用面积法解决几何问题

用面积法解决几何问题

培养学生解题技巧是提高学生解题能力的重要途径，其中利用面积证明几何题就是几何证明中常用的一种解题方法。

一、运用面积方法证明几何题主要涉及的基础知识：

（1）、三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形的面积公式（公式略）

（2）、全等图形的面积相等

（3）、等底等高的两个三角形面积相等，特别是三角形的中线把原来三角分为面积相等的两个三角形。

（4）、相似三角形（或多边形）面积之比等于它们相似比的平方。

（5）、等底的两个三角形面积之比等于对应高之比。

等高的两个三角形面积之比等于对应边之比。

二、实例证明

例1、如图（图形有两种情况）△ABC 中D 为BC 上任一点，E 为AD 或延长线上一点。

(2)ED

AD EBC =∆∆S S ABC

A

B C

D E D A

C

E

B

证明：（1）、

ADC 等高，△EBD 与△EDC 等高

∴DC

BD EDC E =∆∆S S BD ∴DC

BD ADC ACE ==∆-∆∆∆∆∆EDC EBD -ABD ABE S S S S

S S （2）、

∵△CAD 与△CED 等高，△BAD 与△BED 等高

∴AD CED A =∆∆S D C AD BED BAD =∆∆S

∴

例2、如图梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于M 点，过M 点做AD 的平行线PQ 分别交AB 、CD 于P 、Q 。求证PM=MQ 。

分析PM 、MQ 所在的三角形既不全等又不相似，运用一般方法难以解决，考虑到AD ∥BC ，运用”平行线间距离处处相等”，可得S △ABC =S △DBC ，从而使问题得到

解决。

证明：∵AD ∥BC

∴S △ABC =S △DBC

故S △ABM =S △DCM （等量减等量）

设梯形ABCD 高为h 则

S △ABM =S △APM +S △BPM =2

1h.PM

S △DCM =21

h.QM

∴PM=QM

例3、如图□ABCD 中，E 为AD 上一点，F 为AB 上一点，且BF=DF ，BE 、DF 交于P 点

求证：∠BPC=∠DPC

分析证角相等往往想到利用三角形全等或相似证明，但本题从三角形全等或相似来证明均缺乏条件，而利用面积来证明就比较容易

证明：连接CE 、CF

∵S △BEC =

21S □ABCD S △DFC =21S □

ABCD

D

C E

∴S△DFC=S△DFC

又∵BE=DF 故点C到BE、DF的距离相等，因此点C在∠BPD角平分线上∴∠BPC=∠DPC

从以上几个例题可以看出有些几何题的证明巧用面积转化就比较容易得多。当然，利用面积证明几何题只是其中一种技巧，并不是所有几何题都适应用面积转化证明，而是根据题目的实际而选用适合自己的方法。