时差如下表（正数表示同一时刻比上海时间早的时数，负数表示同一时刻比上海晚的时数）：城市悉尼纽约时差/时+2-12

（1）当上海是10月1日上午10时，悉尼时间是________. （2）上海、纽约与悉尼的时差分别为________（正数表示同一时刻比悉尼时间早的时数，负数表示同一时刻比悉尼晚的时数）. （3）王老师2018年9月1日，从纽约Newwark机场，搭乘当地时间上午10:45的班机，前往上海浦东国际机场，飞机飞行的时间为14小时55分钟，问飞机降落上海浦东国际机场的时间. 【答案】（1）12 （2）-2，-14 （3）解：10时45分+14时55分+12时=37时40分. 故飞机降落上海浦东国际机场的时间为2018年9月2日下午1:40 【解析】【解答】（1）10+（+2）=12时，即当上海是10月1日上午10时，悉尼时间是12时. （ 2 ）12-10=2； -12-2=-14；故上海、纽约与悉尼的时差分别为-2，-14. 【分析】（1）根据表格得到悉尼时间是10+（+2）；（2 ）由表格得到上海与悉尼的时差是2，纽约与悉尼的时差-12-2；（3）根据题意得到10时45分+14时55分+12时，得到飞机降落上海浦东国际机场的时间. 3．某手机经销商购进甲，乙两种品牌手机共 100 部. （1）已知甲种手机每部进价1500 元，售价2000 元；乙种手机每部进价3500 元，售价4500 元；采购这两种手机恰好用了 27 万元 .把这两种手机全部售完后，经销商共获利多少元？（2）已经购进甲，乙两种手机各一部共用了5000 元，经销商把甲种手机加价50%作为标价，乙种手机加价 40%作为标价. 从 A，B 两种中任选一题作答： A：在实际出售时，若同时购买甲，乙手机各一部打九折销售，此时经销商可获利1570 元.求甲，乙两种手机每部的进价. B：经销商采购甲种手机的数量是乙种手机数量的 1.5 倍.由于性能良好，因此在按标价进行销售的情况下，乙种手机很快售完，接着甲种手机的最后10 部按标价的八折全部售完.在

小学数学一题多解与一题多变

小学数学一题多解与一题多变B 摘要：在本文里，一题多用特指渗透于同一数学问题里的不同的数学思想；而一题多变则是指对同类数学问题的不同问法与解答的归纳，并进而构建数学模型。在小学数学教学过程中，教师可结合教学内容和学生的实际情况，采取多种形式的训练，培养学生思维的敏捷性和灵活性，以达到诱导学生思维发散，培养发散思维能力的目的。关键词：数学，一题多解，一题多变，创造性，创设思维思维的广阔性是发散思维的又一特征。思维的狭窄性表现在只知其一，不知其二，稍有变化，就不知所云。反复进行一题多解、一题多变的训练，是帮助学生克服思维狭窄性的有效办法。可通过讨论，启迪学生的思维，开拓解题思路，在此基础上让学生通过多次训练，既增长了知识，又培养了思维能力。教师在教学过程中，不能只重视计算结果，要针对教学的重难点，精心设计有层次、有坡度，要求明确、题型多变的练习题。要让学生通过训练不断探索解题的捷径，使思维的广阔性得到不断发展。要通过多次的渐进式的拓展训练，使学生进入广阔思维的佳境。一、一题多解，有利于加强学生的思维训练一题多解，指对同一数学问题的结论可以由多种途径获得。就是启发和引导学生从不同角度、不同思路，运用不同的方法和不同的运算过程，解答同一道数学问题，它属于解题的策略问题。上这种课的主要目的有三条：一是为了充分调动学生思维的积极性，提高他们综合运用已学知识解答数学问题的技能技巧；二是为了锻炼学生思维的灵活性，促进他们长知识、长智慧；三是为了开阔学生的思路，引导学生灵活地掌握知识的纵横联系，培养和发挥学生的创造性。心理学研究表明，在解决问题的过程中，如果主体所接触到的不是标准的模

