(完整版)球的体积公式的推导
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球的体积公式的证明
已知球的半径为R,用V表示球的体积.
A
A
r3
O
C2
r2
B2
O
r1
r1
R2 R,
r2
R2 (R)2 , n
r3
R2 (2R)2 . n
球的体积 A
ri
O
R (i 1) n
R
O
第i层“小圆片”下底面的半径：
ri
R2 [ R (i 1)]2 , i 1,2, n. n
3
球的体积
在球的体积公式的推导过程中，使用了“分 割、求近似值、再将近似值转化为球的体积” 的方法：
即先将半径 n 等分；再求出每一部分体积的 近似值，并将这些近似值相加，得出半球的近 似体积；当 n 无限变大时，就可得到半球的体 积．
球的体积
ri
R2 [ R (i 1)]2 , i 1,2,, n n
Vi
ri 2
R n
R3
n
[1 (i 1)2 ], i n
1,2, n
V半球 V1 V2 Vn
R3
n
{1
[1
1 n2
]
[1
22 n2
]
[1
(n
1)2 n2
]}
R3
n
[n
Hale Waihona Puke Baidu
12
22
n2
(n
1)2
]
R3
n
[n
1 n2
(n
1)
n 6
(2n
1) ]
12 22 (n 1)2 (n 1)n(2n 1)
6
R3[1
1 n2
(n
1)(2n 6
1) ]
球的体积
(1 1 )(2 1 )
V半球 R 3 [1
n
n]
6
当n 时, 1 0. n
V半 球
2 R3
3
从而V 4 R3 .
3
定理：半径是R的球的体积为：V 4 R3
已知球的半径为R,用V表示球的体积.
A
A
r3
O
C2
r2
B2
O
r1
r1
R2 R,
r2
R2 (R)2 , n
r3
R2 (2R)2 . n
球的体积 A
ri
O
R (i 1) n
R
O
第i层“小圆片”下底面的半径：
ri
R2 [ R (i 1)]2 , i 1,2, n. n
3
球的体积
在球的体积公式的推导过程中，使用了“分 割、求近似值、再将近似值转化为球的体积” 的方法：
即先将半径 n 等分；再求出每一部分体积的 近似值，并将这些近似值相加，得出半球的近 似体积；当 n 无限变大时，就可得到半球的体 积．
球的体积
ri
R2 [ R (i 1)]2 , i 1,2,, n n
Vi
ri 2
R n
R3
n
[1 (i 1)2 ], i n
1,2, n
V半球 V1 V2 Vn
R3
n
{1
[1
1 n2
]
[1
22 n2
]
[1
(n
1)2 n2
]}
R3
n
[n
Hale Waihona Puke Baidu
12
22
n2
(n
1)2
]
R3
n
[n
1 n2
(n
1)
n 6
(2n
1) ]
12 22 (n 1)2 (n 1)n(2n 1)
6
R3[1
1 n2
(n
1)(2n 6
1) ]
球的体积
(1 1 )(2 1 )
V半球 R 3 [1
n
n]
6
当n 时, 1 0. n
V半 球
2 R3
3
从而V 4 R3 .
3
定理：半径是R的球的体积为：V 4 R3