不定积分求解方法及技巧小汇总

不定积分求解方法及技巧小汇总

摘要：总结不定积分基本定义，性质和公式，求不定积分的几种基本方法和技巧，列举个别典型例子，运用技巧解题。

一．不定积分的概念与性质

定义1如果F（x）是区间I上的可导函数，并且对任意的x∈I，有F’(x)=f(x)dx则称F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数。

定理1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上一定有原

函数，即存在可导函数F（x），使得F（x）=f(x)（x∈I）

简单的说就是，连续函数一定有原函数

定理2设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，则

（1）F（x）+C也是f(x)在区间I上的原函数，其中C是任意函数；

（2）f(x)在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数。

定义2设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F（x）+C称为f(x)在区间I上的不定积分，记为⎰f(x)d(x),即⎰f(x)d(x)=F(x)+C

其中记号⎰称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x称为积分变量，C称为积分常数。

性质1设函数f(x)和g(x)存在原函数，则⎰[f(x)±g(x)]dx=⎰f(x)dx±⎰g(x)dx.

性质2设函数f(x)存在原函数，k为非零常数，则⎰kf(x)dx=k⎰f(x)dx.

二．换元积分法的定理

如果不定积分⎰g(x)dx不容易直接求出，但被积函数可分解为g(x)=f[ϕ(x)] ϕ’(x). 做变量代换u=ϕ(x),并注意到ϕ‘（x）dx=dϕ(x),则可将变量x的积分转化成变量u的积

分，于是有⎰g(x)dx=⎰f[ϕ(x)] ϕ’(x)dx=⎰f(u)du.

如果⎰f(u)du可以积出，则不定积分⎰g(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类换

元法。第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分。

定理1 设F(u)是f(u)的一个原函数，u=ϕ(x)可导，则有换元公式

⎰f[ϕ(x)] ϕ’(x)dx=⎰f(u)du=F(u)+C=F[ϕ(x)]+C.

第一类换元法是通过变量代换u=ϕ(x),将积分

⎰

f[ϕ(x) ϕ’(x)dx 化为

⎰

f(u)du.但

有些积分需要用到形如x=ϕ(t)的变量代换，将积分⎰

f(x)dx 化为

⎰

f[ϕ(t)] ϕ’(t).

在求出后一积分之后，再以x=ϕ(t)的反函数t=ϕ1

-(X)带回去，这就是第二类换元法。

即

⎰

f(x)dx={

⎰

f[ϕ(t)] ϕ’(t)dt})(1X t -=ϕ.

为了保证上式成立，除被积函数应存在原函数之外，还应有原函数t=ϕ1

-（x ）存在的条

件，给出下面的定理。

定理2 设x=ϕ(t)是单调，可导的函数，并且ϕ‘（t ）≠0.又设f[ϕ(t)] ϕ’(t)具

有原函数F （t ）,则⎰f(x)dx=⎰f[ϕ(t)] ϕ’(t)dt=F(t)+C=F[ϕ

1

-(x)]+C

其中ϕ

1

-（x ）是x=ϕ（t ）的反函数。

三．常用积分公式 1 基本积分公式 （1）

⎰kdx=kx+C(k 是常数)； （2）

⎰

x u

dx=1

u x 1

u +++C(u ≠-1);

（3）

⎰x dx =ln x +C ； （4）⎰2

x 1dx +=arctanx+C; (5)

⎰2

x

1dx -=arcsinx+C; (6)

⎰cosxdx=sinx+C;

(7) ⎰sinxdx=-cosx+C ; (8)

⎰x

2cos dx =⎰sec 2

xdx=tanx+C; (9)

⎰x

dx 2

sin =⎰csc 2

xdx=-cotx+C; (10) ⎰secxtanxdx=secx+C; (11) ⎰cscxcotxdx=-cscx+C; (12) ⎰e x dx= e x

+C; (13) ⎰a x

dx= e x

+C; (14) ⎰shxdx=chx+C; (15) ⎰chxdx=shx+C. (16) ⎰tanxdx=-ln cosx +C; (17)

⎰

cotxdx=ln sinx +C; (18)

⎰

secxdx=ln tanx secx ++C;

(19)cscxdx=ln x cot cscx -+C; (20)

⎰

2

2x a dx +=a

x x ln a 1+-a

+C;

(21)

⎰22x a dx -=arcsin

a

x

+C; (22) ⎰2

2x a dx +=ln(x+22a x ++C;

(23)

⎰

2

2a x dx -=ln 22a x x -+

+C.

2.凑微分基本类型

四．解不定积分的基本方法

四．求不定积分的方法及技巧小汇总~

1.利用基本公式。（这就不多说了~）

2.第一类换元法。（凑微分）

设f(μ)具有原函数F(μ)。则

C x F x d x f dx x x f +==⋅⎰⎰)]([)()]([)(')]([ϕϕϕϕϕ

其中)(x ϕ可微。

用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：⎰

+-+dx x x x

x )

1(ln )1ln(

【解】)

1(1

111)'ln )1(ln(+-

=-+=

-+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+⎰⎰2

)ln )1(ln(2

1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：⎰

+dx x x x 2

)ln (ln 1

【解】x x x ln 1)'ln (+=

C x x x x x dx dx x x x +-==++⎰⎰ln 1

)ln (ln )1(ln 122

3.第二类换元法：

设)(t x ϕ=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ϕϕϕ又设≠具有原函数，则有换元公式

⎰⎰=dt t t f dx f )(')]([x)(ϕϕ

第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会

用。主要有以下几种：

acht

x t a x t a x a x asht x t a x t a x a x t

a x t a x x a ===-===+==-；；：；；：；：csc sec )3(cot tan )2(cos sin )1(222222