六年级一题多解竞赛活动方案

2017----2018学年第二学期六年级数学一题多解竞赛活动方案数学高年级组 2018年5月7日

六年级数学一题多解竞赛活动方案一、指导思想为了进一步贯彻新课程标准，提高学生的计算能力和计算速度；同时也为了丰富校园文化生活，激发学生学习、钻研数学知识的兴趣，拓展学生的知识面，提高学生的数学素养，发展学生的个性特长，展示学生在数学学科学习中的成果，我校数学教研组决定组织六年级数学一题多解竞赛活动。二、活动目的通过数学竞赛，提高学生计算能力和计算速度，同时提升学生分析问题和解决问题的能力，进一步拓展学生的数学知识面，使学生在竞赛中体会到学习数学的成功喜悦，激发学生学习数学的兴趣;同时，通过竞赛了解小学数学教学中存在的问题和薄弱环节，为今后的复习收集一些参考依据。具体目的如下： 1、提高学生的计算、速算、解决问题等数学基本能力，为学好数学打下坚实的基础。 2、构建良好的数学校园文化氛围，在全校掀起爱数学、学数学、用数学的热潮。三、参赛对象六年级参加竞赛（每班20人）。四、竞赛时间和地点 1. 竞赛时间：2018年5月11日下午第1、2节课 . 2. 竞赛地点：六年级教室。

五、竞赛形式：笔试（时间：90分钟），由六年级备课组安排监考和阅卷。六、竞赛内容六年级一题多解。六年级备课组根据本年级学情命题，要求试题有层次，由适当的题量，并具有一定的灵活性、科学性。七、奖项设置根据卷面分数评选出“解题小能手”一等奖10名，二等奖15名，三等25奖名。八、注意事项 1．各班数学老师负责学生的报名参赛工作。 2．六年级出题人员将试卷打印好交教研组，并提送一份标准答案。3．成绩汇总：竞赛活动后，阅卷教师统计学生的成绩，并将学生成绩和试卷一并上报教务处存档。城关镇中心学校数学高年级组

整理小学数学一题多解行程问题

小学数学一题多解行程问题

1.简案 1课时

师引导学生对两道题目进行表述，根据表述内容列式计算，明确用除法计算的两种情况。（播放动画，单击）探究一：平均分（1）呈现问题，出示教科书第23页例3左图。（播放动画，单击）引导学生明确数学信息和数学问题。学生先独立思考，画图并列式计算，然后小组内交流方法。教师巡视，对画图有困难学生进行指导。（2）反馈交流学生可能会有画一画，摆一摆，分一分，列算式的方法得出结果。教师在评价中予以肯定，重点讲解算式，配合学生的图予以理解。请学生说一说15、3、5分别指什么，算式15÷3=5表示什么意思。师生共同分析明确，这个问题实际上就是在解决把15平均分成3份，每份是多少的问题。（播放动画，单击）在回顾与反思环节，请学生说一说他们的方法，师生共同得出可以用乘法帮助检验结果是否正确。探究二：按给定的每几个为一份分教学方法同例3左图，引导学生明确数学信息和数学问题。学生独立思考，画图并列式计算。学生列式：15÷5=3（个）。师追问为什么要用除法计算，这

个问题实际是在解决什么。分析得出这个问题就是在求15里面有几个5，用除法计算。在回顾与反思环节，请学生说一说他们的方法，师生共同得出可以用乘法检验结果是否正确。（播放动画，单击）探究三：比较异同，体会内在联系师引导学生对比两题的异同，明确用除法计算的两种情况。求把一个数平均分成几份，每份是几和求一个数里有几个几的问题。（播放动画，单击）练习一：教科书第24页，练习五第1题。（单击）练习二：教科书第24页，练习五第3题。（单击） 2.详案课前预习：

数学解题之一题多解与多题一解[1]

摘要本文意在明确一题多解和多题一解与学生思维能力发展之间的关系，从而使教师在数学解题教学过程中更加重视解题方法对学生思维能力的培养。本文通过两种典型例题即一题多解型和多题一解型的讲解，阐述了通过不同的例题可以达到对学生思维能力的训练培养的目的。通过一题多解，可以开阔学生思路、发散学生思维，让学生学会多角度分析和解决问题；通过多题一解，能够加深学生的思维深度，分析事物时学会由表及里，抓住事物的本质，找出事物间内在的联系。与此同时，对一题多解和多题一解的运用，要注意相互结合，灵活运用，不可只求一技，失之偏颇。关键词：一题多解多题一解思维能力数学解题过程中一题多解与多题一解对学生思维能力的培养引言

现代心理学认为，数学是人类思维的体操，在培养人的聪明才智方面起着巨大的作用。所以，数学教学实质上是数学思维活动的教学。也就是说，在数学教学中，除了要使学生掌握基础知识、基本技能外，还要注意培养学生的思维能力。培养学生的思维能力是新课程改革的基本理念，也是数学教育的基本目标之一。“学生在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概况、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴含的数学模式进行思考和做出判断。” 数学思维能力对形成理性思维有着独特的作用。因此，作为一名数学教师，应把培养学生的思维能力贯穿在教学的全过程。惠州市惠州区广播电视大学舒芳教授在《在数学解题教学中培养学生的思维能力》中认为，不同

