平衡格林函数法外文资料翻译

第一讲：平衡格林函数法

马克·贾雷尔

2004年8月16日

目录

1为什么研究格林函数？

2不同类型的格林函数

2.1迟缓格林函数、高等格林函数、含时格林函数和松原格林函数 (2)

2.2不同格林函数间的关系 (3)

2.3薛定谔定理、海森堡定理和互动表述关系 (4)

2.4时间指令和S-矩阵 (5)

2.5线性影响理论 (6)

3 微扰理论

3.1盖尔曼洛定理 (7)

3.2维克定理 (8)

1 为什么研究格林函数？

我们都了解凝聚态物理学家，化学家和材料研究系统学家定义研究的微观物理

学原理。这些系统理论包括所有的金属，分子，材料甚至是生命体本身。在原则上这些理论都取决于多维波动函数。

(1)

以下是SchrÄodinger 方程的解：

(2) ()i j V x x -表示的库伦的相互作用，此外在电子e 的部分可以因为外部放电而显

示，再纳入动能和外部电势U ，我们还需结合自旋，同位波功能在一起，这个公式就可以完整描述材料学研究的微观行为。

不过，这并不能帮我们解决多体问题。例如一个由复杂电子或者1021以上计算级或者由复杂分子所引起的问题。问题是，这些问题的复杂性增加指数不能明显相似，以上就使这类问题的计算变得更加艰巨。在非平衡的情况下或者复合材料在多体上的问题，使这类理论的积累能解决波函数在粒子作用下呈指数增长的问题。

在另一方面，实验测量的结果也趋近这些理论值。一个很好的粒子就是光电效应，在这个实验里验证的是电子导致光子弹出。它可以以测量角分辨电子态密度，同时验证在一个很好的近似（在某些矩阵元素被忽略）的情况下，它是正比于格林函数(,)r G k ω。

(3)

其中的(,)r G k 是傅里叶变换，

(4)

在其他例子中还包括发散磁化率，

(5)

在这里我们有随时间变化的两松原粒子作为对象的格林函数，在非弹性中子的散射有两粒子（密度）格林函数或者线性传导，都可以视为描述两粒子电流关系的格林函数。

在学习格林函数法的过程中，我们会慢慢了解到，它是最易于隔离问题的求解过程和相关部分，并结合出自由的相互作用（它们可以折叠到最初的格林函数的微扰，甚至许多非微扰办法）。

2 不同类型的格林函数

下面至少有两个其他类型的格林函数除了迟缓型格林函数和松原型格林函数。

图2：格林函数在无相互作用问题中的应用图示

其中包括的函数有高等格林函数a G 和时间格林函数c G .稍后我们我们将讨论非平衡的格林函数形式，并推出其他的两个函数形式。

2.1迟缓格林函数、高等格林函数、含时格林函数和松原格林函数

在如下连个运算中，Α和Β，格林函数的不同形式可以定义为：

(6)

(7)

(8)

和

其中T 表示的时间，并随着运算被转移走了，而且随后每次费米运算都伴随一次减法，在费米运算中的符号21ε=+和Bosonic 运算中的符号21ε=-，如

[...]ε表示的是一个反响的（费米因子）波色因子。请注意，每个格林函数的逆单位

н在两个运算ΑΒ都运算了多次，我们将选择常数使1H =。运算的次数将依赖于

与时间不管的哈密顿H 定理：

(10)

方括号表示统计学中的一个热平均运算/H e Z βρ-=。为了描述一个正规完善的理论我们需要用H N μ-代替H ，这样就可以计算所有的粒子的能量，我们这样做就可以为哈密顿定理证明对时间条件的依赖性。

既然如此，那么请问这些不同的格林函数的到底有什么意义呢？实际上，以上4个特殊函数中两个c G 和a G 没有任何的物理学意义。正如我们所看到的那一小节2.5，r G 已经不在有物理意义，即使它描述了线性定理和额外的峰值（既电压），

m G 的物理学意义只有在0τ或者极限是0的区域内，而正如我们接下来将在2.2展示

的，m G 和r G 是等价的，实际上，我们介绍a G 、c G 、m G 仅仅是为了计算方便，幸运的是我们，如果我们能优化计算，优先计算出c G 、a G 和m G 中的任意一个，我们一般都能计算出其他的，包括r G 。

2.2 不同格林函数间的关系

要建立这些不同的格林函数之间的关系，我们需要插入一个n n n ∑><和在小于

n 的区间的全哈米德H ，每个格林函数都会有类似的替代原则，如：

(11)

插入一个变元后，我们将得到：

(12)

我们来使用谱函数使

(13)

其中在0η=+是正无穷，同样

(14)

这样的Gr 和Ga 是伴随埃尔米特共轭因子1

()Im ()r A G ωωπ

=-，同样在时间性格林函

数，我们可以这样写

(15)

最后对松原格林函数，我们写成这样

(16)

当2((21))n n n T n T ωπωπ==+作为玻尔子（费米）m G ，由于它是反周期函数τ所以可以很容易的看出上述定义。

因此，如果我们知道a G c G m G r G 四个函数中的任意一个，我们就可以计算出谱函数()A ω，并由此计算剩余的格林函数。

2.3薛定谔定理、海森堡定理和互动表述关系定理

量子力学的三个不同表示通常由以下形式表出，0H H V

=+

其中

(17)

在处理平衡格林函数和非平衡格林函数问题时，我们将使用互动图片，独立

解决的时候零假设作为一个起点，我们对待（可能随时间变化五）作为微扰。

2.4时间指令和S 矩阵

我们的解题策略是从随时间演变的扰动0V =，为了解决问题我们假设0H H =，并假设到现在V 是有限的，则

(18)

因此，在随时间变化的相互左右的式子就变成

(19)

请注意，这不仅仅是iVt e -自0H 到H 的一般性运算，同样为了找到U ，我们计算

(20)

为了简化运算，我们定义一个S 矩阵'?'(;)()()S t t U t U t =,然后

(21)

这个方程可以得到一个迭代解法

(22)

其中120...n t t t t t >>>在这个n 次迭代运算中，为了写出这个简单的解析式，我

们除以这个n 次运算中的1/!n ，并考虑时间排列，当然这只会令我们一直都进行相同次数运算，只要我们做到这一点，我就可以引入算子T 的时间顺序，则得到

(23)

这个就是S 矩阵充当费曼-戴森扰动的起点理论。我们将在Sec.3.1这一点。

2.5线性影响理论