电磁场理论基础

天线原理无线电物理

原始文稿：P31～P45

理论上对于一个给定的衰减，层的厚度可以任意的薄，甚至只占一个FDTD网格，只要导电率足够大。但是实际的计算表明，界面两侧间太大的导电率变化将引起反射。在实际的计算中，PML层必须包含几个FDTD网格厚度，导电率从界面上的零逐渐增加到最外

。

层的

max

1.5 高频近似方法

前面介绍的矩量法和时域有限差分法都要求电磁场在子域或网格内具有较小的变化，即要求单元的尺寸与波长相比是一个小量。当物体的尺寸远大于波长时，单元数将大大增加，从而得到一个超大型的矩阵，而矩阵的大小受到计算机资源的限制，因此这类方法只适合于处理最大尺寸为几个波长以下的电磁问题，从而将这类方法称为“低频近似”。当频率很高，物理尺寸远大于波长时，必须使用其他的高频近似方法。高频近似法有几何光学法、物理光学法、几何绕射法和物理绕射法。

几何光学法是利用涉嫌描述源的直接入射场和在两个不同媒质分界面上反射和折射（或透射）场的一种方法。几何光学法用射线和射线管的概念解释散射和能量的传播机制，它具有物理概念清晰和计算简单的特点，能准确地计算直射场、反射场和折射场，但它不能分析和计算绕射问题。计算抛物面天线的辐射场时，可先用几何光学法确定其口径场的分布，然后利用等效原理求辐射场。这种方法在抛物面天线方向图的主瓣和近轴幅瓣区域可以得到比较精确的结果，但在远轴幅瓣和后向辐射范围内误差很大。

物理光学法假设散射体表面上的场是几何光学场，用散射体表面的感应电流取代散射体本身作为散射场的源，把散射场表示为散射体表面上感应面电流的积分。物理光学法合理地估计了散射体上的电流，把散射问题变成了一个单纯的辐射问题，从而使问题大为简化，在工程中是一种重要的方法。可用它计算抛物面的远轴幅瓣。在物理光学法中散射体表面的感应电流是用几何光学法确定的，入射场只对散射体的照明面起作用，在阴影面上的入射场为零，散射体上的电流在照明面与阴影面交接处突然中断，这违背电流连续性原理，从而物理光学法近似也不能很好处理绕射问题。

在几何光学近似和物理光学近似方法的基础上发展了几何绕射理论和物理绕射理论。几何绕射理论（GTD，Geometrical Theory of Diffraction）是J.B.Keller在1958年前后提出来的。几何绕射理论把经典的几何光学概念加以推广，系统地引入了一种绕射射线，这种绕射射线产生于散射体表面上几何形状的不连续处以及光滑凸曲面上的掠入射点等。绕射射线的特点是：它不仅能进入几何光学的照明区，也能进入几何光学的阴影区，从而绕射射线能计及几何光学不能存在的阴影区中的场。因此，几何绕射理论克服了几何光学近似在阴影区失效的缺点，同时也改善了照明区种的几何光学解。绕射射线场的初始幅度若能国国绕射系数确定，这和几何光学近似的反射和透射射线场的初始值分别由反射系数和透射系数确定相似。绕射系数可以从一些简单的几何形体的散射问题中求得，这些简单几何形状的散射问题称为典型问题。尽管几何绕射理论目前还不十分完善，但由于它具有物理概念清晰的优点，近年来已经广泛用于求解许多天线的辐射场和许多形状复杂物体的散射场。

因为几何绕射理论是一种射线光学理论，它把辐射和散射物体周围空间分成照明区和阴影区的几何光学阴影边界两侧的过渡区内失效。几何绕射理论的这一缺点已被20世纪70年代发展起来的一致性几何绕射理论（UTD）和一致性渐进理论（UAT）所克服。UTD和UA T在几何光学阴影边界过渡区内有效，而在阴影边界过渡区外则自动地转换为几何绕射理论算式，因此在工程实践中一般都采用UTD和UAT。几何绕射理论和几何光学理论一样都是射线光学理论，正如几何光学理论在其射线的焦散区失效一样，几何绕射理论及其一致性形式的UTD和UA T在绕射射线的焦散区都失效。焦散区的场可以采用等效电磁流法（ECM）来计算。

物理绕射（PTD，Physical Theory of Diffraction）理论是由前苏联学者xxxxxxxxxx提出的，与Keller提出的几何绕射理论的时间几乎相同。物理绕射理论是物理光学理论的进一步发展，在计算物理光学场时，散射体上的感应电流是由几何光学入射场决定的，物理绕射理论在物理光学近似的基础上引入一个由典型问题导出的修正项来加以改善。xxxxxxxxxx把这一修正项称为“不均匀”电流分量。因为PTD不是一种射线的光学理论，所以它在几何光学阴影边界过渡区和射线的焦散区都有效。PTD的主要困难是它的最终积分不容易计算，所以未能像GTD那样得到广泛的应用。尽管如此，PTD在GTD失效的焦散区还是很有用的。

1.5.1 几何绕射理论的基本概念

几何光学理论只研究直射、反射和折射的问题，它不能解释绕射现象。按几何光学理论，阴影区的场应为零，但实际上阴影区的场并不为零，这是由绕射现象造成的。几何绕射理论把几何光学的概念加以推广，引入一种绕射射线计算阴影区的场并消除几何光学阴影边界上的不连续性。绕射射线产生于物体表面上几何特性不连续之处，例如物体的边缘、尖顶和光滑凸曲面上与入射射线相切之点。绕射射线既可以进入照明区，也可以进入阴影区。因为几何光学射线不能进入阴影区，阴影区的场就完全由绕射射线来代表。这样几何绕射理论就克服了几何光学的特点，也改进了照明区的几何光学解。

几何绕射理论认为绕射场是沿绕射射线传播的，这种射线的轨迹可以用广义费马原理确定，即绕射射线也是沿最短路程传播的。离开绕射点后的绕射射线仍遵循几何光学定律，即在绕射射线管中的能量是守恒的，而沿射线路径的相位延迟就等于煤质的波数和距离的乘积。

几何绕射理论的一个重要依据是局部场原理，即在高频近似的情况下，反射和绕射这一类现象只取决于反射点和绕射点领域的电磁特性和几何特性。根据局部场运力可以把形状复杂的散射体看成是一些简单形状结构的组合，总的绕射场由各个局部结构的绕射场叠加。几种典型几何形状包括边缘、尖顶和凸曲面的掠入射点等。

边缘绕射射线与边缘（或边缘切线）的夹角等于行营的入射线与边缘（或边缘的切线）的夹角。入射线与绕射线分别位于绕射点与边缘垂直的平面两侧。一条入射线将激励起无穷多条绕射线，它们都位于一个以绕射点与顶点的圆锥面上。边缘绕射射线所分布的圆锥面通常称为Keller圆锥。圆锥轴就是绕射点的边缘或边缘切线，圆锥的半顶角等于入射线与边缘或边缘切线的夹角。当入射线与边缘垂直时，圆锥面退化为与边缘垂直的平面圆盘，如图1.5.1所示。

尖顶绕射射线时从源点S 经过尖顶D 到达场点P 的射线，如图1.5.2所示。尖顶可以是各种形状的锥体的顶点。由尖顶发出的绕射射线可以向散射体所占的空间以外的任意方向传播，因此一根入射线可以激励起无穷多根尖顶绕射射线，他们将以尖顶为中心向四面八方传播，相应的射线波阵面是以尖顶为中心的球面。可见尖顶绕射场的幅度必定和距离的二次方成反比，所以尖顶绕射场比边缘绕射场衰减的更快。导出尖顶绕射场的渐进表示式是很困难的，在这方面已进行过的工作不多，幸而在大多数情况下尖顶绕射场是可以忽略不计的。

当射线向光滑的理想导电凸曲面掠入射时，它的场将分为两部分：一部分入射能量将按几何光学定律继续沿凸表面的阴影边界直线前进，另一部分能量则沿着物体的表面传播而成为表面射线，如图1.5.3所示。表面射线又称为“爬行波”。表面射线在沿着曲面传播时不断沿曲面的切线方向发出绕射射线。由广义的费马原理可知，对于在散射体阴影区的场点P 而言，入射线和绕射线分别和表面上的1Q 和2Q 点相切，而表面射线则沿1Q 和2Q 两点之间最短路程长波。因为表面射线在曲面上传播时不断沿传播路程的切线方向发出绕射射线，所以它的能量衰减很快，通常是按指数规律衰减的，因此曲面绕射线场也比边缘绕射线场弱。理论上表面射线要环绕封闭曲面而爬行无穷多周，实际上因为它的能量衰减的很快，因此在环绕封闭曲面一周以上的射线可以不予考虑。

1.5.2 几何光学的基本原理

几何光学又成射线光学，它认为在媒质中光是沿射线传播的。光在媒质中走过的路程称为光程，在均匀煤质中定义几何路程l 和媒质的折射率n 之积，在非均匀媒质中从A 点到B 点的总光程定义为积分

B A

ndl ?

。几何光学的基本原理是费马原理：光沿光程为极值的路

径传播。所谓光程为极值，是指它的变分为零。均匀媒质中光沿直线传播就是费马原理的推论。

根据光沿射线传播的理论，电磁波的能量可以看成是在又许多射线组成的射线管内传播的，根据射线管内能量必须守恒的原理可以确定场强在几何空间中变化规律及表示式。考察1.5.4多时的射线管的两个横截面()F o 和()F s ，()F o 的两个主曲率半径为1ρ和2ρ，横截面()F o 和()F s 相距s ，这一射线管的两个横截面的面积之比为 ()()()()

12

12F o F s s s ρρρρ=

++

由能量守恒定律，在()F s 处场强()E s 与()F o 处场强0E 的关系为 ()()

()

2

2

E s

F o F s E =

所以

()

E s E = （1.5.1）

表示射线场在传播时由于能量的扩散而

产生的场强幅度的衰减。

由式（1.5.1）可以看出，当1s ρ=-或2s ρ=-时，射线管的横截面为零，几何光学射线场的幅度变为无穷大。凡射线管的截面积变为零之点轨迹称为焦散。焦散可以是一个点、

一条线或一个面，在焦散上几何光学和几何绕射理论失效。对于从一个点发出的射线构成的射线管，12ρρρ==，于是 ()0

E s E s

ρρ=+ （1.5.2）

此时焦散是一个点，即焦点，波阵面是球面。在二维场问题中，波阵面的一个主曲面半径 变为无穷大，此时 (

)E s E = （1.5.3）

在这种情况下，波的等相面为圆柱面。如果两个主曲率半径都是无穷大，则波的等相面成为平面，此时场是不随距离而变化的常数。在一般的情况下12ρρ≠且都为有限值，此时沿射线传播的波称为像散波。

在电磁场问题中还必须计及射线上各点之间的相位关系，为此区振幅参考面为相位参考面，由波面面元()F o 到波面面元()F s 的相位因子为jks

e -，于是均匀媒质中沿几何光学

射线传播的场的表示式为

()jks s -=E E （1.5.4）

如图1.5.5所示，当一族射线投射到一个理想导电面上时，这些射线在表面上变换为一

族反射射线，在位置矢量r 表示的观察点P 处反射射线几何光学场可表示为 ()

(r r

r

r

jks

R Q -=ΕE （1.5.5）

式（1.5.5）中各符号的上标r 用来表示与反射场有关的量，射线上的参考点R Q 选为曲面上的反射点，1r

ρ，2r

ρ是反射波波阵面的两个主曲率半径，r

s 是沿反射射线从R Q 点到P 点的距离。反射点R Q 的反射场()r R Q E 和入射场()i R Q E 的关系由理想导电面上总切向电场为零的边界条件确定：

()()n 0i r R R Q Q ∧

???+=??E E （1.5.6）

式中n ∧

是R Q 点的面法线单位矢量。由上式可写出如下关系式：

()()r

i

R R Q Q =E R E （1.5.7）

式中R 是R Q 点并矢反射系数，从而式（1.5.5）可以写成 ()()

(r r

r

i

jks

R r Q ρ-=+ΕE R （

1.5.8） 已知入射场后，只要计算出反射系数即可计算出反射场。对于平面发射面反射波和入射波

的方向可以简单的根据反射定律确定，并矢反射系数退化为标量反射系数。

如图1.5.6所示，当一族射线投射到一个理想导电边缘上时，这些射线在边缘变换为一族绕射射线，在观察点P 处绕射射线几何光学场可表示为 ()(0

0d jks

d

d

P P -=Ε

E

（1.5.9） 式中各量的上标d 表示他们是属于绕射射线场的量，00d s P P =，d

E s Q P =。式（1.5.9）和

参考点0P 的位置有关的，为了把()d

P Ε

和边缘绕射点E Q 的入射场联系起来，把图中

0P 移

到边缘绕射点E Q ，即令10d

ρ→，10

lim d

d

s ρ→=，从而 ()()0

1

00lim d d

jks d

d

P P ρ-→?=?Ε （1.5.10） 上式之所以要对

()0d P

取10d ρ→的极限而不是直接令10d ρ=，式因为在绕射点

E Q 的边缘恰好是绕射射线管的焦散线，根据几何光学强度定律，在E Q 的绕射场趋于无穷

大，即10d ρ→

时，()0d

P →∞E ，式（1.5.9()0d P 为有限值。因

为()d

P Ε

应当与0P 无关，所以上述极限存在并可定义为

()()100

lim d

d i E P Q ρ→?=?

ΕD

D 是并矢边缘绕射系数，由上式和式（1.5.9）得

()()(d

d

i jks

E d r P Q s ρρ-=Ε

ΕD

（1.5.10） 式中12120

lim d

d

d

d

c ρρρρρ→=-= （1.5.11） 称为边缘绕射射线的散焦距离。c ρ的计算见附录F 。

求绕射射线场的问题归结为求绕射系数D ，应为高频绕射场在边缘上有一个焦散，在边缘上式（1.5.10）不成立，所在不能像求并矢反射系数那样在E Q 上施加边界条件来求并使绕射系数D 。下面采用本征函数展开法求当一线源照射一理想导电直劈时的总场，并从总场中分离处绕射场，从而求得绕射系数。

理想导电直劈绕射的典型问题的解可以推广到一般曲边缘绕射问题，其根据是高频场的局部性原理。根据这一局部性原理，当任意场向一个有曲边缘的理想导电曲面入射时，从局部看可以认为曲边缘上每一点就像是无穷长直边上一点一样，同时入射场在局部也可以看成是平面波。即可以把曲边缘上每一点看成是一个等效直劈边缘上的一点，此等效直劈由通过曲边缘上的绕射点的切线。利用高频场的局部性原理就可以把直劈绕射场的结果直接应用于曲边缘的绕射问题上。

如果一个源照射曲边缘，则在曲边缘上的媒一点将产生一个绕射射线的圆锥，每一个圆锥的半顶角决定于入射射线与入射点边缘切线的夹角。绕射射线的传播方向则根据入射射线和绕射射线与绕射点边缘切线的夹角必须相等的条件来确定，这一条件的数学形式为 s t =s s i

d

d

∧∧

∧∧ （1.5.12） 式中s i

∧和s d

∧分别为入射线和绕射线的单位矢量，s d

∧为曲面边缘绕射点的切线方向单位矢量。上式即为Keller 的边缘绕射定理。

1.5.3 柱面波入射时理想导电直劈的绕射场

几何绕射理论的基本问题就是要求得到各种典型几何结构的绕射系数，这些典型问题中最基本的理想导电直劈的绕射。下面首先讨论柱面波入射的情况，然后在此基础上导出平面波和球面波入射时的结果。

1． GTD

图1.5.7是一个二维的理想导电直劈。选择圆柱坐标系使劈的边缘与z 轴重合，两个劈 面分别与0?=和

n ?π=两个坐标面重合，因此内劈角()02n ?π=-。设有一z 向单位强度均匀线源位于()'

'

,π

ρ?处，求此导电劈周围空间的电磁场。

当空间存在理想导电劈使，总场由线源所辐射的柱面波入射场和导电劈的散射场两部分组成，它即是存在理想导电劈时的二维标量格林函数，用()

',e h G ρ,ρ表示，下标e ，h 分别表示当线源时电流或者磁流即入射场是TM 波或TE 波的情况，()

',e h G ρ,ρ满足如下二维非齐次亥姆霍兹方程： (

)()()22

'

'

,t e h

k

G δ?+=--ρ,ρρρ （1.5.13）

式中2

2

k ωεμ=。上式在圆柱坐标中的展开式为

()'

22,22

11e h k G δ??ρρρρρ?ρ-???????++=-?? ???????? （1.5.14） ()',e h G ρ,ρ在劈面0?=，n ?π=上分别满足

()

',0e h G =ρ,ρ （Dirichlet 边界条件）

()',0e h G ?

?=?ρ,ρ （Neumann 边界条件）

Dirichlet 边界条件又称软边界条件，Neumann 边界条件又称硬边界条件，软、硬边界条件是声学中的名词。借助这一定义可将,e h G 更一般的表示为下标s ，h 分别对应软、硬件边界条件。由于电场的切向分量和法向分量分别满足软边界条件和硬边界条件，因此在射线基坐标系

①

(),,s ??中，式（1.5.10）可写成分量形式：

()()

00

d

i

d

E s

jks d i

h E E Q E D D E E Q ????-?????=????

????????? （1.5.15） 下面首先求解二维标量格林函数,s h G 的解，然后从中分离处绕射场分量，西哦脑瓜儿求得并使绕射系数的分量,s h D 。设方程（1.5.13）的本征函数解的一般形式为 (

)()()''

'

'

,0

,;,,,s h m

m

m G P ρ?ρ?

??ρρ∞

==Φ∑ （1.5.16）

先研究满足软边界条件的格林函数s G 。为了满足0,n ?π=两个劈面上的边界条件，角本征函数()'

,m

??Φ的形式应当是

()()'

'

,sin m

m

a g v

????Φ=

式中/v m n =。由于方程（1.5.14）右端包含()'

δ??-，由附录D 知

(

)'

'02

sin sin n v v n δ????π

∞

=-=∑

因此可令 ()'

'

2,sin sin m v v n ????π

Φ= 于是

()()'

'

'

'

2

,;,,sin sin s m

m D P v v n ρ?ρ?ρρ??π

∞

==

∑ （1.5.17）

将上式代入式（1.5.14）可得()'

,m

P ρρ的方程：

()()22''2

1,m d d v k P d d ρρρδρρρρρρ????-+=-?? ?????

（1.5.18） ()',m P ρρ应当满足辐射条件0ρ=时场为有限值以及在'ρρ=处场连续的条件，故()',m P ρρ应为如下形式：

()()()()()()()2'''

2'

'

,m v v m m v

v b J k H k P b J k H k ρρρρρρρρρρ

?

>?? （1.5.19）

系数m b 可用如下方法确定：用d ρρ乘式（1.5.18）两边，并从'ρ-?到'

ρ+?积分，再令

0?→，得

()()'''

''1,,m m d d P P d d ρρρρρρρ

+--= （1.5.20） 把式（1.5.19）代入式（1.5.20），得 ()

()()()()(){}2'

2

'

'

'

'

'

'

1

m v v

v

v

b J k H k J k H k k ρρρρρ

-= （1.5.21）

上式大括号中表示式是贝塞尔方程得朗斯基行列式： ()

()()()()()2'

2

'

'

'

'

'

'

2v v

v

v

J k H k J k H k j k ρρρρπρ

-=-

比较上两式，得

2

m b j

π=-

代入式（1.5.19）后再代入（1.5.17），得

()()()()()()()2'''

''2'''

sin sin 2,;,sin sin 2m v v m s m v v m j J k H k v v n D j J k H k v v n ερρ??ρρρ?ρ?ερρ??ρρ∞=∞

=?-??∑∑ （1.5.21）

式中，

1

02

m m m ε=?=?

≠?

用同样的方法可以求得硬边界条件下的二维格林函数

()()()()()()()2'''

''2'''

cos cos 2,;,cos cos 2m v v m h m v v m j J k H k v v n D j J k H k v v n ερρ??ρρρ?ρ?ερρ??ρρ∞=∞

=?-??∑∑ （1.5.22）

把上两式合并，并只取'

ρρ<的解，得

()()()()()()2'

'

'''

,;,cos cos 4s m v v m j D J k H k v v n ρ?ρ?ερρ????∞=??=---+??∑ （1.5.23a ）

()()()()()()2'

'

'''0

,;,cos cos 4h m v v m j D J k H k v v n ρ?ρ?ερρ????∞=??=--++??∑ （1.5.23b ） 式中，'

0,,0n ??πρρ≤≤≤≤<∞。

如果线源是电流I ，则由式（1.5.38）可知z 向总电场为

z s E j IG ωμ=- （1.5.24） 如果线源是磁流M ，则由式（1.5.38）可知z 向总磁场为

z h H j MG ωε=- （1.5.25） 因为格林函数的解式（1.5.23）表示的是总场，为了秋初绕射系数，必须采用最陡下降法把它分解成入射场、反射场和绕射场。详细推导见附录C ，其中绕射场分量为

(

)'

22

cot cot 22jk j

j d s

G e e n n ρρπ

πβπβπ-+---??????+-?

≈+? ? ???????

