第3.4离散小波变换与正交小波2014修正2

记S2m 在S2m1 中的正交补为V2m ，则
ˆ ( ) 0, 2m 或 2m 1 } V2 m { f (t ) L2 ( R) | f
于是
L ( R) V2m
2 m
正交小波
令
1 1 sin 2 (t ) sin (t ) 1 2 2 (t ) 2 (2t 1) (t ) 1 2 (t ) 2
正交小波
例4.2 Shannon小波 sin t (t ) t
尺度函数
(t ) 的一切平移所生成的函数系{ (t n)} (n Z )
ˆ () 0, } 构成了子空间 S { f (t ) L2 ( R) | f
的一个标准正交基 ˆ ( ) 0, 2m }，则 S m 令S2 m { f (t ) L2 ( R) | f 2 具有标准正交基
m 2
它的整的平移族{ (t n) | n Z}是V 的标准正交基 对任意 m Z ,{2 (2m t k ) | k Z }是V2m 的标准正交基
{2 (2m t k ) | m, k Z}构成L2 ( R)的标准正交基
Shannon小波基
m 2
在时域，Shannon小波是无限次可微的，具有无穷阶消 失矩，不是紧支的，具有渐近衰减性但较缓慢；在频域， 是频率带限函数，具有好的局部化特性。
这里
是个帐篷函数
s ( ) s(t )e



it
dt te
0
1
it
dt (2 t )e it dt
1
2
e i 1 e i 2 i ( i ) 1 e i
i
e i e i 2 e i 2 i ( i )
2
j 2
母函数或简称正交小波
j ,k | j, k Z} 称为正交小波基。 函数族 {
正交小波
2 对任意 f (t ) L ( R) ，存在唯一的展式：
f (t ) c j , k j , k (t )
j,k
正交小波级数分解
其中
c j , k f (t ), j , k (t ) f (t ) j , k (t )dt , j, k Z
1 2
1 t 1 2 其它
经过二进伸缩与平移可得到
h j ,k (t ) 2 h(2 j t k ),
j, k Z
2 L 是 ( R)的一个标准正交基，但此小波基是一族阶梯
函数，连续性较差，不适合分析光滑性较好的信号。 它的时间局部性非常好，但频域局部性不好
3.平移正交判定定理 定理4.1 函数系

2
i 1 e ˆ ( ) s ˆ( ) e2i s ˆ( ) (1 e2i )( )2 i
定理 4.2 平移正交构造定理
若
g t k , k Z 不构成标准正交基，则可令
( x) 2 ˆ | g ( 2 m ) | mZ ˆ ( ) g


称为 f 的小波系数 小波系数实质上是离散小波变换，前面所得的二进离 散小波与连续小波虽不会损失信息，但会产生冗余，而正 交小波则可以使变换后所产生的冗余消失。
正交小波
正交小波的例： 例4.1 Haar小波
1, 母函数 h(t ) 1, 0,
j 2
0t
§3.4 离散小波变换 与正交小波
1. 离散小波变换
������(������) 设 (t ) 为母小波 ，记
j ,k (t ) 2 (2 t k ), j, k Z ������������,������ (������) =
j
j 2
������ 22 ������(2������ ������
{2 (2m t n)} 2
m 2 m 2
sin 2m (t
n ) m 2 , m, n Z . n 2m (t m ) 2
正交小波
且对任意 f (t ) S2
m

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m m sin 2 ( t 2 n) m f (t ) f (2 n) m m 2 ( t 2 n) nZ



1 2 1 2 1 2 1 2 1 2



ˆ ( )eik ˆ ( )eil d ˆ ( ) |2 ei ( k l ) d |
2( m1)

2 周期

2
mZ 2 m
ˆ ( ) |2 ei ( k l ) d |
{ ( x l ) | l Z } 为标准正交系当且仅当
2 ˆ | ( 2 k ) | 1 kZ
证明：{ ( x l ) | l Z }
标准正交

( ( x k ), ( x l )) ( x k ) ( x l )dx kl 1 ([ ( x k )]^ ,[ ( x l )]^ ) kl 2 1 1 ^ ^ 而 ˆ ( )eik , ˆ ( )eil ) ([ ( x k )] ,[ ( x l )] ) ( 2 2
− ������), ������, ������ ∈ ������
则称
W f j, k f , j ,k (t )
������������ ������, ������ = ������, ������������,������ (������
为离散小波变换
∞
内积：������(������) =
∞
������(������)������ −������������������ ������������
−∞
=
������(������)������ −������������������ ������������ = ������(������), ������ ������������������

0
2
mZ 0
ˆ ( 2m ) |2 ei ( k l ) d |
2 i ( k l ) ˆ | ( 2 m ) | e d kl . mZ
1 2 i ( k l ) 注意到 e d kl 以及 Fourier 系数的唯一 2 0 2 ˆ 得： mZ | ( 2m ) | 1。反之， 。 。 。 。证毕。
−∞
2.正交小波
定义：
j ( t ) ( t ) 2 (2 t k )，其中 ，记 设有允许小波 j ,k j 2
j, k 为任意的整数。如果函数族
{ j , k (t ) 2 (2 j t k ) | j, k Z }
构成空间 L ( R) 的标准正交基, 则称 (t )是正交小波
构成标准正交基

于是
t k , k Z
例 2.6 考虑线性样条函数
1 t 1, 2 t 0 (t ) 1 1 t , 0 t 2 0, 其他
从几何上看， (t ) 显然是一个基本小波 易知
(t ) s(t ) s(t 2)
0 t 1 t , s(t ) 2 t , 1 t 2 0, 其他