学而思小二奥数--解应用题(一题多解)

解应用题（一题多解）课前复习 1．水果店里有30千克苹果、25千克香蕉，卖了13千克香蕉，还有多少千克香蕉2．乐乐在学校每天上5节课，一个星期要在学校上几节课 3．小明有41张邮票，送给华华12张，小林又送给他17张，现在小明有多少张邮票【例1】(★★)王奶奶家喂了2只大公鸡，喂的老母鸡比大公鸡多6只，每个星期平均一只老母鸡下4个鸡蛋，王奶奶喂的这些鸡一个星期能下多少个蛋【例2】(★★★)小华每天写8个大字，比小军每天多写2个。小华和小军一星期一共写多少个大字【拓展】(★★★)小红每分钟剪4朵小红花，小强每分钟比小红多剪2朵，他们两人一小时一共剪多少朵小红花【例3】(★★★★)二年级原来女同学比男同学多25人，今年二年级又增加了80个男同学和65个女同学，请问：现在是男同学多还是女同学多多几人【例4】(★★★)草地上有黑兔、白兔、灰兔共27只，黑兔比白兔多2只，灰兔比白免少2只。黑兔、白兔、灰兔各有多少只【例5】(★★★★)小强、中强、大强去称体重，大强和小强一起称是50千克，小强和中强一起称是49千克，三个人一起称是76千克。三人的体重各是多少千克【拓展】(★★★★★)大明、小荣、豆豆三个小朋友去称体重，大明和小荣一起称是55千克，大明和豆豆一起称是49千克，小荣和豆豆一起称是56千克。三人的体重各是多少千克【例6】(★★★★★)三棵树上共有36只鸟，有4只鸟从第一棵树上飞到第二棵树上，有8只鸟从第二棵树上飞到第三棵树上，有10只鸟从第三棵树上飞到第一棵树上，

这时，三棵树上的鸟同样多。原来每棵树上各有几只鸟本讲总结一、应用题解答步骤：审题→分析→列式→计算→检查→写答语二、注意事项： 1、是否有多余条件 2、是否有隐藏条件 3、是否可以一题多解三、方法假设法线段图法第1题第2题第3题第4题

小学数学“一题多解”的探究

小学数学“一题多解”的探究数学是一种应用非常广泛的学科,它将数与量、结构和空间关系在生活中具体应用和体现。“一花独放不是春，百花齐放春满园”。数学自身同样存在“百花齐放”的状态。数学中存在的“百花齐放”，指的是数学的多种表现形式，数学题中的一题多解便是其中之一。一题多解表现了思维的灵活性和广阔性，对沟通知识引起多路思维大有益处，它是激发学生学习兴趣，调动学生学习积极性的有效方法，与此同时，它也是数学教学的一种重要方法，是在不改变条件和问题的情况下，让学生多角度、多侧面地进行分析和思考，探求不同的解题思路。在探求的过程中，由于学生思维发散点不同，因而能找出多种解题途径，收到培养求异思维的效果。六至十二岁的小学生新鲜感强，目的性不够明确，爱动、好问，注意力不够稳定，很难长时间把注意力集中到同一学习活动上；教师教给学生的是现成的结论、现成的论证、现成的说明，一切都是现成的，无需学生动手实践就可以将知识快速地储存于自己的大脑。因此，教师付出再多辛苦劳动的结果却是学生学习完许多知识便忘。此时巧妙地引入一题多解，更好地好地体现了以学生为本的主导思想，同时又减轻教师教学负担，转变教师教学模式。例如，有这样一题“两辆汽车同时从甲、乙两地相对开出，5小时后相遇。一辆汽车的速度是每小时55千米，另一辆汽车的速度是每小时45千米，甲、乙两地相距多少千米？”它的解法就有多种。【分析1】先求两辆汽车各行了多少千米，再求两辆汽车行驶路程的和，即得甲、乙两地相距多少千米。【解法1】一辆汽车行驶了多少千米？ 55×5=275（千米）另一辆汽车行驶了多少千米？ 45×5=225（千米）甲、乙两地相距多少千米？ 275+225=500（千米）综合算式：55×5+45×5 =275+225=500（千米）【分析2】先求出两辆汽车每小时共行驶多少千米，再乘以相遇时间，即得甲、乙两地相距多少千米。【解法2】两车每小时共行驶多少千米？ 55+45=100（千米）甲、乙两地相距多少千米？ 100×5=500（千米）综合算式：（55+45）×5 =100×5 =500（千米）【分析3】甲、乙两地的距离除以相遇时间，就等于两辆汽车的速度和。由此可列出方程，求甲、乙两地相距多少千米。【解法3】设甲乙两地相距x千米。 x÷5=55+45 x=100×5 x=500 【分析4】甲乙两地距离减去一辆汽车行驶的路程，就等于另一辆汽车行驶的路程，由此列

初中数学一题多解与一题多变

____________________________________________________________________________________________ 初中数学一题多解与一题多变时代在变迁，教育在进步，理念在更新。前两年提出考试要改革，有了《指导意见》，于是一批批探索性、开放性和应用性试题不断涌现；如今又提出课程要改革，有了《课程标准》，其中突出了学生自主探索的学习过程，强调应用数学和创新能力的培养，鼓励教师创造性教学，学生学会学习。面临这种崭新的教育形势，我们会思考这样一些问题：教学要如何从静态转为动态？怎样有效地指导学生独立地分析问题、解决问题，形成有效的学习策略，提高效益？该如何引导和组织学生从事观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动，激发学生的学习兴趣和创新意识，培养创新能力？等等。我个人在实际教学过程中，对这些问题作过一些深思和一些尝试，其中比较突出的是引导学生进行一题多解和一题多变的训练。下面，我提出几个实例来分析其引导过程与方法，抛砖引玉，仅供参考。一、一题多解，多解归一对于"一题多解"，我是从两个方面来认识和解释的：其一，同一个问题，用不同的方法和途径来解决；其二，同一个问题，其结论是多元的，即结论开放性问题。一题多解，有利于沟通各知识的内涵和外延，深化知识，培养发散性和创造性思维；多解归一，有利于提炼分析问题和解决问题的通性、通法，从中择优，培养聚合思维。例1：如图，已知D 、E 在BC 上，AB=AC ，AD=AE ， E D C B A

求证：BD=CE. （本题来自《几何》第2册69页例3）思路与解法一：从△ABC和△ADE是等腰三角形这一角度出发，利用"等腰三角形底边上的三线合一"这一重要性质，便得三种证法，即过点A作底边上的高，或底边上的中线或顶角的平分线。其通法是"等腰三角形底边上的三线合一"，证得BH=CH. 思路与解法二：从证线段相等常用三角形全等这一角度出发，本题可设法证△ABD≌△ACE或证△ABE≌△ACD，于是又得两种证法，而证这两对三角形全等又都可用AAS、ASA、SAS进行证明，所以实际是六种证法。其通性是"全等三角形对应边相等"。思路与解法三：从等腰三角形的轴对称性这一角度出发，于是用叠合法可证。例2：已知，如图，在⊙O中，AD是直径，BC是弦，AD⊥BC，E 添加字母，不写推理过程） D 思路与解法一：从相等的线段这一角度出发，可得如下结论： 1.OA=OD； 2.BE=CE； ____________________________________________________________________________________________

新人教版六年级下册数学解方程专项练习题

六年级下册数学解方程练习题数量关系式：加数＋加数＝和因数×因数＝积一个加数＝和－另一个加数一个因数＝积÷另一个因数被减数－减数＝差被除数÷除数＝商被减数＝差＋减数被除数＝商×除数减数＝被减数－差除数＝被除数÷商类型一： 4.1236.20=+x χ－52＝ 10 3 练习一： 1、解方程。 250100=+x 42.1=+x 9.67.2=+x 3.27.2=-x 5.175.33=-x 153.12=+x 8 3＋χ＝5 2 6324=-x 4.28.1=-x

4.83=x 3.07=÷x 10 7χ＝2514 例1：一个数x 的13倍是364，求这个数？练习二： 1、解方程。 1266=x 3.65.0=x 188.1=÷x χ×53 =20×41 χ÷356=45 26×2513 7.234=÷x 4.66.1=x 9 5χ＝10 31.1=÷x

3x +5=50 4x -27=29 5χ÷2＝10 4χ－3×9 = 29 例2：一个长方形的周长是10.8厘米，长是4厘米，这个长方形的宽是多少厘米？练习三： 1、解方程。 5147=÷x 4202=-x 42318=+x 4.539=÷x 2χ + 25 = 3 5 25% + 10χ = 54

