1-1 矩阵及其运算

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例4 已知两个线性变换
z1 z2
2 y1 y2 y2 2 y3
3
y3
,
y1 y2
3x2 x3 x1 x3
z3 y3
y3 3 x2
求从 x1, x2, x3 到 z1, z2, z3 的线性变换.
z1 2 1 3 y1
解
z2 z3
0 0
.
解 先计算低次幂, 观察特点.
A2
1 0
a1 1 0
a 1
1 0
2a 1
A3
A2 A
1 0
2a 1 1 0
a 1
1 0
3a 1
假设
Ak
1 0
ka 1
,
则wenku.baidu.com
Ak 1
Ak
A
1 0
ka 1 1 0
a 1
1 0
(k 1)a 1
因此
An
1 0
na 1
(2) 数与矩阵的乘积(数乘运算)
A 的负矩阵 A (1)A 矩阵的减法
B A B (A)
kA kaij mn
bij aij mn
• 矩阵的加法与数乘两种运算统称为矩阵的线性运算.
• 线性运算律
设 A, B, C 为同型矩阵, k, l 为数, 则成立
(1) A B B A;
a11 L
A M
am1
L
a1n
x1
b1
M , x M , b M
amn
xn
bm
称矩阵 A 为线性方程组的系数矩阵. 称矩阵
a11 L
( A,b) M
am1
L
a1n b1
M M
amn
bm
为线性方程组的增广矩阵. 当 b 0 时, 称方程组为齐次的;
当 b 0 时, 称方程组为非齐次的.
称矩阵 C (cij )mn 为矩阵 A 与 B 的乘积, 记为 C AB.
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• AB 中的(i, j)元为 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的乘积.
b1 j cij (ai1 ,L , ail ) M ai1b1 j L ailblj
blj
• 乘积 AB 存在时, 要求 A 的列数与 B 的行数相等.
0 M 0
2
M
0
L L
0
Mn
• 对角阵的运算性质
[diag (a1,L ,an )][diag (b1,L ,bn )] diag (a1b1,L ,anbn )
❖ 单位矩阵
1 0 L
E
0
M 0
1 M 0
L L
0
0 1M
(单位矩阵也用 I 记之)
• 单位矩阵的运算性质
Em Amn Amn , Amn En Amn
解2
A
1 2
(2,
3)
An
1 2
[(2,
3)
1 2
]n1
(2,
3)
8n1
1 2
(
2,
3)
8n1
A
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a 1 0
例7 设 A 0 a 1 , 求 An . >>>
0
0
a
解 A aE B, 其中
0 1 0
0 0 1
B 0
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设有两个线性变换
(1)
z1
a11 y1 L LLLL
a1l
yl
(2)
y1
b11 x1 L LLLL
b1n xn
zm am1 y1 L am l yl
yl bl1 x1 L bln xn
将(2)代入(1)得线性变换
(3)
z1
c11 x1 L LLL
L
c1n
xn
zm cm1 x1 L cmn xn
其中 cij ai1b1 j ai2b2 j L ailblj (i 1,L , m; j 1,L , n)
推导:
zi ai1(b11 x1 b12 x2 L b1n xn ) (ai1b11 ai2b21 L ailbl1 )x1
称矩阵 C (cij )mn 为矩阵 A 与 B 的乘积, 记为 C AB.
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1 2 3 6 4
例2 计算 2 0 1 3 5 .
3
4
1
7
8
1 2 3 6 4 解 2 0 1 3 5
3 4 1 7 8
1 6 2 3 3 (7) 1 4 2 (5) 3 8 2 6 0 3 1 (7) 2 4 0 (5) 1 8
❖ n 阶方阵
行数和列数都等于 n 的矩阵称为 n 阶方阵.
• 当标明方阵 A 的阶数时, 用 An 表示. ❖ 三角矩阵
上三角[矩]阵
下三角[矩]阵
a11 a12 L
0
M 0
a22 M
0
L L
a1n
a2n M
ann
a11 0 L
a21 M
an1
a22 M
an2
L L
0
0
M ann
y1 a11 x1 a12 x2 L LLLL
a1n xn
ym am1 x1 am2 x2 L amn xn
可写成矩阵形式
y1 a11 x1 a12 x2 L a1n xn
M
M
ym
am1
x1
am2
x2
L
amn
xn
利用矩阵乘法, 上式记为矩阵形式 y Ax, 其中
• 由 AB O, 不能断言 A O 或 B O.
❖ 乘法运算律 假设以下有关运算可行, 则成立
(1) ( AB)C A(BC); (2) A(B C) AB AC; ( A B)C AC BC;
(3) k( AB) (kA)B A(kB).
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• 线性变换
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❖ 方阵的幂
设 A 是方阵, 由 k 个 A 组成的乘积 A A, 称为方阵 A 的 k 次幂, 记为 Ak. 规定 A0 E.
• 方阵幂的性质 Ak Al Akl , ( Ak )l Akl
• 对角阵的幂
[diag (a1,L ,an )]k diag (a1k ,L , ank )
y1 a11 x1 a12 x2 L a1n xn
y2 a21 x1 a22 x2 L LLLL
a2n xn
ym am1 x1 am2 x2 L amn xn
a11 a12 L a1n
记
A
a21 M
am1
a22 M
am 2
L L
a2n M
amn
称矩阵 A 为线性变换的系数矩阵.
