高中数学解题方法系列:不等式放缩
高中数学解题方法系列:不等式放缩
证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种:
一 利用重要不等式放缩
1. 均值不等式法
例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n Λ求证.2
)1(2)1(2+<<+n S n n n 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k Λ=+=
2121)1(+=++<+ 1∑∑==+<<∴n k n n k k S k , 即.2 )1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n 注:①应注意把握放缩的“度”:上述不等式右边放缩用的是均值不等式 2b a ab +≤,若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(21 +>++=+<∑=n n n k S n k n ,就放过“度”了! ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里 n a a n a a a a a a n n n n n n 22111111++≤++≤≤++ΛΛΛΛ 其中,3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。 例2 已知函数bx a x f 211)(?+=,若5 4)1(=f ,且)(x f 在[0,1]上的最小值为21,求证:.212 1)()2()1(1-+>++++n n n f f f Λ(02年全国联赛山东预赛题) 简析 )2211()()1()0(2 2114111414)(?->++?≠?->+-=+=n f f x x f x x x x Λ .212 1)21211(41)2211()2211(112-+=+++-=?-++?-++-n n n n n ΛΛ 例3 已知b a ,为正数,且111=+b a ,试证:对每一个*∈N n ,1222)(+-≥--+n n n n n b a b a .(88年全国联赛题) 简析 由111=+b a 得b a ab +=,又42)11)((≥++=++a b b a b a b a ,故4≥+=b a ab ,而n n n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+--ΛΛ110)(, 令n n n b a b a n f --+=)()(,则)(n f =1111----++++n n n r r n r n n n ab C b a C b a C ΛΛ, 因为i n n i n C C -=,倒序相加得 )(2n f =)()()(111111b a ab C b a b a C ab b a C n n n n r n r r r n r n n n n -------+++++++ΛΛ, 而12 11112422+------=?≥≥+==+==+n n n n n n r n r r r n n n b a b a ab b a b a ab b a ΛΛ,则)(2n f =))(22())((11r r n r n r n r r n r n r n n r n n b a b a b a b a C C C -----+-=+++++ΛΛ?-≥)22(n 12+n ,所以)(n f ?-≥)22(n n 2,即对每一个*∈N n , 1222)(+-≥--+n n n n n b a b a . 不等式 要求层次 重难点 一元二次不等式 C 解一元二次不等式 (一) 知识容 1.含有一个未知数,且未知数的最高次数为2的整式不等式,叫做一元二次不等式. 一元二次不等式的解集,一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表(以0a >为例): 有关含有参数的一元二次不等式问题,若能把不等式转化成二次函数或二次方程,通过根的判别式或数形结合思想,可使问题得到顺利解决.其方法大致有:①用一元二次方程根的判别式,②参数大于最大值或小于最小值,③变更主元利用函数与方程的思想求解. 判别式 24b ac ?=- 0?> 0?= 0?< 二次函数 2y ax bx c =++ (0)a >的图象 一元二次方程 2 0ax bx c ++= (0)a ≠的根 有两相异实根 12,x x = 242b b ac a -±- 12()x x < 有两相等实根 122b x x a ==- 没有实根 一元二次不等式的解集 2 0ax bx c ++> (0)a > {1 x x x < 或}2x x > {R x x ∈,且 2b x a ?≠- ?? 实数集R 20ax bx c ++< (0)a > {}1 2x x x x << ? ? 例题精讲 高考要求 板块一:解一元二次不等式 解不等式 (二)主要方法 1.解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式,然后求出对应方程的根(若有根的话),再写出不等式的解:大于0时两根之外,小于0时两根之间; 2.分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理; 3.高次不等式主要利用“序轴标根法”解. (三)典例分析: 1.二次不等式与分式不等式求解 【例1】 不等式 1 12 x x ->+的解集是 . 