离散数学(第14章)陈瑜
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陈瑜
Email：chenyu.inbox@gmail.com
2021/3/7
第五部分： 代数结构 第14章 代数系统
2021/3/7
计算机科学与工程学院
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引言
19世纪30年代，在寻找五次方程求解方法的过程中，法 国青年数学家伽罗瓦提出了群的概念，证明了高于四次 的一般代数方程的不可解性，而且还建立了具体数字系 统的代数方程可用根号求解的判别准则，并举出了不能 用根号求解的数字系数代数方程的实例。这样，伽罗瓦 就彻底地解决了这个在长达200多年的时间使不少数学家 伤透脑筋的问题。但是，当时他的思想不被人理解和接 受，直到他去世38年后，他的超越时代的天才思想才逐 步被人们所承认。之所以说伽罗瓦是超越时代的天才， 不仅仅是因为他在方程求解上的贡献，还因为他所发现 的结果，他的奇特思想和巧妙方法，发展成为一门新学 科----抽象代数学。因此，伽罗瓦作为抽象代数（即近代 代数学）的创始人是当之无愧的。
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运算的性质
定义14-1.2：设“·”是一个S上的二元代数运算， 如果:
① 对任意的a, b∈S，都有a·b∈S，则称“·”在S上是 封闭的；
② 对任意的a, b∈S，都有a·b＝b·a,则称“·”在S上是 可交换的，或称满足交换律。
③ 对任意的a, b，c∈S，都有(a·b)·c＝a·(b·c),则称 “·”在S上是可结合的，或称满足结合律。
① 对任意的a, b∈S，都有a·b∈S，则称“·”在S上是 封闭的；
② 对任意的a, b∈S，都有a·b＝b·a,则称“·”在S上是 可交换的，或称满足交换律。
③ 对任意的a, b，c∈S，都有(a·b)·c＝a·(b·c),则称 “·”在S上是可结合的，或称满足结合律。
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④ 对任意的a∈S，满足a·a＝a，则称“·”是幂等的。
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运算的性质
定义14-1.2：设“·”是一个S上的二元代数运算， 如果:
① 对任意的a, b∈S，都有a·b∈S，则称“·”在S上是 封闭的；
② 对任意的a, b∈S，都有a·b＝b·a,则称“·”在S上是 可交换的，或称满足交换律。
③ 对任意的a, b，c∈S，都有(a·b)·c＝a·(b·c),则称 “·”在S上是可结合的，或称满足结合律。
④ 对任意的a∈S，满足a·a＝a，则称“·”是幂等的。
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例2：设A={x｜x=2n，n∈N}， 问<A，*>运 算封闭否，<A，+>，<A，/>呢？ 解： ∀2r、2s∈A， 2r*2s=2r+s∈A （ｒ＋ｓ∈Ｎ） ∴<A，*>运算封闭 2、4∈A，2+4∉A，∴<A，+>运算不封闭 2、4∈A，2/4∉A，∴<A，/>运算不封闭
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主要内容
① 二元运算 ② 代数系统 ③ 特异元 ④ 半群与含幺半群
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代数系统
代数系统又称为代数结构，群、环、域、 格和布尔代数是典型的系统。代数系统理论对 于可计算模型研究、抽象数据结构、形式语言 理论、程序设计语言语义分析等许多方面产生 的影响是深远的。
代数系统理论提供了对各种表面上不同的实 际问题高度抽象的途径，使人们更能把握住事 物的本质，进行形式化的研究，又反过来指导 实践的深入。
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14.1 二元运算及其性质
定义14-1.1：设S是一个非空集合，映射（或函数）f ： Sn→S称为S上的n元代数运算，简称n元运算。当n＝ 1时，称为一元运算；当n＝2时，称为二元运算。
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例2：设A={x｜x=2n，n∈N}， 问<A，*>运 算封闭否，<A，+>，<A，/>呢？ 解： ∀2r、2s∈A， 2r*2s=2r+s∈A （ｒ＋ｓ∈Ｎ） ∴<A，*>运算封闭 2、4∈A，2+4∉A，∴<A，+>运算不封闭 2、4∈A，2/4∉A，∴<A，/>运算不封闭