1 0
2
1
y2 y3
2 1 3 0 3 1 x1 1 3 3 x1
0
0
1 0
2 1 0
1
0
3
1 0
x2 x3
1 0
6 3
1 0
x2 x3
所求为
z1 z2
x1 3 x2 3 x3 x1 6 x2 x3
z3 3 x2
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am 2
L L
a1n
a2n M
amn
矩阵是一个整体, 总是加一括号.
称为 mn 矩阵, 并称 mn 为矩阵的型.
• aij : 矩阵的第 i 行第 j 列的元素, 简称 (i, j) 元. • 用粗体大写字母表示矩阵, 以上矩阵记为 A (aij).
• 当标明矩阵 A 的行列数时, 表示为 Amn , 或 (aij)mn .
• 很可能 AB 有意义, 而 BA 没有意义.
• 零矩阵的运算性质 A O A, A ( A) O, 0A O, kO O; Oml Aln Omn , AmlOln Omn
❖ 两矩阵的乘积
设 A (aik )ml , B (bkj )ln , 记
cij ai1b1 j ai2b2 j L ailblj (i 1,L , m; j 1,L , n)
y1
a11 L
y M, A M
ym
am1
L
a1n
x1
M , x M
amn
xn
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• 线性方程组
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1 LLLL
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm
可记为矩阵形式 Ax b, 其中
(1)
z1
a11 y1 L LLLL
a1l
yl
(2)
y1
b11 x1 L LLLL
b1n xn
zm am1 y1 L am l yl
yl bl1 x1 L bln xn
将(2)代入(1)得线性变换
(3)
z1
c11 x1 L LLL
L
c1n
xn
zm cm1 x1 L cmn xn
• 上(下)三角阵的乘积也是上(下)三角阵
a1 L
0
M 0
a2 M
0
L L
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b1 L
0
aMn
M 0
b2 M
0
L L
a1b1
bMn
0 M 0
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L a2b2 L
M 0L
结束
M anbn
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❖ 对角矩阵
1 0 L 0
Λ diag (1,2 ,L
,n )
3 6 4 3 (1) (7) 3 4 4 (5) (1) 8
9 18 19 0
37 16
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例3
设
A
1 0
2 0
,
B
2 1
4 2
,
计算
AB,
BA.
解
AB
0 0
0 0
,
BA
2 1
4 2
• 矩阵的乘法不满足交换律.
• 在 AB 中, 称用 A 左乘 B, 或称用 B 右乘 A.
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• 只有一行(列)的矩阵称为行(列)矩阵或行(列)向量. • 为避免元素间的混淆, 行矩阵 A (a1 a2 an) 也记为
A (a1,a2 ,L , an ) ❖ 相等矩阵
设 A (aij) 与 B (bij) 都是 mn 矩阵, 如果 aij bij (i 1,L , m; j 1,L , n)
其中 cij ai1b1 j ai2b2 j L ailblj (i 1,L , m; j 1,L , n)
• 线性变换(1)(3)的系数矩阵依次记为 A,B,C, 定义C AB.
❖ 两矩阵的乘积
设 A (aik )ml , B (bkj )ln , 记 cij ai1b1 j ai2b2 j L ailblj (i 1,L , m; j 1,L , n)
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例6
设
A
2 4
3 6
,
求
An
.
解1
A2
2 4
3 2 6 4
3 6
16 32
24 48
8
2 4
3 6
8
A
A3 A2A (8A)A 8A2 82 A
假设 Ak 8k1 A, 则
Ak1 Ak A (8k1 A)A 8k1 A2 8k A 因此 An 8n1 A.
解
A
2B
C
x 2u 7 2y
3 x
2v 4 y 4 v
由 A 2B C O, 得
x 2u 3 0 2v 4 0 7 2 y x 0 y4v0
解得 x 5, y 6, u 4, v 2.
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二、矩阵的乘法运算
设有从变元 x1, , xn 到变元 y1, , ym 的线性变换
(2) ( A B) C A (B C); (kl)A k(lA);
(3) k( A B) kA kB;
(k l)A kA lA.
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例1 设 A 2B C O, 其中
A
x 7
0 y
,
B
u y
v 2
,
C
3 x
4 v
求 x, y, u, v 的值.
ai2(b21 x1 b22 x2 L b2n xn ) (ai1b12 ai2b22 L ailbl2 )x2
L
L
ai l (bl1 x1 bl 2 x2 L bl n xn ) (ai1b1n ai2b2n L ailbln )xn
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设有两个线性变换
• 当方阵 A 与 B 可交换( AB BA )时, 有下列几个公式:
(1) ( AB)n AnBn;
n
(2) ( A B)n Cnr Anr Br ;
r0
(3) An Bn ( A B)( An1 An2B L Bn1).
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例5
设
A
1 0
a 1
,
求
An
那么称矩阵 A 与矩阵 B 相等, 记为 A B. ❖ 零矩阵
所有元素为 0 的矩阵称为零矩阵, 用 O 记之. 注: 不同型的零矩阵是不相等的.
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❖ 矩阵的线性运算
设 A (aij) 和 B (bij) 是 mn 矩阵, k 为数.
(1) 矩阵的加法运算
A B aij bij mn
§1.1 矩阵及其运算
一、矩阵及其线性运算 二、矩阵的乘法运算 三、矩阵的转置运算
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一、矩阵及其线性运算
❖ mn 矩阵 由 mn 个数 aij (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n) 排成的
m 行 n 列的矩形数表
a11 a12 L
a21 M
am1
a22 M