【变式】 不等式2230x x --+≤的解集为( ) A .{|31}x x x -或≥≤ B .{|13}x x -≤≤ C .{|31}x x -≤≤ D .{|31}x x x -或≤≥ 【变式】 不等式 25 2(1)x x +-≥的解集是( ) A .132? ?-??? ? , B .132??-????, C .(]11132??????U ,, D .(]11132?? -???? U ,, 2.含绝对值的不等式问题 【例2】 已知n *∈N ,则不等式 220.011 n n -<+的解集为( ) A .{}|199n n n *∈N ≥, B .{}|200n n n *∈N ≥, C .{}|201n n n *∈N ≥, D .{}|202n n n *∈N ≥, 【例3】 不等式 1 11 x x +<-的解集为( ) A .{}{}|01|1x x x x <<>U B .{}|01x x << C .{}|10x x -<< D .{}|0x x < 【变式】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集,则实数a 的取值围是 _. 【例4】 若不等式1 21x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立,则实数a 的最大值是_________. 【例5】 若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有123,,,则b 的取值围为 . 3.含参数不等式问题 【例6】 若关于x 的不等式22840x x a --->在14x <<有解,则实数a 的取值围是( ) A .4a <- B .4a >- C .12a >- D .12a <- 【变式】 ⑴已知0a <,则不等式22230x ax a -->的解集为 . ⑵若不等式897x +<和不等式220ax bx +->的解集相同,则a b -=______. 第三章不等式 定义:用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。 3-1 不等式的最基本性质 ①对称性:如果x>y,那么y<x;如果y<x,那么x>y; ②传递性:如果x>y,y>z;那么x>z; ③加法性质;如果x>y,而z为任意实数,那么x+z>y +z; ④乘法性质:如果x>y,z>0,那么xz>yz;如果x>y,z<0,那么xz<yz;(符号法则) 3-2 不等式的同解原理 ①不等式F(x)<G(x)与不等式G(x)>F(x)同解。 ②如果不等式F (x ) < G (x )的定义域被解析式H ( x )的定义域所包含,那么不等式 F (x )<G (x )与不等式F (x )+H (x )<G (x )+H (x )同解。 ③如果不等式F (x )<G (x ) 的定义域被解析式H (x )的定义域所包含,并且H (x )>0,那么不等式F(x)<G (x )与不等式H (x )F (x )<H ( x )G (x ) 同解;如果H (x )<0,那么不等式F (x )<G (x )与不等式H (x)F (x )>H (x )G (x )同解。 ④不等式F (x )G (x )>0与不等式 0)x (G 0)x (F >>或0)x (G 0)x (F <<同解 不等式解集表示方式 F(x)>0的解集为x 大于大的或x 小于小的 F(x)<0的解集为x 大于小的或x 小于大的 3-3 重要不等式 3-3-1 均值不等式 1、调和平均数: )a 1...a 1a 1(n H n 21n +++= 2、几何平均数: n 1 n 21n )a ...a a (G = 3、算术平均数: n )a a a (A n 21n +++= 4、平方平均数: n )a ...a a (Q 2n 2221n +++= 这四种平均数满足Hn ≤Gn ≤An ≤Qn a1、a2、… 、an ∈R +,当且仅当a1=a2= … =an 时取“=”号 3-3-1-1均值不等式的变形 (1)对正实数a,b ,有2ab b a 22≥+ (当且仅当a=b 时 取“=”号) 不等式训练1 A 一、选择题(六个小题,每题5分,共30分) 1.若02522 >-+-x x ,则221442-++-x x x 等于( ) A .54-x B .3- C .3 D .x 45- 2.函数y =log 2 1(x +11+x +1) (x > 1)的最大值是 ( ) A .-2 B .2 C .-3 D .3 3.不等式x x --213≥1的解集是 ( ) A .{x| 43≤x ≤2} B .{x|4 3≤x <2} C .{x|x >2或x ≤43} D .{x|x <2} 4.设a >1>b >-1,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A .b a 11< B . b a 11> C .a >b 2 D .a 2>2b 5.如果实数x,y 满足x 2+y 2=1,则(1-xy) (1+xy)有 ( ) A .最小值 21和最大值1 B .最大值1和最小值4 3 C .最小值43而无最大值 D .最大值1而无最小值 6.二次方程x 2+(a 2+1)x +a -2=0,有一个根比1大,另一个根比-1小, 则a 的取值范围是 ( ) A .-3<a <1 B .-2<a <0 C .-1<a <0 D .0<a <2 二、填空题(五个小题,每题6分,共30分) 1.不等式组? ??