2

2

cot cot 22j j e e n n π

πβπβπ++-??????+-??

-+??

? ?????????

（1.5.26a ） (

)'

22

cot cot 22jk j

j d h G e e n n ρρπ

πβπβπ-+---?

?????+-?

≈+? ? ???????

2

2

cot cot 22j j e e n n ππβπβπ++-??????+-??

++??

? ?????????

（1.5.26b ） 式中'β??=，利用三角恒等式

()()2sin 2cot cot cos 2cos 2x x y x y x y

-++-=-

对式（1.5.26）进行变换，得

(

)'

11sin sin cos cos cos cos jk d

s n n n n G n n n n ρρππ

πβπβ-+-+

??

?

??

≈

-??--??

（1.5.27a ） (

)'

11sin sin cos cos cos cos jk d

h n n n n G n n n n ρρππ

πβπβ-+-

+

??

?

??

≈

+???--??

（1.5.27b ） 另一方面，绕射场可以用入射场和绕射场系数写成 ρ

ρ

jk s

i

d

s

e D u G -≈

ρ

ρ

jk h

i

d h

e D u G -≈

式中s D 和h D 对应于劈面上两类边界条件时的劈绕射系数，

因子jk e ρ-并向正∧

ρ 方向传播的绕射射线的振幅变化和相位变化。当'

k ρ很大时，在劈边缘上的入射场'

u 为

(

)'(2)'04jk j u H k ρ

ρ-=-

≈ 因此当'

k ρ很大时，绕射场可以写为

'

jk jk d

jk s

s

s G u D D ρ

ρρ---??=≈????

（1.5.28a ）

'

jk jk d

jk h

h

h G u D D ρ

ρρ---??=≈????

（1.5.28b ） 比较式（1.5.27）和式（1.5.28），即可得到绕射系数

4''11sin sin cos cos cos cos j

s n n n n D n n n n π

ππ

π??π??-?????≈-?-+?--???

（1.5.29a ）

4''11sin sin cos cos cos cos j

h n n n n D n n n n π

ππ

π??π??-?????≈+?-+?--???

（1.5.29b ）

2． UTD

式（1.5.26）在

2nN πρπ+

±

-= （1.5.30a ） 2nN πρπ-

±

-=- （1.5.30b ） 时变为无穷大。从下面的讨论可知，满足方程（1.5.30）的?实际对应入射阴影边界和反射阴影边界，显然此绕射系数在入射和反射阴影边界上失效。因此在入射和反射阴影边界附近的一个小区域中，式（1.5.29）的绕射系数不适用，这个区域称为过渡区。在过渡区中式（1.5.23）的计算必须采用变形最陡下降法（参见附录A ），其结果实际上只需在最陡下降法的结果式（1.5.26）之上乘以一个过渡系数：

(

)()()'

2

2cot cot 22jk j

j d s

G e F a e F a n n ρρπ

πβπβπκβκβ-+---+---

?

?????+-????≈+? ?

??????????

()()2

2cot cot 22j j e F a e F a n n

ππβπβπκβκβ++-++-+

???????+-?????-+???

? ????????

???

??

（1.5.31a ） (

)()()'

2

2cot cot 22jk j

j d

h

G e F a e F a n

n ρρπ

πβπβπκβκβ-+-

-

-+---

?

?????+-????≈+? ?

??????????

()()2

2cot cot 22j j e F a e F a n n

ππ

βπβπκβκβ++-++-+

???????+-?????++???

? ????????

?????

（1.5.31b ） 上式式绕射场的一致性渐进（UTD ）表示式。在越过入射和发射阴影边界式，绕射场的不

连续变化恰好补偿了几何光学场的不连续，从而使总场处处连续。在过渡区之外，过渡函数()1F a κρ→????，UTD 表示式（1.5.31）蜕化为GTD 表示式（1.5.26）。和前面的一样，可把该绕射场用绕射系数表示为式（1.5.28）的形式，绕射系数为

()()()(){},,s D d

n F a d n F a βκββκβ+

-

+

-

-

-

-

-

????=+????

()()()(){},,d n F a d n F a βκββκβ+

+

+

+

-

+

-

+

????-+????

（1.5.32a ）

()()()(){},,h D d

n F a d n F a βκββκβ+

-

+

-

-

-

-

-

????=+????

()()()(){},,d n F a d n F a βκββκβ+

+

+

+

-

+

-

+

????++????

