向量的点积与叉积

2020年5月7日星期四
17
例
11
已知[abc]
2，计算[(a
b)
(b
c)]
(c
a)。
解：
[(a
b)
(b
c)]
(c
a)
[a
b
a
c
b
b
b
c)]
(c
a)
(a
b)
c
(a
c)
c
0
c
(b
c)
c
(a
b)
0
a (a
c)
a
0
a(b0
c)
a
0
0
2(a
b)
c
2[abc]
4.
(ar
r b)
| a b|等于a和b所决定
的平行四边形的面积 S。
r
b
S
ar
r b
ar
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8
向量积的性质：
(1)
ar
ar
r 0
( 0 sin 0)
(2)
a//
b
ar
r b
r 0
rr
a b
ax ay az bx by bz
rr rr r r r (3) i i j j k k 0 ;
rr rr r rrr r i j k, j k i , k i j; rr r r r rr r r j i k, k j i , i k j
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9
向量积满足下列运算规律
（1）
r a
r b
r b
r a
（2）
(ar
r b)
cr
ar
cr
r b
cr
（3）
( ar
)
6、两向量的外积为零的充分必要条件是至少其中有一
个向量为____________，或它们互相______；
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78、、设设则aaaaab2=bb2i3=i==__3_____jj________，k2__k_,,_b，_，b(cio2sai()ja,32bb3j)k==和k_c___,____i____2__,j_,_则_ ；
c
c
x
i
c
y
j
cz
k,
rrr
r r r ax ay az
[a b c ] (a b ) c bx by bz
cx cy cz
利用行列式的行交换性质可得：
[ar
r b
cr]
(ar
r b)
cr
(cr
ar
)
r b
r (b
cr)
ar
轮换
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例10 已知四面体四个顶点的坐标为 A(x1,y1,z1)、
平面。
uuur ur OA, F
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7
定义
两个向量a与b的向量积为：cr
ar
r b
cr
ar
r b
模：
| cr |
ar
r b
|
ar
||
r b
|
sin
ar,
r b
cr
ar
,
r b 所定的平面。
方向：
依ar,
r b,
cr序成右手系。
向量积也称为“叉积”、“外积”。
几何解释：
cr
ar
r b
C(1,3,-1)，求 AC 边上的高BD。
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12
例8 设向量m, n, p两两垂直，符合右手规则，且 | m | 4，| n| 2，| p| 3，计算(m n) p。
ur r ur ur r ur
ur r ur
解： (m n) p | m n || p | cos m n, p
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3
数量积的坐标表示：
r a
r b
|
r a
r
||
r
rb
|
cosr
r a,
r
r b
|
a
|
(bar
)
b
(ar b
)
设
a
ax
i
a
y
j
az
k,
b bxi by j bzk
rr
a b (axi ay j azk ) (bxi by j bzk )
cos
ax
rr a,b
bx
ay
r a r
byr br
a z bz
| a || b |
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axbx a yby azbz
ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz2
4
r bar
Pr
r jarb
ar
r b
ar
axbx a yby ax2 ay2
a z bz az2
r ar
c)a
c]
0
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5
例
2
已知a
{1,1,4}，b
{1,2,2}，求：
（1）a与b的夹角；（2）a在
b 上的投影。
解： (1) 3 ;
4
(2)
Pr
r jba
3
例3 证明三角函数的余弦定理： c2 a2 b2 2ab cos
证明： 如图
A
c
b
B
a
C
r r r ur 例4 在xoy平面上，求一单位向量，使它与 a i j k 垂直。
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6
二、两向量的向量积
支点O
力臂l
ur 力F
A作用点
支点O
力臂l
A作用点
ur 力F
uur 方向：向外（拧松） 向内（拧紧）
力矩 M
uur ur ur uuur ur uuur
大小：M F l F OA sin F ,OA
方向总是依
OuuAur成, 右Fur手, uM系ur，且垂直于
2020年5月7日星期四
高等数学
北京工商大学 杨益民
1
第二节 数量积、向量积与混合积
一、两向量的数量积
引例：求质点在常力F 作用
ur
F
下，沿直线从点 A 移动到点
B 所作的功？
A
B
ur uuur ur uuur
ur uuur
W
F
uuur AB
AB
F AB cos F , AB
定义
ar
r b
cr
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18
作业：习题8－1 17，18，19
作业：习题8－2 1，3，7，9，10，12
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19
思考题
已知向量a
0 ，b
0，
证明|
a
b |2
|
a |2 |
b |2
(a
b)2.
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20
思考题解答
|
a
b |2
|
a|2
来自百度文库
|
b |2
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23
练习题答案
一、14、 、以 3a0,；b,
2、3； 3、平行四边形的面积；
c为邻边的平行六面体的体积；
5、零向量,垂直；
6、零向量,平行；
7、3,5i j 7k ,18,10i 2 j 14k ,
3
；
2 21
8、 8 j 24k , j k ,2.
二、 3 . 2
b
Pr
r jra
b
ar
r b
r
b
axbx a yby bx2 by2
azbz bz2
r r rr a b a b 0 axbx ayby azbz 0
例1
证明c与(a
c)b
(b
c)a垂直。
证明：
[(a
c)b
(b
c)a]
c
[(a
c)b
(b
c)a]c
[(a
c)b
c
(b
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11
例
5
求同时垂直a
3i
2
j
4k ，b
i
j
2k
的单位向量。
例 6 已知△ABC 顶点坐标为 A(1,2,3)、B(3,4,5)、
C(2,4,7)，求△ABC 的面积。
解：
1 uuur uuur
SVABC 2 AB AC
例 7 已知△ABC 顶点坐标为 A(1,-1,2)、B(5,-6,2)、
)
(3)
ar
r b
r b
ar
(4)
r a
r (b
r c)
r a
r b
r a
r c;
r (a
r b)
r c
r a
r c
r b
r c
证明（第一个等式）
(5)
( ar )
r b
ar
(
r b)
(ar
r b );
(
ar)
r
(b)
(ar
r b)
证明（第一个等式）
r r r r r ur
r 2 r 2 ur 2
(6) i j i j j k 0, i j k 1
ur r ur | m n || p | cos 0o
ur r ur r
ur r
m n m n sin m, n 4 21 8
ur r ur (m n) p 8 31 24
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13
例9 设
ar
r b
r b
cr
则cr
ar共面0r。,
ar,
r b,
cr
证法一： 证法二：
r b
ar
r
( b )
(ar
r b)
向量积的坐标表达式
设
a
a
x
i
a
y
j
az
k,
b bxi by j bzk
a
b
(a
x
i
a
y
j
az
k)
(bx
i
by
j
bz
k)
r
r
r
(aybz azby ) i (azbx axbz ) j (axby aybx )k
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B(x2,y2,z2)、C(x3,y3,z3)、D(x4,y4,z4), 求四面体的体积。
解:
V
1
uuur uuur uuur [AB AC AD]
6
D
1 x2 x1 y2 y1 z2 z1
6
x3 x1
y3 y1
z3 z1
A
x4 x1 y4 y1 z4 z1
C B
注意：双重符号|| ||，第一重表示行列式，第二重表示取绝对值。
aarrbbrr
r b r c
crr b
cr ar ar cr
r 0
(ar
cr)
r b
ar
cr
r b
ar
cr
,
又
ar ar cr , cr ar cr
ar,
r b,
cr
共面。
ar
r b
r b
cr
cr
ar
r 0
的两端点乘
cr
(ar
r b)
cr
0
r a,
r b,
r c
共面
。
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(a b)c (a c)b =_____________ ,
二、a((已aab知bb))cac(,bb=0,c_，c)__计_为_算____单a_____b位______b向 ____c__量____c，.,a
且 .
满
足
三、设质量为 100 千克的物体从点M1(3 , 1 , 8) 沿直线移 动到点M 2 (1 , 4 , 2) 计算重力所作的功（长度单位为 米，重力方向为Z 轴负方向）.
sin
2
(a,
b)
|
a|2
|
b|2
[1
cos2
(a,
b )]
|
a|2
|
b |2
|
a|2
|
b |2
cos2
(a,
b)
|
a|2
|
b |2
(a
b )2 .
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21
练习题
1一、、已知填a空=3题，：b
=26，
a
b
=72,则a
b
=_________；
2、已知（a
,
b）=2
14
混合积的几何意义
rr r rr
r
| (a b) c | a b Prj r r c
(ab)
rr ab
Sh V
rrr 以为 a, b, c 边的平 行六面体的体积。
r
h
c
r
b
r S=|a b|
a
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15
混合积的坐标表示
设
a
a
x
i
a
y
j
az
k,
b bxi by j bzk,
10
向量积还可用三阶行列式表示
ar
r b
(a ybz
azby
r )i
(azbx
a x bz
r )j
(axby
a ybx
r )k
rrr
i jk
ax ay az
bx by bz
记住：欲求同时垂直于
的向量，ar、请用br叉积吧！
ar,
r b,
r c
共面
rrr (a b) c 0
称为
ar,
rr b的,混c合积。
，且
a
=1，b
=2，则
34、、(三aa向b b的量)几2=a何_,_b意_,_c义__的3是__以混__a_合_,_b积_；为[其ab邻c边] 的的_几__何___意__义_；是
______；
5、两向量的的内积为零的充分必要条件是至少其中有
一个向量为________，或它们互相 ________；
三、5880 焦耳.
四、 2 .
六、 s 14, (s, a) arccos 1 , 14
( s,
b)
arccos
1 ,(s, c) arccos 14
3. 14
5 七、2
.
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24
2020年5月7日星期四
25
|
ar
||
r b
|
cos
ar,
r b
|
ar
|
r (bar
)
r b
r (ar
b
)
数量积也称为“点积”、“内积”。
r b
r a
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2
数量积的若干性质：
ar
r b
|
ar
||
r b
|
cos
ar,
r b
(1)
r a
r a
|
r a
|2
(2)
a
b
0
ar
r b
r r rr
|
a
|
(bar
)
b
(ar b