2014届高考数学文二轮专题突破：专题一 第5讲导数及其应用

第5讲 导数及其应用

【高考考情解读】 1.本讲主要考查导数的几何意义，导数的四则运算及利用导数研究函数的单调性，求函数的极值、最值等.2.常与直线、圆锥曲线、分式、含参数的一元二次不等式等结合在一起考查，题型多样，属中高档题目．

1．导数的几何意义

函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数值就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，其切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 2．导数与函数单调性的关系

(1)f ′(x )>0是f (x )为增函数的充分不必要条件，如函数f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f ′(x )≥0.

(2)f ′(x )≥0是f (x )为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f ′(x )＝0时，则f (x )为常数，函数不具有单调性． 3．函数的极值与最值

(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题．

(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有．

(3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值．

4．四个易误导数公式及两个常用的运算法则

(1)(sin x )′＝cos x . (2)(cos x )′＝－sin x .

(3)(a x )′＝a x ln a (a >0，且a ≠1)． (4)(log a x )′＝1x ln a (a >0，且a ≠1)．

(5)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (6)⎣⎡

⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )

[g (x )]2

(g (x )≠0)．

考点一 导数几何意义的应用

例1 (1)过点(1,0)作曲线y ＝e x 的切线，则切线方程为________．

(2)(2013·南京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设A 是曲线C 1：y ＝ax 3＋1(a >0)与曲线C 2：x 2＋y 2＝5

2的一个公共点，若C 1在A 处的切线与C 2在A 处的切线互相垂直，则实

数a 的值是________． 答案 (1)e 2x －y －e 2＝0 (2)4

解析 (1)设切点为P (x 0，e x 0)，则切线斜率为e x 0， 切线方程为y －e x 0＝e x 0(x －x 0)，

又切线经过点(1,0)，所以－e x 0＝e x 0(1－x 0)， 解得x 0＝2，切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即e 2x －y －e 2＝0.

(2)设A (x 0，y 0)，则C 1在A 处的切线的斜率为f ′(x 0)＝3ax 20，C 2在A 处的切线的斜率为－

1k OA ＝－x 0

y 0

， 又C 1在A 处的切线与C 2在A 处的切线互相垂直， 所以(－x 0y 0)·3ax 20＝－1，即y 0＝3ax 30， 又ax 30＝y 0－1，所以y 0＝32， 代入C 2：x 2＋y 2＝52，得x 0＝±12

，

将x 0＝±12，y 0＝3

2

代入y ＝ax 3＋1(a >0)，得a ＝4.

(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过

点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点．

(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．

(1)直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ax 2＋2＋ln x 相切于点P (1,4)，则b 的值为( )

A ．3

B ．1

C ．－1

D ．－3

(2)若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π

2

处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 等

于

( )

A ．－2

B ．－1

C ．1

D ．2

答案 (1)C (2)D

解析 (1)由点P (1,4)在曲线上，可得a ×12＋2＋ln 1＝4， 解得a ＝2，故y ＝2x 2＋2＋ln x ．所以y ′＝4x ＋1

x .

所以曲线在点P 处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝4×1＋1

1＝5.

所以切线的方程为y ＝5x ＋b .由点P 在切线上， 得4＝5×1＋b ，解得b ＝－1. (2)f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，f ′(π

2

)＝1，

即函数f (x )＝x sin x ＋1在点x ＝π

2处的切线的斜率是1，

直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率是－a

2，

所以(－a

2)×1＝－1，解得a ＝2.

考点二 利用导数研究函数的性质

例2 (2013·广东)设函数f (x )＝x 3－kx 2＋x (k ∈R )．

(1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；

(2)当k <0时，求函数f (x )在[k ，－k ]上的最小值m 和最大值M . 解 f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1， (1)当k ＝1时，

f ′(x )＝3x 2－2x ＋1＝3⎝⎛⎭⎫x －132＋2

3>0， ∴f (x )在R 上单调递增．

(2)当k <0时，f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1，其图象开口向上，对称轴x ＝k

3，且过(0,1)点．

①当Δ＝4k 2－12＝4(k ＋3)(k －3)≤0， 即－3≤k <0时，

f ′(x )≥0，f (x )在[k ，－k ]上单调递增． ∴m ＝f (x )min ＝f (k )＝k ， M ＝f (x )max ＝f (－k )＝－2k 3－k . ②当Δ＝4k 2－12>0，即k <－3时，

令f ′(x )＝0得x 1＝k ＋k 2－33，x 2＝k －k 2－3

3

，