圆锥曲线的概念与基本量

第8讲圆锥曲线的

概念与基本量

本讲分三小节，分别为椭圆、双曲线、抛物线，建议用时3—4课时．本讲的教学重点在于掌握圆锥曲线的代数方程特点、几何图形特点，以及准确理解基本量的代数表示与对应的几何线段．对于椭圆和抛物线还应在此基础上能够解决一些较为复杂的组合图形问题．

第一小节为椭圆，共3道例题．其中

例1主要讲解椭圆的方程；

例2主要讲解椭圆的性质；

例3主要讲解椭圆的基本量（其中包括解一些与椭圆有关的几何图形问题）．

第二小节为双曲线，共3道例题．其中

例4主要讲解双曲线的方程；

例5主要讲解双曲线的性质；

例6主要讲解双曲线的基本量．

第三小节为抛物线，共2道例题．其中

例7主要讲解抛物线的定义、方程与性质；

例8主要讲解与抛物线有关的简单几何图形．

知识结构图

知识梳理

椭圆越扁双曲线开口越大

⑴（优质试题北京理12）椭圆22

192

x y +=的焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若14PF =，则

2PF = ；12F PF ∠的大小为 ．

⑵（优质试题北京理13）已知双曲线22221x y a b -=的离心率为2，焦点与椭圆22

1259

x y +=的焦

点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 ．

⑶（2012年北京理12）在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛

物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60︒．则OAF △的面积为 ．

【解析】 ⑴ 2，120︒．

真题再现

⑵ (40)±，

0y ±=． ⑶

1、

已知椭圆的长轴长是8，离心率为

3

4

，则此椭圆的标准方程是（ ） A ．221169x y += B ．221167x y +=或22

1716x y +=

C ．2211625x y +=

D ．2211625x y +=或22

12516

x y +=

2、

椭圆22

1123

x y +=的左、右焦点分别为1F 和2F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴

上，那么1PF 是2PF 的（ ）

A ．7倍

B ．5倍

C ．4倍

D ．3倍

3、

已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若2ABF △是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）

A

B

C

1 D

4、

若椭圆22

1x y m n

+=（0,0m n >>）与曲线22x y m n +=-无交点，则椭圆的离心率e 的取

值范围是（ ）

A

．,1⎫⎪⎪⎝⎭ B

．0,⎛ ⎝⎭ C

．,12⎫⎪⎪⎝⎭ D

．0,2⎛ ⎝⎭

5、

过椭圆C ：22

221x y a b

+=（0a b >>）的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆于另一个点B ，

且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若11

32

k <<，则椭圆离心率的取值范围是（ ）

A ．19,44⎛⎫ ⎪⎝⎭

B ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭

C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭

D ．10,2⎛

⎫ ⎪⎝

⎭

6、

设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线

垂直，那么此双曲线的离心率为（ ） A

B

C

D

7、 如图，1F ，2F 分别是双曲线22

22:x y C a b

-()10a b =>，

的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线1F B 与C 的两条渐近线分别交于P Q ，两点，线段PQ 的垂直

平分线与x 轴交于点M ．若212MF F F =，则

C 的离心率是（ ）

小题热身

A

B

C

D

8、

若椭圆22

1x y m n

+=与双曲线221x y p q -

=（m ，n ，p ，q 均为正数）有共同的焦点1F ，2F ，P 是两曲线的一个公共点，则12PF PF ⋅等于（ ）

A ．22p m -

B ．p m -

C ．m p -

D ．22m p -

9、

直线l 过抛物线22y px =（0p >）的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 的长

是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是（ ） A ．212y x = B ．28y x = C ．26y x = D ．24y x =

10、

已知抛物线2

2y px =（0p >）的焦点F 恰好是椭圆22

221x y a b

+=的右焦点，且两条曲线的

公共点连线过F ，则椭圆的离心率是（ ）

A

1 B

．2 C

D

考点：椭圆的方程

【备注】本考点为椭圆的代数特征，即对椭圆方程的代数形式特点的认识．

【例1】 ⑴

已知方程E ：221mx ny +=

① 若E 表示椭圆，则m 、n 需要满足的条件是 ；

② 若E 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 、n 需要满足的条件是 ． ⑵

若椭圆1C ：2222111x y a b +=（110a b >>）和椭圆2C ：22

2222

1x y a b +=（220a b >>）的焦点相

同且12a a >．给出如下四个结论： ① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点； ②

11

22

a b a b >； ③ 22221212a a b b -=-； ④ 1212a a b b -=-．

其中，所有正确结论的序号为 ．

8.1椭圆

经典精讲