->-≥32x x 的负整数解是____________________。 2.一个两位数的个位数字比十位数字大2,若这个两位数小于30, 则这个两位数为____________________。 3.不等式0212<-+x x 的解集是__________________。 4.当=x ___________时,函数)2(22x x y -=有最_______值,其值是_________。 5.若f(n)=)(21)(,1)(,122N n n n n n n g n n ∈= --=-+?,用不等号 连结起来为____________. 2019年高二第一学期数学教学计划教学进 度表 第1周 数学必修2:立体几何 1.1空间几何体的结构1.2空间几何体的三视图和直观图(1)(2) 第2周 1.2空间几何体的三视图和直观图(1)(2) 第3周 1.3表面积体积空间几何体的复习(1)(2) 第4周 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系(1)(2)(3)(4)(单元检测) 第5周 2.2直线、平面平行的判定及其性质(1)(2)(3)(4) 第6周 2.3直线、平面垂直的判定及其性质(1)(2)(3)(4)(单元检测) 第7周 2.3直线、平面垂直的判定及其性质(4) 空间点、线、面复习(月考) 第8周 选修2-1:空间向量 第三章3.1空间向量及其运算 第9周 空间向量及其运算3.2立体几何中的向量方法 第10周 期中考试 第11周 空间向量复习(单元检测) 第12周 第一章常用逻辑用语: 1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件 第13周 1.3简单的逻辑连结词1.4全称量词与存在量词 第14周 常用逻辑用语复习(2课时)2.1椭圆(3课时) 第15周 2.1椭圆(3课时)2.2双曲线(2课时) 第16周 2.2双曲线(2课时)2.3抛物线(3课时) 第17周 2.3抛物线(1课时)2.4直线与圆锥曲线的位置关系(3课时) 第18周 曲线与方程(2课时)复习(单元检测) 第19周 总复习 第20周 要练说,先练胆。说话胆小是幼儿语言发展的障碍。不少幼儿当众说话时显得胆怯:有的结巴重复,面红耳赤;有的声音极低,自讲自听;有的低头不语,扯衣服,扭身子。总之,说话时外部表现不自然。我抓住练胆这个关键,面向全体,偏向差生。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话时,我总是笑脸相迎,声音亲切,动作亲昵,消除幼儿畏惧心理,让他能主动的、无拘无束地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。或在课堂教学中,改变过去老师讲学生听的传统的教学模式,取消了先举手后发言的约束,多采取自由讨论和谈话的形式,给每个幼儿较多的当众说话的机会,培养幼儿爱说话敢说话的兴趣,对一些说话有困难的幼儿,我总是认真地耐心地听,热情地帮助和鼓励他把话说完、说好,增强其说话的勇气和把话说好的信心。三是要提明确的说话要求,在说话训练中不断提高,我要求每个幼儿在说话时要仪态大方,口齿清楚,声音响亮,学会用眼神。对说得好的幼儿,即使是某一方面,我都抓住教育,提出表扬,并要其他幼儿模仿。长期坚持,不断训练,幼儿说话胆量也在不断提高。期末考试 1、设恒成立的c的取值范围是 A.B.C.D. 2、设,且(其中),则M的取值范围是A.B.C.D. 3、若实数、满足,则的取值范围是 A.B.C.D. 4、已知,,,则的最小值是() (A)(B)4(C)(D) 5、若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分,则的值是 (A)(B)(C)(D) 6、已知,若在上恒成立,则实数的取值范围是() A.B.C.D. 7、已知正实数满足,则的最小值为。 8、如图,目标函数可行域为四边形(含边界),若是该目标函数的最优解,则的取值范围是() (A)(B)(C)(D) 的最大值与最小值之和为 9、函数,当时,恒成立,则 D. 10、已知正数满足,则的最小值为 A.3B.C.4D. 11、二次函数轴两个交点的横坐标分别为。(1)证明:;(2)证明:; (3)若满足不等式的取值范围。 12、设满足约束条件,若目标函数的最大值为10,则的最小值为. 13、已知对任意实数x,二次函数f(x)=ax2+bx+c恒非负,且a 弹性学制数学讲义 不等式(4课时) ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①(对称性)a b b a >?> ②(传递性),a b b c a c >>?> ③(可加性)a b a c b c >?+>+ (同向可加性)d b c a d c b a +>+?>>, (异向可减性)d b c a d c b a ->-?<>, ④(可积性)bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a <>0, ⑤(同向正数可乘性)0,0a b c d ac bd >>>>?> (异向正数可除性)0,0a b a b c d c d >><> ⑥(平方法则) 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦(开方法则)0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧(倒数法则) b a b a b a b a 110;110>?