高中数学选修2-1第三章 3.1.5 练习题及答案

高中数学选修2-1第三章3.1.5 练习题
1．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝() A．－1B．1
C．0 D．－2
解析：∵p＝a－b＝(1,0，－1)，
q＝a＋2b－c＝(0,3,1)，
∴p·q＝1×0＋0×3＋1×(－1)＝－1.
答案：A
2．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是() A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
解析：AB＝(3,4，－8)，AC＝(5,1，－7)，
BC＝(2，－3,1)，
∴|AB|＝32＋42＋82＝89，
|AC|＝52＋12＋72＝75，
|BC|＝22＋32＋1＝14，
∴|AC|2＋|BC|2＝75＋14＝89＝|AB|2.
∴△ABC为直角三角形．
答案：C
3．已知a＝(2,0,3)，b＝(4，－2,1)，c＝(－2，x,2)，若(a－b)⊥c，则x等于() A．4 B．－4
C．2 D．－2
解析：∵a－b＝(－2,2,2)，又(a－b)⊥c，
(a－b)·c＝0，即4＋2x＋4＝0.∴x＝－4.
答案：B
4．已知A(1,0,0),B(0，－1,1),O(0,0,0)，OA＋λOB与OB的夹角为120°，则λ的值为
()
A．±
6
6 B.
6
6
C．－
6
6D．±6
解析：∵OA＝(1,0,0)，OB＝(0，－1,1)，
∴OA ＋λOB ＝(1，－λ，λ)，
∴(OA ＋λOB )·
OB ＝λ＋λ＝2λ， |OA ＋λOB |＝1＋λ2＋λ2＝1＋2λ2， |OB |＝ 2. ∴cos 120°＝
2λ2·1＋2λ2
＝－12，∴λ
2＝16. 又
2λ2·1＋2λ2
<0，∴λ＝－6
6.
答案：C
5．已知向量a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，|λa ＋b |＝29，且λ>0，则λ＝________. 解析：a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)， ∴λa ＋b ＝(4,1－λ，λ)．
∵|λa ＋b |＝29，∴16＋(1－λ)2＋λ2＝29. ∴λ2－λ－6＝0.∴λ＝3或λ＝－2. ∵λ>0，∴λ＝3. 答案：3
6．已知3a －2b ＝(－2,0,4)，c ＝(－2,1,2)，a ·c ＝2，|b |＝4，则cos 〈b ，c 〉＝________. 解析：(3a －2b )·c ＝(－2,0,4)·(－2,1,2)＝12， 即3a ·c －2b ·c ＝12. 由a ·c ＝2，得b ·c ＝－3. 又∵|c |＝3，|b |＝4， ∴cos 〈b ，c 〉＝b ·c |b ||c |＝－1
4.
答案：－1
4
7．已知a ＝(x,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，a ∥b ，b ⊥c ，求： (1)a ，b ，c ；
(2)a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值． 解：(1)因为a ∥b ，所以
x －2＝4y ＝1－1
，解得x ＝2，y ＝－4.这时a ＝(2,4,1)，b ＝(－2，－4，－1)，又因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0，即－6＋8－z ＝0，解得z ＝2，
于是c ＝(3，－2,2)．
(2)由(1)得，a ＋c ＝(5,2,3)，b ＋c ＝(1，－6,1)，因此a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值cos θ＝5－12＋338·38
＝－219.
8．已知A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动(O 为坐标原点).当QA ·
QB 取最小值时，求点Q 的坐标．
解：OP ＝(1,1,2)，因为点Q 在直线OP 上，所以OQ 与OP 共线，故可设OQ ＝λOP ＝(λ，λ，2λ)，其中λ为实数，则Q (λ，λ，2λ)，所以QA ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
QB ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
所以QA ·QB ＝(1－λ)·(2－λ)＋(2－λ)·(1－λ)＋(3－2λ)·(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6(λ－
43)2－2
3
. 所以当λ＝4
3时，QA ·
QB 取最小值． 此时Q 点坐标为(43，43，8
3)．。