机械系统非线性振动及其控制课后作业

第一章

在图示多级齿轮传动中，齿轮和轴的编号如图所示。电动机、齿轮和负载的转动惯量如图所示，不计轴的转动惯量。建立该齿轮传动系统

纯扭振动方程。（设各轴扭转刚度为K

si ，齿轮副啮合刚度为K

ii+1

，各

齿轮基圆半径为r

b i

。）

解：设电动机的输出转矩为,扭转角度为;负载的输出转矩为，扭转角度为。

建立系统的纯扭振动方程

……

（ ）

其矩阵形式如下：

1122

33

21

2122 m m N N N

N l l J J

J J J J J θθθθθθθ--⎡⎤

⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦⎢⎥⎣

⎦

11211121121221212212222

2234334342(21)2(21)(21)2(21)22

(21)2(21)2(1)(21)22(1)(1)(1s s s s b b b b b s b s s s b b b sN sN N N b N N N b N b N

N N b N b N s N N N b N s N s N s N k k k k k r k r r k r r k k r k k k k r k r r k k k r k r r k r r k k r k k k ------+-+++--+--+⋅--+--+--+-

-)1232120 m N N l θθθθθθθ-⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

第二章

1.用加速度计测得一弹簧质量系统在简谐振动时某点最大加速度为5g （ ）。已知系统的固有频率为25Hz 。试求此系统的振幅和最大速度是多少?

解：由简谐振动的性质可知， 。

频率 振幅

m

最大速度

2.一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如下图所示。试列出其振动微分方程，并求出其固有频率。

解：已知振动物体的质量为m，弹簧常数为k，取图中x方向为正方向，其静平衡位置为原点。静平衡时：。在其他任意时刻，对物体m在x位置时受力分析，根据牛顿第二定律可列方程：

因为，则：

设其固有频率为，有：

固有频率

3.图示一刚性直杆，长为l，杆的一端铰支，另一端由一刚度为k的弹簧支承。在离铰支端为a处有一集中质量m，如忽略刚性杆的质量，试求这个系统的固有频率。

解：以转角为广义坐标，取平衡位置为原点。

由牛顿第二定律得：

变换得：

系统的固有频率

5.试求上图所示弹簧质量系统在力作用下的瞬态响应。系统初始时静止。

解：

以平衡位置为零点，设t=0时小车位于零点右侧0x处。

由牛顿第二定律得：

=-mx F kx

即+=mx

kx F

此方程为二阶非齐次常系数微分方程，通解为：

ωω=++

12()cos sin n n F

x t A t A t k

由初始条件0(0)

,(0)0x x x ==得：

ω⎧+=⎪⎨⎪=⎩1020n

F

A x k A

解得：⎧=⎪⎨

⎪=⎩102

-0F A x k A

且n

ω=

所以：

⎛⎫=+ ⎪⎝

⎭0()-cos F F x t x k k

第三章

1.如下图所示，一根两端固定的轴上装有两个飞轮，各部分尺寸如图所示(单位为mm)，飞轮材料之比重为ρ=0.077 (N/cm 3)，轴的剪切弹性模量427.810/G N mm =⨯,试求系统的扭转固有频率。

解：这是一个两自由度扭转振动系统。取两飞轮偏离平衡位置的角位移为 和 。各轴段扭转刚度分别为 ，对两盘受力分析，列出振动方程

1111221()I K K θθθθ=-+- 2222132()I K K θθθθ=---

整理得

1112122()0I K K K θθθ++-= 2221232()0I K K K θθθ-++=

令飞轮1I 和2I 以同频率同相位做简谐振动，即

11sin()A t θωϕ=+

22sin()A t θωϕ=+

带入化简并整理成矩阵形式

211212

22223200A K K I K A K K K I ωω⎛⎫+--⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬ ⎪-+-⎩⎭⎩⎭⎝

⎭ 行列式为0得频率方程

24222230I KI K ωω-+=

12

n p

GJ K I Il

ω==

22

33n p

GJ K I Il

ω==

得1 1.5404/s ω=，2 2.6681/s ω=。

3.如图所示，已知123k k k k ===，123m m m m ===，123sin P P P P t ω===

，

ω= 1230.01ζζζ===，求各质量的稳态响应 。

解：①建立系统的运动方程

[]{}[]{}[]{}{}()m x C x K x P t ++=

其中

[]000000m m m m ⎛⎫ ⎪

= ⎪

⎪

⎝⎭，[]12

222333

300C C C C C C C C C C +-⎛⎫ ⎪=-+- ⎪ ⎪-⎝⎭ []12

22

2333

3020200

K K K K

K K K K K K K

K K K K K

K +--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝

⎭⎝⎭

{}()sin Q P t Q t Q ω⎧⎫

⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭

，ω=②求系统无阻尼时固有频率n ω、主阵型{}A 和振型矩阵[]P 特征方程为