<< >> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈,,(当且仅当a b =时取""=号). 变形公式:22 .2a b ab +≤ ②(基本不等式) 2a b ab +≥ ()a b R +∈,,(当且仅当a b =时取到等号). 变形公式: 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”. ③(三个正数的算术—几何平均不等式) 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、(当且仅当a b c ==时取到等号). ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈, (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑥0,2b a ab a b >+≥若则(当仅当a=b 时取等号) 0,2b a ab a b <+≤-若则(当仅当a=b 时取等号) ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1,(其中000)a b m n >>>>,, 规律:小于1同加则变大,大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时,或 22. x a x a a x a -<< ⑨绝对值三角不等式 . a b a b a b -≤±≤+ 3、几个著名不等式 ①平均不等式:22 11222a b a b ab a b --++≤≤≤+,,a b R +∈(,当且仅当a b =时取 ""=号). (即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均). 变形公式: 教学计划高中数学 教学计划(课程计划)是课程设置的整体规划,以下是整理的关于教学计划高中数学,欢迎阅读参考。 我以前一直是在教文科班的数学,这学期对于我来说,面临着挑战,因为本学期我接手了两个理科班。以前我带的始终是文科班,对于文科班的学生的情况比较理解,但对于理科班来说,我不知道他们对学习会有怎样的想法与做法。针对这种情况,我制定了如下的高中数学教学计划: 一、指导思想 在学校、数学组的领导下,严格执行学校的各项教育教学制度和要求,认真完成各项任务,严格执行“三规”、“五严”。利用有限的时间,使学生在获得所必须的基本数学知识和技能的同时,在数学能力方面能有所提高,为学生今后的发展打下坚实的数学基础。 二、教学措施 1、以能力为中心,以基础为依托,调整学生的学习习惯,调动学生学习的积极性,让学生多动手、多动脑,培养学生的运算能力、逻辑思维能力、运用数学思想方法分析问题解决问题的能力。精讲多练,一般地,每一节课让学生练习20分钟左右,充分发挥学生的主体作用。 2、坚持每一个教学内容集体研究,充分发挥备课组集体的力量,精心备好每一节课,努力提高上课效率。调整教学方法,采用新的教学模式。 3、脚踏实地做好落实工作。当日内容,当日消化,加强每天、每月过关练习的检查与落实。坚持每周一周练,每章一章考。通过周练重点突破一些重点、难点,章考试一章的查漏补缺,章考后对一章的不足之处进行重点讲评。 4、周练与章考,切实把握试题的选取,切实把握高考的脉搏,注重基础知识的考查,注重能力的考查,注意思维的层次性(即解法的多样性),适时推出一些新题,加强应用题考察的力度。每一次考试试题坚持集体研究,努力提高考试的效率。 5.注重对所选例题和练习题的把握: 6.周密计划合理安排,现数学学科特点,注重知识能力的提高,提升综合解题能力,加强解题教学,使学生在解题探究中提高能力. 7.多从“贴近教材、贴近学生、贴近实际”角度,选择典型的数学联系生活、生产、环境和科技方面的问题,对学生进行有计划、针对性强的训练,多给学生锻炼各种能力的机会,从而达到提升学生数学综合能力之目的.不脱离基础知识来讲学生的能力,基础扎实的学生不一定能力强.教学中不断地将基础知识运用于数学问题的解决中,努力提高学生的学科综合能力. 三、对自己的要求——落实教学的各个环节 1.精心上好每一节课 备课时从实际出发,精心设计每一节课,备课组分工合作,利用集体智慧制作课件,充分应用现代化教育手段为教学服务,提高四十五分钟课堂效率。 第二讲 解不等式(一) 一、知识梳理 (一)考点目标定位 高考中解不等式主要涉及到一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)、分式不等式(组)、绝对值不等式(组)、指数不等式(组)、对数不等式(组)、三角不等式(组)以及含参数的不等式等。其中尤以一元二次不等式、分式不等式、对数不等式、三角不等式为热门。 解不等式在高考中的题型主要是在综合题中作为解题的一个步骤有所涉及,在填空题中和集合结合为简单题型。 (二)复习方略指南 熟悉各种不等式的解题方法,特别是要注意分式不等式、对数不等式和三角不等式的定义域情况以及一元二次不等式的判别式情况。 二、知识回顾 1、不等式|2x 2-1|≤1的解集为 {x |-1≤x ≤1} 2、已知全集U R =,集合{}240M x x =-≤,则U M e= {} ()()+∞-∞--<>,22,22 或或x x x 3、不等式09 311421 2≥-x x 的解集为______(,3][2,)-∞-+∞_________ 4、不等式3 2-+x x x )(<0的解集为 ()(),20,3-∞- 5、不等式()210ax ab x b +++>的解集为{}12x x <<,则a b +=___- 23或-3____. 解析:∵ax 2+(ab +1)x +b >0的解集为{x |1<x <2}, ∴???? ?????==+-<.2310a b a ab a ,,解得?????-=-=121b a ,或???-=-=.21b a , ∴a +b =-23或-3. 6、不等式||52||1 x x ->-+的解集是 (1)(1-???,, . 三、典型例题 例1、解不等式:()R a x a ax ∈+<+2 1 解:原不等式化为()112-<-a x a 当1,1+<>a x a 有时; 当11+>-x x 解一:原不等式可化为??????<<-?∈<<-?∈-<-222223022x R x x R x x 高一上教学进度周次节次教学内容(包括复习,测试等安排) 11集合的含义及其表示2子集,全集,补集 1交集,并集 21习题课 1一元二次不等式的解法 1简单高次不等式及分式不等式的解法1简单绝对值不等式的解法 1复习课 32函数的概念和图像1函数的概念和图像2函数的表示方法 42函数的简单性质2函数的简单性质1映射的概念 52函数习题课 1二次函数图像、概念和性质 61二次函数在给定区间上的最值问题2分数指数幂 71指数函数3指数函数1对数 81对数 1对数函数2对数函数1幂函数 92习题课 1简单复合函数的研究2简单复合函数的研究 101二次函数与一元二次方程1用二分法求方程的近似解2函数模型及其应用 1习题课 112复习与期中考试 121任意角 1弧度制 1习题课(角范围的表示) 1任意角的三角函数的概念 1三角函数线(补充简单的三角不等式) 131同角三角函数的基本关系1同角三角函数的基本关系2诱导公式 1习题课 141三角函数的周期性 1正、余弦函数的图象及五点法 1正、余弦函数的性质(补充对称性)1正、余弦函数的性质习题课 1正切函数的图象与性质 151习题课 2函数y=Asin(ωx+φ)的图像2三角函数的应用 161向量的概念及其表示1向量的加法 1向量的减法 2向量的数乘 172习题课 1平面向量的基本定理 1平面向量的座标表示及运算1向量平行的座标表示 181向量的数量的概念 1向量数量积的座标表示1习题课 1复习与小结 191两角和与差的余弦 2两角和与差的正弦 1习题课(补asinx+bcosx的内容) 1两角和与差的正切 201 习题课 2二倍角的三角函数,明确降幂公式1 习题课 1 几个三角恒等式 三角函数的化简、求值和证明 不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a >b,则 ( ) (A )a 2>b 2 (B )a b <1 (C )lg(a -b)>0 (D )(21)a <(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) (A )lgx+log x 10≥2(x >1) (B ) a 1+a ≥2 (a ≠0) (C )a 1<b 1(a >b) (D )a 21+t ≥a t (t >0,a >0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11)(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a -b -1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n -n , ?(n )= n 21, g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n ) 第三章 不等式 一、选择题 1.已知x ≥2 5 ,则f (x )=4-25+4-2x x x 有( ). A .最大值45 B .最小值4 5 C .最大值1 D .最小值1 2.若x >0,y >0,则221+)(y x +221 +)(x y 的最小值是( ). A .3 B . 2 7 C .4 D . 2 9 3.设a >0,b >0 则下列不等式中不成立的是( ). A .a +b + ab 1≥22 B .(a +b )( a 1+b 1 )≥4 C 22 ≥a +b D . b a ab +2≥ab 4.已知奇函数f (x )在(0,+∞)上是增函数,且f (1)=0,则不等式x x f x f ) ()(--<0 的解集为( ). A .(-1,0)∪(1,+∞) B .(-∞,-1)∪(0,1) C .(-∞,-1)∪(1,+∞) D .(-1,0)∪(0,1) 5.当0<x <2 π时,函数f (x )=x x x 2sin sin 8+2cos +12的最小值为( ). A .2 B .32 C .4 D .34 6.若实数a ,b 满足a +b =2,则3a +3b 的最小值是( ). A .18 B .6 C .23 D .243 7.若不等式组?? ? ??4≤ 34 ≥ 30 ≥ y x y x x ++,所表示的平面区域被直线y =k x +34分为面积相等的两部分,则k 的值是( ). A . 7 3 B . 37 C . 43 D . 34 8.直线x +2y +3=0上的点P 在x -y =1的上方,且P 到直线2x +y -6=0的距离为 高中数学基本不等式的巧用 1.基本不等式:ab ≤a +b 2 (1)基本不等式成立的条件:a >0,b >0. (2)等号成立的条件:当且仅当a =b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R );(2)b a +a b ≥2(a ,b 同号);(3)ab ≤? ?? ??a +b 22(a ,b ∈R ); (4)a 2+b 22≥? ?? ??a +b 22(a ,b ∈R ). 