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运算的性质
定义14-1.2：设“·”是一个S上的二元代数运算， 如果:
① 对任意的a, b∈S，都有a·b∈S，则称“·”在S上是 封闭的；
② 对任意的a, b∈S，都有a·b＝b·a,则称“·”在S上是 可交换的，或称满足交换律。
③ 对任意的a, b，c∈S，都有(a·b)·c＝a·(b·c),则称 “·”在S上是可结合的，或称满足结合律。
代数系统理Biblioteka Baidu提供了对各种表面上不同的实 际问题高度抽象的途径，使人们更能把握住事 物的本质，进行形式化的研究，又反过来指导 实践的深入。
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代数系统
代数系统又称为代数结构，群、环、域、 格和布尔代数是典型的系统。代数系统理论对 于可计算模型研究、抽象数据结构、形式语言 理论、程序设计语言语义分析等许多方面产生 的影响是深远的。
为叙述统一起见，我们采用符号 “·”、“*”表示一 般的二元运算符。其具体意义由上下文确定。在描述 一个二元运算时，有时也采用一个表的形式表示。
本章中除特别声明外所说的运算都指的是二元运算。
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例1：设集合S={a，b，c，d}。在S上定义一个二元运算“ · ”
为叙述统一起见，我们采用符号 “·”、“*”表示一 般的二元运算符。其具体意义由上下文确定。在描述 一个二元运算时，有时也采用一个表的形式表示。
本章中除特别声明外所说的运算都指的是二元运算。
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14.1 二元运算及其性质
定义14-1.1：设S是一个非空集合，映射（或函数）f ： Sn→S称为S上的n元代数运算，简称n元运算。当n＝ 1时，称为一元运算；当n＝2时，称为二元运算。
如下表所示：
·a b c d aaaaa babcd c a c bd dadcb 称这种表为运算表。从运算表看出a·a=a， a·b=a， b·a=a， c·a=a， ……。当集合S所含元素较少时，用运算表的形式定义运 算显得一目了然。
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运算的性质
定义14-1.2：设“·”是一个S上的二元代数运算， 如果:
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第五部分： 代数结构 第14章 代数系统
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引言
19世纪30年代，在寻找五次方程求解方法的过程中，法 国青年数学家伽罗瓦提出了群的概念，证明了高于四次 的一般代数方程的不可解性，而且还建立了具体数字系 统的代数方程可用根号求解的判别准则，并举出了不能 用根号求解的数字系数代数方程的实例。这样，伽罗瓦 就彻底地解决了这个在长达200多年的时间使不少数学家 伤透脑筋的问题。但是，当时他的思想不被人理解和接 受，直到他去世38年后，他的超越时代的天才思想才逐 步被人们所承认。之所以说伽罗瓦是超越时代的天才， 不仅仅是因为他在方程求解上的贡献，还因为他所发现 的结果，他的奇特思想和巧妙方法，发展成为一门新学 科----抽象代数学。因此，伽罗瓦作为抽象代数（即近代 代数学）的创始人是当之无愧的。
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运算的性质
定义14-1.2：设“·”是一个S上的二元代数运算， 如果:
① 对任意的a, b∈S，都有a·b∈S，则称“·”在S上是 封闭的；
② 对任意的a, b∈S，都有a·b＝b·a,则称“·”在S上是 可交换的，或称满足交换律。
③ 对任意的a, b，c∈S，都有(a·b)·c＝a·(b·c),则称 “·”在S上是可结合的，或称满足结合律。
① 对任意的a, b∈S，都有a·b∈S，则称“·”在S上是 封闭的；
② 对任意的a, b∈S，都有a·b＝b·a,则称“·”在S上是 可交换的，或称满足交换律。
③ 对任意的a, b，c∈S，都有(a·b)·c＝a·(b·c),则称 “·”在S上是可结合的，或称满足结合律。
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④ 对任意的a∈S，满足a·a＝a，则称“·”是幂等的。
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运算的性质
定义14-1.2：设“·”是一个S上的二元代数运算， 如果:
① 对任意的a, b∈S，都有a·b∈S，则称“·”在S上是 封闭的；
② 对任意的a, b∈S，都有a·b＝b·a,则称“·”在S上是 可交换的，或称满足交换律。
③ 对任意的a, b，c∈S，都有(a·b)·c＝a·(b·c),则称 “·”在S上是可结合的，或称满足结合律。
④ 对任意的a∈S，满足a·a＝a，则称“·”是幂等的。
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例2：设A={x｜x=2n，n∈N}， 问<A，*>运 算封闭否，<A，+>，<A，/>呢？ 解： ∀2r、2s∈A， 2r*2s=2r+s∈A （ｒ＋ｓ∈Ｎ） ∴<A，*>运算封闭 2、4∈A，2+4∉A，∴<A，+>运算不封闭 2、4∈A，2/4∉A，∴<A，/>运算不封闭
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主要内容
① 二元运算 ② 代数系统 ③ 特异元 ④ 半群与含幺半群
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代数系统
代数系统又称为代数结构，群、环、域、 格和布尔代数是典型的系统。代数系统理论对 于可计算模型研究、抽象数据结构、形式语言 理论、程序设计语言语义分析等许多方面产生 的影响是深远的。
代数系统理论提供了对各种表面上不同的实 际问题高度抽象的途径，使人们更能把握住事 物的本质，进行形式化的研究，又反过来指导 实践的深入。
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14.1 二元运算及其性质
定义14-1.1：设S是一个非空集合，映射（或函数）f ： Sn→S称为S上的n元代数运算，简称n元运算。当n＝ 1时，称为一元运算；当n＝2时，称为二元运算。
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例2：设A={x｜x=2n，n∈N}， 问<A，*>运 算封闭否，<A，+>，<A，/>呢？ 解： ∀2r、2s∈A， 2r*2s=2r+s∈A （ｒ＋ｓ∈Ｎ） ∴<A，*>运算封闭 2、4∈A，2+4∉A，∴<A，+>运算不封闭 2、4∈A，2/4∉A，∴<A，/>运算不封闭
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运算的性质
定义14-1.2：设“·”是一个S上的二元代数运算， 如果:
① 对任意的a, b∈S，都有a·b∈S，则称“·”在S上是 封闭的；
② 对任意的a, b∈S，都有a·b＝b·a,则称“·”在S上是 可交换的，或称满足交换律。
③ 对任意的a, b，c∈S，都有(a·b)·c＝a·(b·c),则称 “·”在S上是可结合的，或称满足结合律。
代数系统理Biblioteka Baidu提供了对各种表面上不同的实 际问题高度抽象的途径，使人们更能把握住事 物的本质，进行形式化的研究，又反过来指导 实践的深入。
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代数系统
代数系统又称为代数结构，群、环、域、 格和布尔代数是典型的系统。代数系统理论对 于可计算模型研究、抽象数据结构、形式语言 理论、程序设计语言语义分析等许多方面产生 的影响是深远的。
为叙述统一起见，我们采用符号 “·”、“*”表示一 般的二元运算符。其具体意义由上下文确定。在描述 一个二元运算时，有时也采用一个表的形式表示。
本章中除特别声明外所说的运算都指的是二元运算。
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例1：设集合S={a，b，c，d}。在S上定义一个二元运算“ · ”
为叙述统一起见，我们采用符号 “·”、“*”表示一 般的二元运算符。其具体意义由上下文确定。在描述 一个二元运算时，有时也采用一个表的形式表示。
本章中除特别声明外所说的运算都指的是二元运算。
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14.1 二元运算及其性质
定义14-1.1：设S是一个非空集合，映射（或函数）f ： Sn→S称为S上的n元代数运算，简称n元运算。当n＝ 1时，称为一元运算；当n＝2时，称为二元运算。
如下表所示：
·a b c d aaaaa babcd c a c bd dadcb 称这种表为运算表。从运算表看出a·a=a， a·b=a， b·a=a， c·a=a， ……。当集合S所含元素较少时，用运算表的形式定义运 算显得一目了然。
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运算的性质
定义14-1.2：设“·”是一个S上的二元代数运算， 如果: