数学分析ch10-4函数的幂级数展开

rn (x) =
f (n1) ( )
(x
x0
)n
是
f (x)在 O(x0, ) 上的幂级数展开（或
Taylor 展开）。
在§5.3 中，曾导出余项
rn (x) =
f
(
n1)
(
x0 (x (n 1)!
x0
))
(
x
x0
)n1
，0
1，
rn (x) 的这一形式称为 Lagrange 余项。为了讨论各种函数的 Taylor 展
开，我们还需要 rn (x) 的另一形式，即积分形式：
于是我们可以断言：
f (x)
n0
f
(n) (x0 n!
)
(x
x0
)n
在 O(x0, ) （ 0 r ）成立的充分必要条件是：
lim
n
rn
(x)
=
0
对一切 x O(x0, ) 成立。
这时，我们才称 f (x)在 O(x0, ) 可以展开成幂级数（或 Taylor 级
数），或者称
n0
f
(n) (x0 ) n!
1
e
1 x2
= 0，
x0
x
x0 x
f (0) lim f (x) f (0) =
x0
x
lim
x0
2
1
e x2
x4
= 0，
……
f (k) (0) lim x0
f (k1) (x) f (k1) (0) =
x
……
lim
x0
P3k
2
1 x
e
1 x2
=
0，
因此 f (x) 在 x = 0 的 Taylor 级数为
n
f (x)
k 0
f
(k) (x0 k!
)
(x
x0
)k
+
rn
(x)
，
xO( x0 , r)，
其中
rn
(
x
)
=
1 n!
x f (n1) (t)(x t)n d t
x0
。
证
由表达式
rn (x) =
f (x)
n
k 0
f
(k) (x0 k!
)
(x
x0
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)
k
出发，逐次对等式
两端进行求导运算，可依次得到
rn(x) =
k!
也就是说，系数｛an ｝由和函数 f (x) 唯一确定，我们称它们为 f (x) 在
x0 的 Taylor 系数。
反过来，设函数 f (x) 在 x0 的某个邻域 O( x0 , r)上任意阶可导，则
可以求出它在
x0
的
Taylor
系数
an
=
f
(n) (x0 ) （ n
n!
0,1,2,），并作出幂级
f (n1) ( )
n!
x (x t)n dt
x0
（ 在 x0 与 x 之间）
f
( n 1)
(x0 (x
(n 1)!
x0
))
(x
x0
)n1
，
0 1，
这就是我们已经知道的 Lagrange 余项；
对 余 项 rn (x) 的 积 分 形 式 应 用 积 分 第 一 中 值 定 理 ， 考 虑 到 当 t [x0 , x] （或[x, x0 ] ）时， (x t)n 保持定号，于是就有
f (x)
n k 1
f (k) (x0 ) (k 1)!
(x
x0
) k 1
，
rn(x) =
f (x)
n k 2
f (k) (x0 ) (k 2)!
(x
x0
)k
2
，
……
rn(n) ( x) = f (n) (x) f (n) (x0 ) ，
= r (n1) n
(
x)
f (n1) (x) 。
令 x = x0 ，便有 rn (x0 ) = rn(x0 ) = rn(x0 ) rn(n) (x0 ) = 0。
中所得到的 Taylor 公式：设 f (x) 在 O( x0 , r)有 n + 1 阶导数，则
f (x) =
n k 0
f
(k) (x0 k!
)
(x
x0
)k
+
rn
(x)
，
其中 rn (x) 是 n 阶 Taylor 公式的余项。现在假定讨论的函数 f (x) 在 O( x0 ,
r)上任意阶可导，也就是说，上面的 Taylor 公式对一切正整数 n 成立，
逐次应用分部积分法，可得
rn (x) = rn (x) - rn (x0 ) =
x
x0 rn(t) d t
=
x x0
rn(t
)
d(t
x)
=
x
x0 rn(t)(x t) d t
= - 1 2!
x x0
rn(t)
d(t
x)
2
=
1 2!
x x0
rn(t
)(
x
t
)
2
d
t
……
= 1 n!
x x0
r (n1) n
(t)(x
t)n
d
t
=
1 n!
x f (n1) (t)(x t)n d t 。
x0
对 余 项 rn (x) 的 积 分 形 式 应 用 积 分 第 一 中 值 定 理 ， 考 虑 到 当 t [x0 , x] （或[x, x0 ] ）时， (x t)n 保持定号，于是就有
rn (x) =
f (x) =
1 e x2 , 0,
x 0, x 0,
f (x)
2 x3
1
e x2
，
f
(x)
4 x6
6 x4
1
e x2
，
……
f
(k) (x)
P3k
1 x
e
1 x2
，……
其中 Pn (u) 是关于 u 的 n 次多项式。
由此可以依次得到
f (0) lim
f (x)
f (0) = lim
定理 10.4.1 设 f (x)在 O( x0 , r)上任意阶可导，则
n
f (x)
k 0
f
(k) (x0 k!
)
(x
x0
)k
+
rn
(x)
，
xO( x0 , r)，
其中
rn
(
x
)
=
1 n!
x f (n1) (t)(x t)n d t
x0
。
定理 10.4.1 设 f (x)在 O( x0 , r)上任意阶可导，则
数
n0
f
(n) (x0 n!
)
(x
x0
)n
,
这一幂级数称为 f (x) 在 x0 的 Taylor 级数。
问题：是否一定存在常数 （ 0 r ），使得
n0
f
(n) (x0 n!
)
(x
x0
)n
在
O(x0, ) 上收敛于 f (x) ?
下面的例子告诉我们，答案并不是肯定的。
例 10.4.1 设
当 x≠0 时，
0 0x 0 x2 0 x3 0 xn ，
2! 3!
n!
它在 (,) 上收敛于和函数 S(x) = 0。显然，当 x≠0 时，
S(x) ≠ f (x) 。 这说明，一个任意阶可导的函数的 Taylor 级数并非一定能收敛于 函数本身。
为了寻求函数的 Taylor 级数收敛于它本身的条件，回忆在§5.3
数学分析ch10-4函数的幂级数展开
令 x x0 ，得到
ak
f (k) (x0 ) , k = 0,1,2,…，
k!
也就是说，系数｛an ｝由和函数 f (x) 唯一确定，我们称它们为 f (x) 在
x0 的 Taylor 系数。
令 x x0 ，得到
ak
f (k) (x0 ) , k = 0,1,2,…，