3.算术平均数与几何平均数 设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为a +b 2,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为两个 正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y >0,则 (1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,x +y 有最小值是2p .(简记:积定和最小) (2)如果和x +y 是定值p ,那么当且仅当x =y 时,xy 有最大值是p 24.(简记:和定积最大) 一个技巧 运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如a 2+b 2≥2ab 逆用就是22 ?? ??a +b 22(a ,b >0)等.还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等. 两个变形 (1)a 2+b 22≥? ?? ??a +b 22≥ab (a ,b ∈R ,当且仅当a =b 时取等号); a +b 这两个不等式链用处很大,注意掌握它们. 三个注意 (1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽 视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可. (2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件. (3)连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1x 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知54x <,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二:凑系数 例1. 当时,求(82)y x x =-的最大值。 技巧三: 分离 例3. 求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。 。 技巧四:换元 技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数()a f x x x =+ 的单调性。例:求函数224y x =+的值域。 练习.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值. (1)231,(0)x x y x x ++=>(2)12,33 y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 2.已知01x <<,求函数(1)y x x = -.;3.203 x <<,求函数(23)y x x =-. 条件求最值 1.若实数满足2=+b a ,则b a 33+的最小值是. 变式:若44log log 2x y +=,求11x y +的最小值.并求x ,y 的值 技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。。 2:已知0,0x y >>,且191x y +=,求x y +的最小值。 人教版高中数学教学计划:人教版高中数学 进度安排教 人教版高中数学教学计划高中数学教学计划(一): 新学期已经开始,在学校工作总体思路的指导下,现将本学期数学组工作进行规划、设想,力争使本学期的工作扎实有效,为学校的发展做出新的贡献。 一、指导思想以学校工作总体思路为指导,深入学习和贯彻新课程理念,以教育教学工作为重点,优化教学过程,提高课堂教学质量。结合数学组工作实际,用心开展教育教学研究活动,促进教师的专业发展,学生各项素质的提高,提高数学组教研工作水平。 二、工作目标1、加强常规教学工作,优化教学过程,切实提高课堂教学质量。 2、加强校本教研,用心开展教学研究活动,鼓励教师根据教学实际开展教学研究,透过撰写教学反思类文章等促进教师的专业化发展。 3、掌握现代教育技术,用心开展网络教研,拓展教研的深度与广度。 4、组织好学生的数学实践活动,以调动学生学习用心性,丰富学生课余生活,促进其全面发展。 三、主要工作1、备课做好教学准备是上好课的前提,本学期要求每位教师做好教案、教学用具、作业本等准备,以良好的精神状态进入课堂。备课是上好课的基础,本学期数学组仍采用年级组群众备课形式,要求教案尽量做到环节齐全,反思具体,有价值。群众备课时,所有教师务必做好准备,每个单元负责教师要提前安排好资料及备课方式,对于教案中修改或补充的资料要及时地在旁边批注,电子教案的可在旁边用红色批注(发布学校网数学组板块内),使群众备课不流于形式,每节课前都要做到课前的“复备”。 每一位教师在个人研究和群众备课的基础上构成适合自我、实用有效的教案,更好的为课堂教学服务。各年级组每月带给单元备课活动记录,在规定的群众备课时间,教师无特殊原因不得缺席。 提高课后反思的质量,提倡教学以后将课堂上精彩的地方进行实录,以案例形式进行剖析。对于原教案中不合理的及时记录,结合课堂重新修改和设计,同年级教师能够共同反思、共同提高,为以后的教学带给借鉴价值。