（1.5.32b ）

式中，

'β?

?= （1.5.33）

(

)4,2j

d n n π

πβ

β-±

±= （1.5.34） ()

()

22j a jt F a

dt κβκβ±∞

±

-??=?? （1.5.35）

'

'k ρρκρρ=+

()()2

21cos 22cos 2nN a nN πβ

ββπ±±

±

??

-=+-+=

??

?

（1.5.36） ()F a κβ±

????称为过渡函数，式中平方根只取正支，可以看作是在入射阴影边界（SB ）和

反射阴影（RB ）附近的校正因子。()a

β±

为表征场点与SB 和RB 角度差的一个参量，其

上表“±”和式（1.5.30）中的 相对应。关于N ±

的取值见下面的讨论。当场点在SB 或RB 上时()0a

β±

=，过渡函数()0F a κβ±

??=??，此时虽然余切函数为无穷大，但它们的乘积

仍为有限值，可见式（1.5.31）在阴影边界成立。

在阴影边界上，式（1.5.30）严格成立，在阴影边界之外，式（1.5.30）不成立，此时N

±

取满足方程（1.5.30）中的 最小整数，对12n <≤的外尖劈绕射情况，0N +

=或1，

1,0N -=-或1，其具体的取值视场点靠近SB 或RB 而定。而确定SB 和RB 则要根据 的

大小。如图1.5.8所示，图（a ）和（b ）对应0?=面照明情况，图（c ）和（d ）对应n ?π=面照明情况，可见两种情况下SB 和RB 的'

β??=±不一样。式（1.5.31）中的四项，在SB 和RB 处必有一个余切为无穷大，此处对应的N ±

列表为表1－1中。

表

1－1 余切无穷大处对应的

由上表可见，式（1.5.31）中室友一项在边界上为奇点，其他三项为有界。在取奇点的边界附近ε角度处有

()2nN βπ

πε±±=-

利用过渡函数()F x 的小变量渐进式可以证明

()()44cot 22j j F a n e e n πππβκβεκε±±

???±??≈-?????

???

（1.5.37） 由于()sgn ε在边界两边不连续，上式在两边有限但不连续，此不连续性补偿了边界两边入射或反射场的不连续性。

若2n =，劈变为半平面，由上面的分析可知只有0N ±

=，式（1.5.36）成为 ()()22cos 2a a βββ±

??

==

???

（1.5.38）

从而

()()()2s i n c o t c o t 22cos cos n F a F a F a n n n n ππβπβκβκβκββπ??

?

+-??????+=????????????????????????- ? ?

????

()2c o s 2F a κββ????=

??

???

绕射系数式（1.5.32）可简化为

()()

4

cos cos

22

j

s

F a F a

D

π

κβκβ

ββ

-+

-+

??

??

?????

????

=-

??

?????

? ?

??

????

??

（1.5.39a）

()()

4

cos cos

22

j

h

F a F a

D

π

κβκβ

ββ

-+

-+

??

??

?????

????

=+

??

?????

? ?

??

????

??

（1.5.39b）掠入射时，''

0,

?β???

===，由上式可见0

s

D=。而

h

D的值必须乘以1/2，因为此时入射射线和反射射线重合，传播到劈边缘的总场一半是入射场，一半是劈面的反

射场，若把总场仍视为入射场，则

h

D的值必须乘以1/2。

1.5.4 平面波和柱面波入射时的理想导电直劈的绕射场

上节讨论了线源入射时理想导电直劈的绕射问题。如果把照射理想导电直劈的线源移到无限远处，则入射波就变成了平面波，因此，只要令柱面波入射时导电劈电磁场的格林函数中的'ρ→∞，此时

'

'

k

k

ρρ

κρ

ρρ

=→

+

，便得到平面波入射时劈绕射场的结果。绕射系

数仍用式（1.5.32）计算。

对于球面波入射的情况，必须求解三维非齐次亥姆霍兹方程：

()()()

22

,s h

k Gδ

?+=--

''

r,r r r（1.5.40）这一三维问题可以通过对z的傅立叶变换转换为像函数G的二维问题，利用前面的结果可

以得到的G解，通过傅立叶逆变换即可得到方程（1.5.40）的解，然后用同样的方法分离出绕射场即可求得相应的绕射系数。详细分析从略，其结果为：当入射角为零（垂直入射）时，所有的公式与式（1.5.32）～式（1.5.36）完全相同，只不过用三维空间的距离r代替二位空间的距离ρ，即

'

'

rr

k

r r

κ=

+

。对于斜入射，若入射线与边缘夹角为?，则

'

2

'

s i n

k r r

r r

κ?

