状态空间极点配置设计

（双线性变换法） （ 4.6 ）
从而
G( z) G(s)
（4.4）式由s平面到z平面的映射
（4.5）式由s平面到z平面的映射
（4.6）式由s平面到z平面的映射
可以看出： • 使用前向差分法有可能把一个稳定的连续时间系统映射为
一个不稳定的离散时间系统。
• 使用后向差分近似时，一个稳定的连续时间系统将总是给 出一个稳定的离散系统。但是一些不稳定连续时间系统也可 能被转换成稳定的离散时间系统。而且运用后向差分法时频 率被严重压缩了，不能保证频率特性不变。 • 使用双线性变换（塔斯廷近似）将s平面的左半平面映射到 z 平面的单位圆内。因此把连续时间系统的稳定性与离散时 间系统的稳定性不变。
5.2.3.2 离散化
PID 控制器在连续 - 时间工业控制系统中是由硬件设备实现的。 而在计算机控制系统中，PID控制器是通过计算机PID控制算法 程序实现的。 进入计算机的连续时间信号，必须经过采样和整量化后，变成 数字量，方能进入计算机的存贮器和寄存器，而在数字计算机 中的计算和处理，不论是积分还是微分，只能用数值计算去逼 近。因此在数字计算机中，PID控制规律的实现，也必须用数值 逼近的方法。当采样周期相当短时，用求和代替积分，用差分 代替微分，使PID算法离散化，将描述连续时间PID算法的微分 方程，变为描述离散时间PID算法的差分方程。
( I c ) x0 c Muc
和
~ ~ (I ( L ))x0 Muc
从T幂到T2幂，上述两个关系式左边的级数展开式是相等的。
现在来确定以使上述两个关系式右边的级数展开式对T和T2也
是相等的。假设：
~ M M0 M1T / 2
那么：
c M BMT ( A BL) BMT 2 / 2
则模拟频率ω与离散频率ω'之间有如下关系：
2 T tan( ) T 2
即：
(T ) 2 2 1 T tan ( ) 1 T 2 12
（4.7）
双线性变换造成的频率畸变 ω与ω´的非线性关系
由（4.7）式可知，在ω =0处没有频率畸变，并且ω T小时畸 变也小。如果系统要求变换后的某些特定频率不能畸变时，
＝exp(sT)。这两个差分近似相应于级数展开：
z e sT 1 sT （前向差分法/欧拉法）（4.1）
z e sT 1 e
sT

1 1 sT
（后向差分法）（4.2）
另一种与数值积分的梯形法相对应的近似法是：
ze
sT
e sT / 2 1 sT / 2 sT / 2 e 1 sT / 2
和
~ L I ( A BL0 )T ( A2 ABL0 BL1 )T 2 / 2
取
L0 L L1 LA LBL
即当
~ L L(I ( A BL)T / 2)
（ 5.18 ）
时，直到 T2 阶为止，系统（ 5.16 ）式和（ 5.17）式都具有同 样的极点。当直到并包括T阶时，在不修改L的情况下各极点 也是相同的。 假设（ 5.16）式和（ 5.17 ）式的稳态值相同可确定 M 的修正 式。令参考值是常数并假设状态的稳态值是 x0 ，这可以得到 如下关系：
（4.13）
如果系统（4.12）是能控的，那么使用形式为：
u(t ) Muc (t ) Lx(t )
（4.14）
的控制器就可任意配置该闭环系统的极点。
对状态采样并在采样周期内保持控制信号恒定就可以实 现数字形式（ 4.14 ）的控制器。随着采样周期的增加， 离散闭环系统的特性开始恶化，不过，可以修改控制器 以改进闭环系统的性能。假定离散时间控制器形式如下： ~ ~ （4.15） u(kT ) Muc (kT ) Lx(kT )
Leabharlann Baidu统的控制器的结构和参数必须依靠经验和现场调试来确定，这
时应用PID控制技术最为方便。因此，PID控制具有很大的适应 性和灵活性。
当今，数字计算机广泛地应用于控制系统中。数字PID控制比
连续PID控制更为优越，因为计算机程序的灵活性，很容易克 服连续PID控制中存在的问题，经修正而得到更完善的数字PID
闭环系统的极点配置在z平面的任何期望的位置。
首先必须指出，状态空间中，任意极点配置的充 分且必要的条件是，系统必须是完全状态可控的。
4.2.1 状态反馈
假设连续系统由方程：
dx Ax Bu dt
描述。只讨论单输入-单输出情况。对该系统按一定周期进行 零阶保持采样得到的离散系统为：
x(kT T ) x(kT ) u(kT )
1 t d (e(t )) u (t ) K p [e(t ) e( )d TD ] 0 TI dt KP—比例放大系数；
（5.23）
式中
TI—积分时间； TD—微分时间。
比例控制能迅速反应误差，从而减小稳态误差。但是，比例控 制不能消除稳态误差。比例放大系数的加大，会引起系统的不 稳定。 积分控制的作用是，只要系统有误差存在，积分控制器就不断 地积累，输出控制量，以消除误差。因而，只要有足够的时间， 积分控制将能完全消除误差，使系统误差为零，从而消除稳态 误差。积分作用太强会使系统超调加大，甚至使系统出现振荡。 微分控制可以减小超调量，克服振荡，使系统的稳定性提高， 同时加快系统的动态响应速度，减小调整时间，从而改善系统 的动态性能。 应用PID控制，必须适当地调整比例放大系数KP，积分时间TI 和微分时间TD，使整个控制系统得到良好的性能。
其中矩阵Ф和Г由：
e
AT
e As dsB
0
T
给出。为简化起见，将系统写为：
x(k 1) x(k ) u(k )
4.2.1.1 差分法和双线性变换法
连续控制器D(s)在时间域里用微分方程来表示，把微分运算用 等效差分来近似，就可得到逼近微分方程的差分方程。
等效差分有前向差分、后向差分等方法。前向差分法又称为 欧拉法，是用前向差分近似导数：
和
~ M BM0T (BM1 ABM0 )T 2 / 2
令
M0 M M1 LBM
这得出：
~ M ( I LBT / 2)M
（ 5.19 ）
故修正的离散时间控制器为（重新列写）：
~ ~ u(kT ) Muc (kT ) Lx(kT )
其中：
~ L L(I ( A BL)T / 2)
第4章 极点配置设计：状态空间方法
• 主要内容
• • • • (1) 状态反馈极点配置 (2) 状态观测器 (3) 带状态观测器的调节器设计 (4) 输入系统的极点配置
4.1 引言
状态空间中的极点配置设计方法是基本的设计方法之一。 如果系统是完全状态可控的，那么，要求的z平面上闭环极点可 以选择，并且，以这些极点为闭环极点的系统可以设计。这种 在z平面设置期望的闭环极点的设计方法，称为极点配置设计法。 在极点配置设计方法中，将反馈全部状态变量，使得全部 闭环极点均设置在各期望的位置上。然而，实际的控制系统中， 量测到全部状态变量是不可能的，不是全部状态变量都可以用 于反馈。为了实现状态反馈，估计这些未知的状态变量是很必 要的，这种估计可以用状态观测器进行。
4.2.2 基于状态模型的近似法
在某些情况下，已知连续时间状态空间模型描述的控制器， 希望将它离散化成离散时间近似式。可以把状态反馈控制器 看作广义的P控制器。假设连续时间系统方程为： dx Ax Bu dt （4.12） y Cx 且所有的状态都是可量测的。对应的离散系统方程为：
x(kT T ) x(kT ) u (kT ) y(kT ) Cx(kT )
dx (t ) x(t T ) x(t ) q 1 x(t ) dt T T
得到差分方程； 后向差分法用后向差分近似导数：
dx(t ) x(t ) x(t T ) q 1 x(t ) dt T qT
来得到差分方程。
在上述变换变量中，相当于用(z－l)/T或者(z－l)/(zT)代替s。前 面的章节已经表明，可把变量z和s 用自然指数关联起来，即z
（5.15）
（5.18） （5.19）
~ M ( I LBT / 2)M
5.2.3 数字PID控制器
在连续时间控制系统中，PID控制器应用得非常广泛。其设计 技术成熟，长期以来形成了典型的结构，参数整定方便，结构
更改灵活，能满足一般的控制要求。特别是PID控制技术有其
突出的优点，当被控对象的结构和参数不能完全掌握，或得不 到精确的数学模型时，控制理论的其他设计技术难以使用，系
（4.3）
这种近似也常常叫做双线性变换，或者塔斯廷（Tustin）近似。
使用上述近似方法时，可用下述s´直接代替G(s)中的自变量s 而得到脉冲传递函数G(z)，其中：
z 1 T z 1 s zT s s 2 z 1 T z 1
（前向差分法 / 欧拉法）（ 4.4 ）
（后向差分法） （ 4.5 ）
~ ~ x(kT T ) ( L ) x(kT ) Muc (kT ) （ 5.17 ）
一般说来不可能选择使得：
~ c L
但可以利用级数展开，并使T的不同幂次项相等，以使二者非 常接近。假设：
~ L L0 L1T / 2
那么：
c I ( A BL)T ( A2 BLA ABL (BL)2 )T 2 / 2
若在采样周期内保持uc(t)不变，就可以对状态方程积分，得出：
x(kT T ) c x(kT ) c Muc (kT )
（ 5.16 ）
其中：
c e AcT c e Ac s dsB
0 T
如果使用离散时间控制器（ 5.15 ）式控制（ 5.13 ）式所示的 离散系统，则有：
可以采用预畸变方法来补偿。要在规定的频率ω 1处没有畸变，
只要把（4.6）式的双线性变换修改为下列变换即可：
s
1 z 1 tan( 1T / 2) z 1 （频率预畸变的双线性变换） （4.8）
根据（4.8）式，可以得出：
G(ei1T ) G(i1 )
即该连续时间滤波器及其近似式在频率 ω 1处具有同样值。不 过，该方法仅仅能在规定的频率处保证不发生畸变，在其他 频率处仍会有畸变。
4.2.1.2 频率畸变现象的预防
经过双线性近似变换后，模拟频率与离散频率之间存在着非 线性关系。设模拟频率为 ω ，变换后得到的离散频率为 ω' ， 现在将s' = iω，z = eiω´T代入双线性变换式，得到：
2 ei T 1 i i T T e 1 2 ei T / 2 e i T / 2 2i T i T / 2 i T / 2 tan( ) T e e T 2
算法。
5.2.3.1 连续PID控制器
在连续时间系统的实际应用中，常常根据受控对象的特性和控 制的性能要求，灵活地采用不同的控制组合，构成比例（ P） 控制器
u(t ) K pe(t )
比例+积分（PI）控制器
1 u (t ) K p [e(t ) TI
e( )d ]
0
t
和比例+积分+微分（PID）控制器
可以采用离散状态空间的极点配置设计方法来实现上述 离散时间控制器（后续章节详细讨论）。这里讨论的是， 如何使用近似方法把（ 4.14 ）式控制器转换成离散时间 形式。
用连续时间控制器（ 5.14 ）式来控制连续系统（ 5.12 ）式， 得到的闭环系统为： dx ( A BL) x BMuc Ac x BMuc dt y Cx
状态反馈极点配置问题，可以分成为两个部分：
首先假定系统的全部状态都可能用于反馈，设计一个 全状态反馈的控制系统；然后，再设计一个状态观测
器，用来估计状态反馈要用的状态变量。设计中依据
的参数为期望的闭环极点的位置和采样周期T。
4.2 状态反馈极点配置
假设系统的全部状态变量都可以量测，并且都能用 于反馈。如果系统是完全状态可控的，那么，用状态 反馈的方法，适当地选择状态反馈增益矩阵，可以将