极坐标参数方程题型总结

极坐标、参数方程题型总结

一、大纲要求：1. 了解坐标系的作用。了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。

2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化。

3．能在极坐标系中给出简单图形的方程。

4.了解参数方程，了解参数的意义。

5.能选择适当的参数写出直线,圆和圆锥曲线的参数方程。

二基础知识：

1. 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，

则 或 。

2. 若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为

ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r 2＝0.

几个特殊位置的圆的极坐标方程

(1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；

(2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝ ；

(3)当圆心位于M (,)2a π

，半径为a ：ρ＝ .

3. 直线的极坐标方程

若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：

ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．

几个特殊位置的直线的极坐标方程

(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；

(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；

(3)直线过M (b ，π2

)且平行于极轴：ρsin θ＝b . 4. 常见曲线的参数方程的一般形式

（1）圆心在坐标原点，半径为r 圆的参数方程为

圆心在(,)a b ，半径为r 圆的参数方程为：

(2)椭圆的参数方程为：

（3）抛物线y 2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)． （4）在直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)中，

(1)t 的几何意义是什么？

(2)如何利用t 的几何意义求直线上任两点P 1、P 2的距离？

t 表示在直线上过定点P 0(x 0，y 0)与直线上的任一点P (x ，y )构成的有向线段P 0P 的数量．

|P 1P 2|＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2.

5.两个结论：已知点1122(,),(,)A B ρθρθ

（1）ABO S ∆=

（2）||AB =

三、题型归纳

题型一：参数方程化普通方程

例1. 已知直线: t t y t x (.23,211⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=+=为参数), 曲线:1C cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）. （Ⅰ）设 与1C 相交于B A ,两点,求||AB ；

（Ⅱ）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的2

1倍,纵坐标压缩为原来的23倍,得到曲线2C ,设点P 是曲线2C 上的一个动点,求它到直线 的距离的最小值.

解.（I ） 的普通方程为1),1(3C x y -=

的普通方程为.122=+y x 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,

1),1(322y x x y 解得 与1C 的交点为)0,1(A ,)23,21(-B , 则1||=AB .----------5分

（II ）2C 的参数方程为θθθ(.sin 23,cos 21⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧==y x 为参数).故点P 的坐标是)sin 23,cos 21(θθ,从而点P 到直线 的距离是

]2)4

sin(2[432|3sin 23cos 23|+-=--=πθθθd , 由此当1)4

sin(-=-πθ时,d 取得最小值,且最小值为)12(46-.---------10分 训练1. 已知极点与坐标原点O 重合，极轴与x 轴非负半轴重合，M 是曲线C:

ρ=4sin θ上任一点，点P 满足3OP OM =．设点P 的轨迹为曲线Q ．

（1）求曲线Q 的方程； （2）设曲线Q 与直线,:x t l y t a =-⎧⎨=+⎩

（t 为参数）相交于A 、B 两点，且|AB|=4．求实数a ．

（1）设11(,),(,)P x y M x y ，222224sin ,4,(2)4x y y x y ρρθ=∴+=∴+-=，①

3OP OM =,⎩⎨⎧==∴1133y y x x 则111313x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

，代入①整理得，22(6)36x y +-=， ∴ 点P 轨迹方程为22(6)36x y +-=. ……5分

（2）将,(x t t y t a

=-⎧⎨=+⎩为参数)化为普通方程得0x y a +-=，

由（1）知曲线Q 是圆心为(0,6)N ,半径6r =的圆，∴圆心N 到直线l 的距

离d =

∴22262=+,解得2a =-或14. ……10分 2.曲线C ：cos (sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）

曲线D

：2(2

x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）。 （1）指出曲线C 、D 分别是什么曲线？并说明曲线C 与D 公共点人的个数。

（2）若把曲线C 、D 上各点的纵坐标压缩为原来的2

1倍，分别得到曲线C1、D1，请写出曲线C1、D1的参数方程，说明其公共点的个数和曲线C 、D 公共点是否相同？

3.点P 为椭圆C

：4cos (x y θθθ

=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）上一点，若3OP π直线的倾斜角为，求点P 的坐标。

4．若直线340x y m ++=与圆1cos (2sin x y θθθ=+⎧⎨=-+⎩

为参数）没有公共点，则实数m 的范围是 。

5.直线: 1cos (sin x t t y t αα=+⎧⎨=⎩为参数）, 曲线C ：cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩

（θ为参数）. （1）当,3π

α=求：直线: 与曲线C 的交点坐标。