数学教师每周反思不少于2次,每学期要有1-2篇较高水平的反思或教学案例,及时发布在向学校网上,学校将及时进行评审。 教案检查分平时抽查和定期检查两种形式,“推门课”后教师要及时带给本节课的教案,每月26号为组内统一检查教案时间,每月检查结果将公布在学校网数学组板块中的留言板中。 2、课堂教学课堂是教学的主阵地。教师不但要上好公开课,更要上好每一天的“常规课”。遵守学校教学常规中对课堂教学的要求。 高中数学不等式综合测试题 一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.共60分) 1.(文)设a b <,c d <,则下列不等式中一定成立的是( ) A .d b c a ->- B .bd ac > C .d b c a +>+ D .c b d a +>+ (理)已知a <0,-1> B .2ab ab a >> C .2ab ab a >> D .2 ab a ab >> 2.“0>>b a ”是“2 2 2b a ab +<”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 3.(文)关于x 的不等式(1)ax b a ><-的解集为( ) A .R B .φ C .),(+∞a b D .(,)b a -∞ (理)不等式b ax >的解集不可能...是( ) A .φ B .R C .),(+∞a b D .),(a b --∞ 4.不等式022>++bx ax 的解集是)3 1,21(-,则b a -的值等于( ) A .-14 B .14 C .-10 D .10 5.(文)不等式|1|2x -<的解集是( ) A .{|03}x x ≤< B .{|22}x x -<< C .{|13}x x -<< D .{|1,3}x x x <-> (理)不等式||x x x <的解集是( ) A .{|01}x x << B .{|11}x x -<< C .{|01x x <<或1}x <- D .{|10,1}x x x -<<> 6.(文)若0b a <<,则下列结论不正确... 的是( ) A . 11a b < B .2b ab < C .2>+b a a b D .||||||b a b a +>+ (理)若011<+b a a b D .||||||b a b a +>+ 7.若13)(2+-=x x x f ,12)(2-+=x x x g ,则)(x f 与)(x g 的大小关系为( ) A .)()(x g x f > B .)()(x g x f = C .)()(x g x f < D .随x 值变化而变化 8.下列各式中最小值是2的是( ) A .y x +x y B .4 5 22++x x C .tan x +cot x D .x x -+22 9.下列各组不等式中,同解的一组是( ) A .02>x 与0>x B .01 )2)(1(<-+-x x x 与02<+x C .0)23(log 2 1>+x 与123<+x D .112≤--x x 与112≤--x x 10.(文)如果a x x >+++|9||1|对任意实数x 总成立,那么a 的取值范围是( ) A .}8|{a a C .}8|{≥a a D .}8|{≤a a 川师大四中高二上学期数学教学工作计划 一、指导思想: 全面贯彻教育方针,深入实施素质教育,使学生在高一学习的基础上,进一步体会数学对发展自己思维能力的作用,体会数学对推动社会进步和科学发展的意义以及数学的文化价值,提高数学素养,以满足个人发展与社会进步的需要。 二、学生情况分析: 高二文科班学生,学习数学的气氛不浓、基础比较差。由于学生对学过的知识内容不及时复习,致使对高二的数学学习有很大的影响,高一数学成绩充分反映没有尖子生,成绩特差的学生也有不少,有一批思维灵活的学生,但学习不够刻苦,学习成绩一般,但有较大的潜力,以后好好的引导,进一步培养他们的学习兴趣,从而带动全班同学的学习热情,提高学生的数学成绩。 三、本学期应达到的教学目标: 本学期本着从学生的实际出发,认真落实新课程的标准,认真体会新教材的要求,使自己的教学水平有长足的进步。本学期努力提高期末考试的优秀率和合格率,同时也重视培养学生的应试能力和对学科的兴趣,改善学生的学习习惯,全面落实基础,使学生的能力有较大的提高。达到以下目标: (1)通过分析问题的方法的教学,培养学生的学习的兴趣。 (2)提供生活背景,通过数学建模,让学生体会数学就在身边,培养学数学用数学的意识。 (3)在探究过程中,体验获得数学规律的艰辛和乐趣,在分组研究合作学习中学会交流、相互评价,提高学生的合作意识 (4)基于情感目标,调控教学流程,坚定学习信念和学习信心。 (5)还时空给学生、还课堂给学生、还探索和发现权给学生,给予学生自主探索与合作交流的机会,在发展他们思维能力的同时,发展他们的数学情感、学好数学的自信心和追求数学的科学精神。 四、教材分析和时间安排: 本学期教学内容为必修2第三章《直线与方程》、第四章《圆与方程》,必修3,选修1-2第一章《统计案例》,选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》。本学期课本内容多、难度大,又要迎接月考,期中和期末考试,正常的教学工作很难完成。针对这些具体情况,对本学期的教学进度安排如下: 高中数学必修(5)不等式专题检测 说明:本试卷分第一卷和第二卷两部分,第一卷50分,第二卷100分,共150分;答题时间120分钟。 