78414=+x 32χ÷4 1 ＝12 4χ－3 ×9 = 29 2、红光小学有女教师57人，比男教师的3倍还多9人。红光小学有男教师多少人？类型四： 554=+x x 6 χ－χ＝20 70%χ+ 20%χ = 3.6 2χ－32 χ＝43

一题多解,培养学生的发散性思维

一题多解，培养学生的发散性思维教学不只是继承和吸收前人的知识成果，还必须应用和创新，教师应该把传授知识和培养能力、掌握方法放在同等重要的位置。通过例题示范和习题的一题多解，可以开拓思路，培养学生的发散性思维能力，还可以通过纵横发散，使知识串联、综合沟通，达到举一反三的目的。一、发散性思维的定义发散性思维，又称扩散性思维、辐射性思维、求异思维，是一种从不同的方向、途径和角度去设想，探求多种答案，最终使问题获得圆满解决的思维方法。发散性思维的特点是：充分发挥人的想象力，突破原有的知识圈，从一点向四面八方辐射开，并通过知识、观念的重新组合，寻找更新更多的设想、答案或方法。例如，一题多解、一词多组、一字多意或通过不同方法去探究答案的思维活动。例如，风筝的用途是什么？有人回答：放在空中玩儿、测量风向、当射击靶子。还有人回答：传递军事情报、作联络暗号等等。他们根据不同的想法说出他们各自的答案，这样从不同的角度考虑问题将会促使学生拓展思维，把所学的知识灵活地运用，提高解题能力。二、培养学生一题多解一题多解训练，就是启发和引导学生从不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不同的运算过程去分析、解答同一道数学题的练习活动。教

师在教学活动中做好学生课堂教学的引导者和组织者，在课堂教学中，引导学生从多方面考虑问题，培养学生的一题多解能力，培养学生的发散思维能力，使其养成一个良好的解题方法和思路。 1.启发联想，诱发一题多解联想是由一事物想到另一个事物的思维过程，它是创造性思维的起点。课堂上启发学生展开联想，进行发散性思维，可以帮助学生突破感官时空限制，扩大感知领域，唤起学生对已有知识和经验的回忆，沟通新旧知识之间的联系，达到一题多解，发展学生的思维。例.某厂有工人126人，男女工人之比是5∶4，男工有多少人？读题后，引导学生根据“男女工人数之比是5∶4”展开联想：①男工人数是女工人数的；②女工人数是男工人数的；③男工人数占全厂工人的；④女工人数占全厂工人的；⑤男工人数比女工人数多；⑥女工人数比男工人数少；⑦男工人数占5份，女工人数占4份。这样老师不断地启发、诱发学生，学生的联想越丰富，思路就越宽阔，解题方法也就越新颖、越多样。 2.巧设提问，诱发一题多解学生学习的实质是在教师的启迪下自主探索建构的过程。解题时巧设问题，如“这题还有别的解法吗？”“如果……会怎样？”等势必会扩大学生思考的范围，拓宽学生解决问题的视野，促使学生开动脑筋，更深入地思考，去发现解决问题的新思路、新途径。例.客车和货车同时从甲乙两地相对开出，客车每小时行50千米，货车每小时行40千米，4小时相遇。甲乙两地相距多少千米？