=

+

，而绕射系数只需对（1.5.32）的结果除以sin?。

1.5.5 等效电磁流法

从1.5.1节的讨论知，当观察点的绕射场来自边缘上许多点的绕射作用的总和时，观察

点就成为焦散。例如当抛物面被置于其焦点的馈射照射时，抛物面边缘各元段产生的绕射射线将在抛物面的轴线上相交而形成焦散。在焦散点射线管的横截面为零，几何光学射线场的幅度变为无穷大，因此几何光学和几何绕射理论失效。为零计算家散去的场，可以使用等效电磁流法。等效电磁流法的基本思想是：利用几何绕射理论计算在焦散区之外但和焦散在同一Keller 圆锥上的点的边缘绕射场，根据等效原理，可以认为这绕射场是由边缘上的等效电磁流产生的，由此求得等效电磁流，然后再利用等效电磁流计算焦散区辐射场。 首先计算图1.5.9（a ）中无限长理想导电直劈的等效电磁流，即确定位于二维理想导电直劈边缘上（劈不存在时）能产生和劈的边缘绕射场相同的辐射场的电流或磁流密度。利用傅立叶变换法（参见附录G ）可以求得无限长z 向电流源z I 的远区辐射电场：

0t z jk jk z s

t z

E k I ρ

θη--= （1.5.41）

根据二重性原理，可以求得无限长z 向电流源z M 的远区辐射磁场：

t z jk jk z s

H ρ

θ--=

（1.5.42）

式中，0η为自由空间波阻抗，sin ,cos ,sin ,cos t z k k k s z s ??ρ??====。辐射场与线源平行的分量即z 分量为

sin jks

s z

z

E E I θ?η?-=-= （1.5.43）

sin jks

s z

z

H E M θ??-== （1.5.44） 另一方面，当d

c s

ρ时，由二维理想导电直劈的绕射场式（1.5.15）得

()(

'

,;jks

d

i z

z

s E E Q D ???-= （1.5.45）

()(

'

,;jks

d i z

z

h H H Q D ???-=- （1.5.46）

令式（1.5.43）和（1.5.45）相等，式（1.5.44）和（1.5.46）相等，得

()',;z s I D ???=

（1.5.47）

()',;z h M η???= （1.5.48）

上面两式就是理想导电直劈边缘绕射场的等效电流和等效磁流公式。显然，对于软边界条件下的直劈绕射问题应当采用等效电流，对于硬边界条件下的直劈绕射应当采用等效磁流。

根据高频场的局部性原理可以把直劈的等效电磁流概念推广到一般曲边缘：

()',;l s I D ???=

（1.5.49）

()',;l h M η???= （1.5.50）

式中∧

l 为绕射点曲边缘的切线方向单位矢量。这些等效电磁流的远区辐射场与边缘绕射场相等，借此可以正确地计算出焦散区的场。

根据前面的推导不难看出，上面的等效电磁流只定义于位于边缘绕射射线的Keller 圆锥上的场点。为了扩展等效电磁流的定义，引入另一绕射角??≠，并将l I 和l M 公式中的

sin ?

①射线基坐标系是固定在射线上的以绕射线点为中心的一种球坐标系，如右图所示。固定在入射射线上的坐标（,,s ??∧∧∧

），固定在绕射射线上的坐标为（'

'

'

,,s ??∧

∧

∧

）。'

??∧

∧

=分别为

入射角和绕射角，'

?∧

和?∧

分别为入射射线和绕射射线的方位角，'

s ∧和s ∧

分别为源点和场点与绕射点之间的距离。

入射线和劈边缘构成的平面称为入射面，绕射线和劈边缘构成的拼命称为绕射面。显

然'

?∧

和?∧

分别与入射平面和绕射平面平行，'

?∧

和?∧

分别与入射平面和绕射平面垂直。如果把入射场分解为与入射平面平行和垂直的两个分量，把绕射场分解为与绕射平面平行和垂直的两个分量，则并使绕射系数在射线基坐标系中的表示式为'

'

s h D D ????∧∧∧∧=+D ，可以表示成一个22?的对角矩阵。