第Ⅰ卷(选择题共50分) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(每小题5分,共50分). 1.若R c b a ∈,,,且b a >,则下列不等式一定成立的是 ( ) A .c b c a -≥+ B .bc ac > C . 02 >-b a c D .0)(2 ≥-c b a 2.若0< B .a b a 1 1>- C .3 131b a < D .3 2 3 2b a > 3.若关于x 的不等式m x x ≥-42 对任意]1,0[∈x 恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A .3-≤m B .3-≥m C .03≤≤-m D .03≥-≤m m 或 4.已知实数x ,y 满足x 2+y 2=1,则(1-xy )(1+xy )有 ( ) A .最小值 21 和最大值1 B .最小值 4 3 和最大值1 C .最小值21和最大值4 3 D .最小值1 5.设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, y y x x b +++=11, a 与b 的大小关系 ( ) A .a >b B .a ---x a x x 在内有解,则实数a 的取值范围是( ) A .4-a C .12->a D .12---x a 则实数a 的取值范围是 ( ) A .1||a D .2||1< 不等式的基本知识 一、解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集: 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、,ac b 42 -=?,则 不等式的解的各种情况如下表: 0>? 0=? 0 二次函数 c bx ax y ++=2 (0>a )的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2 >=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}2 1 x x x x x ><或 ???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ? ? 2、标根法:其步骤是: 1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正; 2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意奇穿过偶弹回; 3)根据曲线显现()f x 的符号变化规律,写出不等式的解集。()()()如:x x x +--<11202 3 3、分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0() () 0()()0;0()0() ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? 4、不等式的恒成立问题:常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 二、线性规划 1、用二元一次不等式(组)表示平面区域 二元一次不等式Ax +By +C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线) 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,),把它的坐标(y x ,)代入Ax +By +C ,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x 0,y 0),从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C >0表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当C ≠0时,常把原点作为此特殊点) 3、线性规划的有关概念: ①线性约束条件:在上述问题中,不等式组是一组变量x 、y 的约束条件,这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式,故又称线性约束条件. ②线性目标函数: 关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式,叫线性目标函数. ③线性规划问题: 一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题. ④可行解、可行域和最优解: 满足线性约束条件的解(x ,y )叫可行解. 由所有可行解组成的集合叫做可行域. 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解. 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤: 1)寻找线性约束条件,列出线性目标函数; 2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域; 3)依据线性目标函数作参照直线a x +b y =0,在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解高中数学解不等式方法+练习题
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