小学应用题和倍差倍问题练习详细讲解

小学应用题和倍差倍问题和倍问题是已知两个数的和与两个数间的倍数关系,求这两个数分别是多少的应用题。要想顺利地解答和倍应用题,最好的方法就是根据题意,画出线段图,使数量关系一目了然,从而正确列式解答。解答和倍问题,关键是找出两数的和以及与其对应的倍数和,从而先求出1倍数,再求出几倍数,数量关系是: 两数和÷(倍数+1)=小数(1倍数) 小数×倍数=大数(几倍数) 两数和一小数=大数已知两个数量的差,与这两个数量之间的倍数关系,求这两个数量各是多少的应用题叫差倍问题解答差倍问题与解答和倍问题常用的分析方法类似,都是要在已知的条件中确定一个数为标准数(即1倍数),再根据其他的数与这个较小数(1倍数)的倍数关系,确定两数的差相当于这样的多少倍(份)即几倍数,就可以求出1倍数(较小数),再算出其他各数。因此,我们仍然可以根据已知条件和问题画线段图使数量关系一日了然,差倍问题的数量关系式是:两数差÷(倍数-1)=小数(1倍数) 小数×倍数=大数(几倍数) 或较小数+差=较大数。例题精讲例1有两个仓库共存货物360吨,已知甲仓库所存货物是乙仓库的2倍,甲、乙两个仓库各存货物多少吨? 分析:根据题中“甲仓库所存货物是乙仓库的2倍”这一条件,确定乙仓库所存货物量为标准数(即1倍数),那么甲仓库所存货物就是2倍数,甲、乙两仓库的倍数和就是(2+1);正好是两仓库所存货物总数即360吨,就可求出1倍数的存货量,用线段图表示为解:(1)甲、乙两个仓库共存货物是乙仓库的多少倍? 2+1=3 2)乙仓库存货物多少吨 360÷3=120(吨) (3)甲仓库存货物多少吨? 120×2=240(吨)或36 240(吨) 综合算式：甲仓库:360÷(2+1)×2=240(吨) 或360-360÷(2+1)=240(吨)乙仓库:360÷(2+1)=120(吨答:甲仓库存货物240吨,乙仓库存货物120吨。方法指导:解这类题的关键是找出1倍数和几倍数,要根据题中“某某是某某的几倍”这句话找出,然后求出它们的倍数和,求出1倍数是多少,再求出几倍数。在这一题中,根据“甲仓库所存货物是乙仓库的2倍”可知乙仓库是1倍数,甲仓库是2倍数,它们的倍数和是3倍数,由“共存货物360吨”可知3倍数就是360吨,可知1倍数是多少吨,从而求出几倍数例2妈妈去水果店买水果,她买的苹果个数是梨的3倍,苹果比梨多18个,苹果和梨各多

一题多解之五种方法解一道经典数学题

1 O B C D ① A 一题多解之五种方法解一道经典数学题江苏海安紫石中学黄本华一题多解是我们学习数学的特好方法！通过一题多解，我们可以多角度、多方位地去思考解题的方案，这样不仅能加强知识间的联系，同时也增添新颖性和趣味性，优化我们的思维结构，提升我们的思维能力。更重要的是，一题多解让我们不仅只满足解题目标的实现，而是让我们拥有了研究学问的态度！例题如图，在平面直角坐标系中，点A (－1，0)，B (0，3)，直线BC 交坐标轴于B ， C 两点，且∠CBA ＝45°.求直线BC 的解析式．【分析】要求BC 解析式，现在已经知道了B 点坐标，所以只要求到C 点坐标就好了。这就要用到条件∠CBA ＝45°。但这个条件如何用呢？这是本题的难点，也是关键点。考虑到这个角是45°，我们可以尝试做垂线，构造等腰直角三角形。如图①，作AD ⊥BC 于D ，由A 、B 的坐标可知1OA =，3OB =，根据勾股定理2 2 10AB OA OB =+=， 5BD AD ==AC x =，则1OC x =+，25DC x =-255BC x =-，在 RT OBC ?中，根据勾股定理得出222OC OB BC +=，即()2 222 13(55)x x ++=-，解得15 2 x =- （舍去），25x =，求得6OC =，得出C （﹣6，0），然后根据待定系数法即可求得BC 的解析式．解法一：如图①，作AD ⊥BC 于D ， ∵点A （﹣1，0），B （0，3）， ∴1OA =，3OB =，∴2 2 10AB OA OB =+=， ∵∠CBA =45°，∴△ABD 是等腰直角三角形， ∴5BD AD == 设AC x =，则1OC x =+， ∴25DC x =-，∴BC=+255BC x = -+，在152 x =- 中，222OC OB BC +=2 ，即()222213(55)x x ++=-），解得x 1=﹣ （舍去），25x =， ∴5AC =，6OC =，∴C （﹣6，0），设直线BC 的解析式为3y kx =+，

