基于偶应力理论和表面弹性理论的梁理论

第39卷第1期辽宁工业大学学报(自然科学版)V ol.39, No.1 2019年2月Journal of Liaoning University of Technology(Natural Science Edition)Feb. 2019

收稿日期：2018-10-12

基金项目：机械结构力学及控制国家重点实验室开放基金(MCMS-0217G02) 作者简介：王伟涛(1994-)，男，浙江台州人，硕士生。

卿 海(1979-)，男，江苏南京人，教授，博士。

优先出版地址：/kcms/detail/21.1567.T.20181212.1551.004.html DOI:10.15916/j.issn1674-3261.2019.01.015

基于偶应力理论和表面弹性理论的梁理论

王伟涛，卿 海

（南京航空航天大学，机械结构力学及控制国家重点实验室，江苏南京210016）

摘 要：随着微结构的特征尺寸减小力学性能将会随着尺寸的改变而改变。使用修正后的偶应力理论以及表面弹性理论提出了一种新的正弦剪切变形梁模型。控制方程、初始条件以及边界条件可以通过汉密尔顿准则推导得到。首先用Navier方法求出两端简支微梁在静力弯曲下的解析解。然后用微分求积法求出两端简支微梁在静力弯曲下的数值解。将两者相比较以验证微分求积法的准确性。再用微分求积法来研究不同边界条件对尺度效应的影响。结果表明微尺度梁表现出与宏观梁完全相反的材料特性，具有尺度效应。梁的尺寸大小以及表面层的厚度决定了尺度效应的程度。

关键词：表面能；汉密尔顿准则；修正后偶应力理论；微分求积法

中图分类号：O343 文献标识码：A文章编号：1674-3261(2019)01-0063-05

Modified Beam Theory Based on Couple Stress

and Surface Elasticity Theories

W ANG Wei-tao, QING Hai

（Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, State Key Laboratory of Mechanical Structure Mechanics and Control, Nanjing 210026, China）Abstract:As the feature size of the microstructure decreases, the mechanical properties will change as the size changes. In this paper, a new sinusoidal beam model incorporating both microstructure theory and the surface energy effects is developed by using a modified couple stress theory and the surface elasticity theory. Governing equations, initial conditions and boundary conditions are derived by using Hamilton’s principle. The static bending problem of a simply supported micro scale beam is solved by analytical solution called Navier solution. The differential quadrature element method is used to numerically solve the static bending problems of a simply supported micro scale beam. Then the results of Navier method are compared with differential quadrature element method to verify the validity of differential quadrature element method. The differential element quadrature element method is used to numerically solve the static bending problems of a micro scale beam in different boundary conditions.The results show that the micro-scale beam exhibits completely opposite material properties to the macro-beam and has a scale effect.The size of the beam and the thickness of the surface layer determine how the scale effect behaves.

Key words:surface energy; Hamilton’s principle; modified couple stress theory; differential quadrature element method

小型结构单元比如梁，板和壳通常用作微米和纳米尺寸机电系统（MEMS和NEMS），传感器，执行器和原子力显微镜的组件。实验表明这种微尺度结构在力学行为上存在尺度效应。由于对微尺度

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结构进行实验研究性能比较困难，通常用数值计算方法或者解析方法进行对微尺度效应的研究。因此，高阶连续介质力学方法被广泛应用于微尺度结构建模。高阶连续理论的发展可以的追溯到19世纪Piola [1-2]最早的作品和Cosserat 在1909年的工作。然而，直到20世纪60年代，Cosserat 兄弟的想法已经受到研究人员的广泛关注，并且发展出了许多高阶连续理论。一般来说，这些理论可以分为三种不同理论即应变梯度理论[3-4]，偶应力理论[5-6]和非局部弹性理论[7-8]。

