激光课程设计报告

激光课程设计报告

----激光谐振腔自再现模Fox-Li

数值迭代解法及MATLAB实现

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一． 原理说明

当光在两镜面间往返传播时，一方面将受到激活介质的光放大作用，另一方面将经受各种损耗。由反射镜的有限大小所引起的衍射损耗就是其中之一。在决定激光开腔中激光震荡能量的空间分布方面，衍射将起主要作用。

激光谐振腔的自再现模的计算常用的方法有Fox-Li 迭代法、快速傅立叶变换法(FFT)、等效透镜波导法、特征向量法、有限元法(FEM)和有限差分法(FDM)等。

这里我们运用Fox-Li 数值迭代法求解激光谐振腔的自再现模，给出了基于Matlab 下的条形腔、方形镜腔、圆形镜腔的模式求解程序。通过分析计算了解激光谐振腔的自再现模的特点。

对于开放式光腔，镜面上稳态场分布的形成可以看成是光在两个界面间往返传播的结果。因此，两个界面上的场必然是互相关联的：一个镜面上的场可以视为由另一个镜面上的场所产生，于是求解镜面上稳态场的分布问题就归结为求解一个积分方程。

由菲涅尔—基尔霍夫衍射积分公式可知：设已知空间任意曲面S 上光波场地振幅和相位分布函数为 ,由它所要考察的空间任一点P 处场分布为 ，二者之间有以下关系式： 式中，为与连线的长度，θ为S 面上点处的法线和上述连线之间的夹角， 为S 面上的面积元，k 为波矢的模。

经过n 次传播产生的场 与产生它的场 间应满足下列

迭代关系：

当光波在腔内往返渡越或传输足够多次渡越后,腔内的场便逐步趋于一个稳定状态,即： 其中γ是一个复常数，表示自再现模在腔内往返一次的功率损耗，其幅角表示往返一次的相移。在这里以E(x,y)表示开腔中不受衍射影响的稳定场分布函数，其标准形式为：

满足上述方程式的函数E 称为本征函数，常数γ称为本征值，其中：

K(x,y,x',y')为积分方程的核。而满足的场分布函数E （x ，y ）就是腔的自再现模，它描述两个镜面上的稳定态场分布。它的模 描述镜面上的振幅分布；而其幅角描述镜面上场的相位分布。 ),(y x

u ''),(y x u ⎰⎰+=-S ik dS e y x u ik y x u ')cos 1()','(4),(θρ

πρ

s d '),(y x ''),(y x ),(y x ''ρ),(1y x u n +)','(y x u n ')','(),(1ds e y x u L i y x u s ik n n ⎰⎰-+=ρλ)','(1),(1y x u y x u n n γ

=+⎰⎰

=s

ds y x E y x y x K y x E '

)','()',',,(),(γ)',',,()',',,(y x y x ik e L

i y x y x K ρλ-=

二． 实现方案

Fox-Li 数值迭代法就是利用迭代公式

进行数值计算，式中K 为积分方程的核。假设在某一平面镜上存在一初始场分布 ，带入上式可

得第一次渡越后在第二个镜面上生成的场分布

，再带入上式迭代可得第二次渡越后在第一个镜面上生成的场分布

，以此类推，迭代运算后形成一种稳定场分布，达到稳定条件。

MATLAB 算法实现的流程图如右图，且需以下几个步骤（以方形腔为例）： 第一步：确定迭代公式

第二步：确定ρ

对于不同的光学谐振腔（如平行平面腔、

共焦腔、一般球面腔等），其中ρ具有不同的

形式。对于方形镜平行平面腔，有：

第三步：离散处理

将方形腔对称划分：左镜x 或y 方向

（-a ，a ）之间划分N 等分，则有N ＋1个点，

每个区间为2a/N 。则右边镜面上每一点的求

解都需在左边镜面上逐点计算一遍并相加。

第四步：分离变量 方形腔的计算不需考虑整个面上的点的

影响，根据分离公式

可 以作这样的近似：只考虑相对镜面上对应点

所在的那一行、一列上点的影响。带入积分

公式可得到：

第五步：赋值

（1） 初始场分布：平面波，相位为零。

（2）确定相应的波长、腔长、矩形镜大小

第六步：复数处理

matlab 中可以直接对复数进行运算，abs 可直接

对复数取幅值，描述场的复振幅分布；angle 可对

复数求相角，描述场的相位分布。 ⎰⎰=+'1dS Ku u q q 1u 2u 3u ⎰⎰

+=-S ik dS e y x u ik y x u ')cos 1()','(4),(θρ

πρ

2

22)()(L y y x x +'-+'-=ρ(,)()()u x y u x u y =1

)','(1≡y x u

第七步：归一化处理

每次由一面到另一面的渡越迭代完成后，所得的场分布数值都要进行一次归一化，这是由于在使用了诸多假设和近似后，具体值已经没有实际意义，我们所感兴趣的只是形成自在现模时的相对振幅与相对相位的分布关系，所以每次迭代后都要参考中心点的振幅和相位值进行归一化处理。即将一个面上的所有点的振幅除以中心点的振幅，所有点的相位减去中心点的相位。

下次迭代时，以归一化的值作为下次的迭代初值进行迭代。

第八步：自再现判据

将

代入迭代公式，求出 ，归一化后再代入迭代公式求出

，计算按此过程循环，直到求得一个稳定状态为止，即将这种迭代一直进行到

和 只相差一个与坐标无关的常数因子为止。

三． 结果与讨论

1. 渡越次数对场分布的影响：

上图分别为渡越次数为1和100时的二维场分布情况。均匀平面波在经过第一次渡越后，场的振幅与相位分布曲线起伏得很厉害，处于极不稳定的状态。随着渡越次数的增加，这种变化越来越小。场的振幅和相位分布越来越趋于稳定。在经过100次渡越后，场的振幅和相位分布逐渐趋向一个稳定的分布，但仍存在一定的不稳定误差。

)','(1y x u )','(3y x u ),(2y x u 1 q u q u