例谈高中数学一题多解和一题多变的意义

例谈高中数学一题多解和一题多变的意义摘要：高中数学教学中,用一题多解和一题多变的形式,可以使所学的知识得到活化，融会贯通，而且可以开阔思路，培养学生的发散思维和创新思维能力，从而达到提高学生的学习兴趣，学好数学的效果。关键词：一题多变一题多解创新思维数学效果很大部分的高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、不好学、没兴趣.但由于高考“指挥棒”的作用，又只能硬着头皮学.如何才能学好数学？俗话说“熟能生巧”，很多人认为要学好数学就是要多做.固然，多做题目可以使学生提高成绩，但长期如此，恐怕也会使学生觉得数学越来越枯燥。我觉得要使学生学好数学，首先要提高学生的学习兴趣和数学思维能力。根据高考数学“源于课本，高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径。下面举例说明：例题：已知tanα=43 ,求sinα,cosα的值分析：因为题中有sinα、cosα、tanα，考虑他们之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题：法一根据同角三角函数关系式tanα= 43= α αcos sin ，且sina2α + cos2α =1。两式联立，得出：cos2α=2516,cosα= 5 4 或者 cosα= -54 ；而sinα=53或者sinα=-53 。分析：上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接求解就简洁些：法二 tanα=43 ：α在第一、三象限在第一象限时： cos2α = αα cos sin cos 2 2 2 5+=αtan 2 11+= 2516 cosα=54 sinα=αcos 21-=5 3 而在第三象限时： cosa=- 5 4 sina=- 53 分析：利用比例的性质和同角三角函数关系式，解此题更妙：法三 tanα= 43= αα cos sin ?4cos α= 3sin α ?4cos α= 3sin α= ± 3 4cos sin 2 2 2 2 ++α α ∴sinα=53，cosα= 54 或sinα=-53，cosα=-54 分析：上面从代数法角度解此题，如果单独考虑sinα、cosα、tanα，可用定义来解此题。初中时，三角函数定义是从直角三角形引入的，因此我们可以尝试几何法来解之：法四当α为锐角时，由于 tana=43 ,在直角△ ABC 中，设α=A,a=3x,b=4x ，则勾股定理，得，c=5x sinA=AB BC = 53 ,cosA=AB AC =54 ∴sinα= 53 ，cosα=54

培养学生一题多解的能力

培养学生一题多解的能力青海省大通县斜沟乡中心学校雍存虎一题多解表现了思维的灵活性和广阔性，对沟通知识引起多路思维大有益处。一题多解是数学教学的一种重要方法，是在不改变条件和问题的情况下，让学生多角度、多侧面地进行分析和思考，探求不同的解题思路。在探求的过程中，由于学生思维发散点不同，因而能找出多种解题途径，收到培养求异思维的效果。同时，也是激发学生学习兴趣，调动学生学习积极性的有效方法。进行一题多解训练，通常采用两种方法。一种是先找出常规解法，然后进行发散性思考，探求不同解法。例如：“加工一批零件，甲独做9小时完成，乙独做6小时完成，现在两人合作，完成任务时，甲做了72个，这批零件共有多少个？”按工程问题的常规思路解答可先求出两个合作需要的时间，在求零件总数。另一种是摆出题目后，就直接进行发散，就像上面一题，我们可以从甲的工作量与工作总量关系角度去思考，先求出甲的工作量占总量的几分之几，再求零件总数；我们也可以从甲、乙两人工作量关系或工作效率的倍数关系去思考，先求出甲工作量是乙工作量的几分之几或乙工效是甲工效的几倍，再求零件总数。前种方法属于“同中求异”，后种方法属于“异

中求同”，但两者的目标是一致的，在发散思维的前提下“殊途同归”。另外，这两种训练方法的例题，我们同样可以用代数的方法（即列方程）去思考。不同的解法来源于不同的思路，不同思路又出自不同的分析角度。实践表明：一题多解，可以给学生提供一个灵活运用知识的机会。一题多解训练，就是启发和引导学生从不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不同的运算过程去分析、解答同一道数学题的练习活动。上这种课的主要目的有三条：一是为了充分调动学生思维的积极性，提高他们综合运用已学知识解答数学问题的技能技巧；二是为了锻炼学生思维的灵活性，促进他们长知识、长智慧；三是为了开阔学生的思路，引导学生灵活地掌握知识的纵横联系，培养和发挥学生的创造性。我们知道，一题多解训练的目的，不是单纯地解题，而是为了培养和锻炼学生的思维，发展学生的智力，提高学生的解题能力。所以，在实际训练中，我们不能满足于学生会用几种一般的方法来分析解答应用题。如果只以一般的几种解法为满足，对学生通过多向思维求得的其他解法特别是一些较为复杂的解法不提倡，不鼓励，甚至还挖苦、批评、责备学生，这样就会挫伤学生思维的积极性，影响学生的学习兴趣，不利于培养学生的创造能力。实践证明，学生的解法越多，表明学生的思维越灵活，思路越开阔。学生能够根据题意和数量关系，运用所学习和掌握的知识不拘泥、不守旧，乐于打破一般的框框去进行广阔的思维，十分用心地去探求各种解题方法，就越有利于