使用修正后的偶应力理论，Park 和Gao [9]利用最小势能原理下的变分原理研究了欧拉-伯努利悬臂梁的静态弯曲。Kong 等人[10]应用了修正后的偶应力理论和汉密尔顿准则推导出了两端简支以及悬臂的欧拉-伯努利梁在自由振动下的控制方程、边界条件以及初始条件。基于应变梯度理论以及变分原理，Kahrobaiyan [11]等人基于尺度效应提出了功能梯度欧拉-伯努利梁模型。通过修正后的应变梯度弹性理论，Liang 等人[12]基于汉密尔顿准则推导出了欧拉-伯努利梁的欧拉-拉格朗日方程以及相应的边界条件。Nguyen [13]等人提出了用非局部欧拉伯努利梁模型求解不同边界下的功能梯度梁的静弯曲分析的解析解。 表面能效应在研究微尺度效应上也十分重要。Gurtin 和 Murdoch [14-15]首先提出了用基于薄膜理论的表面能效应研究界面的数学框架。存在表面应力的界面被用薄膜来模拟，这种薄层只能承受面内应力，而没有弯曲刚度。在过去的10年里，这个理论已经受到重大的关注，并已针对纳米固体或结构做了许多研究。本文使用修正后的偶应力理论以及表面弹性理论提出了一种新的正弦剪切变形梁模型。这种梁模型可以描述微尺度效应以及表面能效应。控制方程、初始条件以及边界条件可以通过汉密尔顿准则推导得到。首先用Navier 方法求出两端简支微梁在静力弯曲下的解析解。然后用基于赫米特插值法的微分求积法求出两端简支微梁在静力弯曲下的数值解。将两者相比较以验证微分求积法的准确性。再用微分求积法来研究不同边界条件对尺度效应的影响。

1 公式推导

在修正后偶应力理论中，材料的应变能密度不仅与应变张量ij ε相关，还和对称旋转梯度张量ij χ有关。对称旋转梯度张量ij χ定义为

,,1()2

ij i j j i χθθ=

+ (1)

其中，i θ为旋转张量，并且定义为

,1

2

i ijk k j e u θ= (2)

基于修正后偶应力理论，本构关系可以表示为

222ij kk ij ij

ij ij m l σλεδμεμχ=+= (3)

其中，ij σ为应力张量，ij m 为高阶应力张量。λ为体积模量，μ为剪切模量，l 为材料内禀特征尺度常数。

基于Gurtin-Murdoch 的表面弹性理论，表面层的本构关系可以表示为：

,,,,33,[()]()()s s s s s

s s s s s u u u u n u αβγγαββααβαβαα

τττλδμττττ=+++

-++= (4)

其中，s λ为表面体积模量，s μ为表面剪切模量，s τ为表面残余应力，根据Wang 和Feng [16]的假设以及杨-拉普拉斯方程，可以得到梁内部和表面之间的应力变化关系：

33333

330s

s s s n u αασττστ''-=-= (5)

根据正弦剪切变形理论的基本假设，图1中梁的位移场可以表示为如下形式：

0s 123π()-z+cos(π()0

()()ha z u x,t w h u x,t u x,t w x,t ⎧⎡⎤'=⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪

=⎨⎪=⎪⎪⎩

τμ (6)

图1 微梁模型

在该正弦剪切变形梁模型中，梁表面膜的厚度为s h ，并且令01/s a h =。可以计算得出非零应变分量为：

0s 110s 13π-z+cos(πsin()ha z w h a z w h τεμπτγμ⎧⎡⎤''=⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎨

⎪'=⎪⎩ (7) 根据式(3)，梁内的应力张量可以表示为

s 0s 111313s 0πsin()π(2)z +cos()π(1)πsin()z w ha z h w h z

a w h νττσλμμνσμγτ⎧

''⎪⎡⎤''=-++⎪⎢⎥-⎣⎦⎨

⎪'

⎪==⎩

(8)

非零旋转梯度张量可以由式(1)计算得到