一题多解对小学生数学思维的促进作用

一题多解对小学生数学思维的促进作用一题多解对小学生数学思维的促进作用■文/魏成艳在小学数学教学中，教师要注重培养学生的数学思维能力，让他们在分析问题时能从多角度、多层次出发，深刻理解和领悟所学内容，能用多种方法解决问题，促进他们数学思维的深入发展。在进行一题多解的教学中，教师要把学生放到学习主体的位置上，发挥学生的学习主动性，让他们在教师的引导下进行深入思考，通过联想和比较找出解决问题的方法，促进他们数学发散思维的发展，实现高效的课堂教学。一、一题多解拓宽学生的思维面在小学数学教学中让学生运用一题多解的方式进行学习，教师要引导学生从不同的角度对问题进行分析和思考，摆脱定势思维的影响和束缚，找出不同的解决方法。在一题多解教学中，激发学生的好胜心，让他们利用已有知识进行充分探究，找到不同的解决方法。在解题过程中，学生的思维不断深入，让他们从已有的知识中选择有用的信息，顺利解决问题。在数学教学中，教师要加强对学生思维能力的训练，提高学生的思维灵敏性，拓宽他们的思维面，促进数学综合能力的发展。二、一题多解培养学生的创设思维能力随着素质教育的进行，小学生成为了课堂学习的主体，在教学过程中，教师要根据他们的学习情况进行教学设计，发挥学生的学习主动性，让他们通过

积极的思考和分析掌握所学知识，并能用掌握的知识分析和解决问题。在教学改革的进程中，教师要实现高效的课堂教学效率，在激发学生学习兴趣的同时，还要培养他们的创新思维能力。因此，在教学过程中，教师可以采用一题多解的方式来对学生进行思维训练，让他们在用知识的过程中提高思维的灵敏性，加深对知识的理解，能够灵活运用知识分析问题，从多个角度探究问题，找到解决问题的多种方法。在一题多解过程中，学生的创造力得到了充分发挥，他们在学习中能够举一反三，有效提高数学学习能力，促使他们的数学综合素质获得发展，实现高效的课堂教学。三、一题多解促进学生的发散思维在小学数学教学中进行一题多解的思维训练，有助于促进学生发散思维的发展，让他们对题目进行全面分析，从题干中找出有用信息，提高他们的审题能力和解题能力，大大提高学习效率。在进行一题多解的训练时，教师要给学生充足的思考和探究时间，让他们能对问题进行深入分析，从不同的角度找到解决问题的切入点，用多种方法解决问题，促进他们发散思维的发展。在数学教学过程中，教师在引导学生分析问题时，要让他们从各个角度进行大胆尝试，利用知识之间的联系进行分析和思考，通过联想、比较找到解决问题的方法。在培养学生的发散思维时，运用一题多解的方式能够让学生的思维变通性得到发展，让他们的数学思维摆脱定势思维的束缚，促进思维灵活性的发

复杂的比和比例应用题(一题多解) (附答案)

复杂的比和比例应用题例1 一架飞机所带的燃料最多可以用6小时，飞机去时顺风，每小时可以飞行1500千米；飞回时逆风，每小时可以飞行1200千米。这架飞机最多飞出去多少千米就要往回飞？解法1：抓住问题特点，用比例知识解答较简明。飞出和飞回的路程一定，所以飞出和飞回使用时间和其速度成为反比。飞出时间和飞回时间的比：1200：1500=4：5 飞出距离：1500×6× 4000 9 4=（千米）解法2：用工程问题的思路解答。飞出时，每千米用 1500 1小时，飞回时，每千米用1200 1小时，返回1千米用（1500 1+1200 1）小时，返回多少千米用6小时？ 6÷（ 1500 1+ 1200 1）=4000（千米）解法3：列比例解。返回路程一定，速度与时间成反比例。设：飞出x 小时后返回。 1500x=1200（6-x ） X=38 1500×3 8 =4000（千米）解法4：利用时间和为6列方程。设：飞出x 千米后返回。 6 1200 1500 =+ x x X=4000 解法5：先求出平均速度，再求出飞出距离，假设飞出距离为“1” （1+1）÷（ 1500 1+ 1200 1）= 3 4000（千米/小时） 3 4000×（6÷2）=4000（千米）练习： 1，一架飞机所带的燃料最多可以用6小时，飞机去时逆风，每小时飞行600千米；返回时顺风，每小时飞行750千米。这架飞机最多飞出去多少千米就需返航？ 2，小明上学时每分钟走75米，放学时每分钟走90米。这样他上学和放学在路上共用了22分钟。你能求出小明家到学校的路程吗？、 3，甲、乙两人各加工700个零件，甲比乙晚1.5小时开工，结果比乙还提前0.5小时完成。已知甲、乙的工作效率比是7：5，求甲每小时加工零件多少个？

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