2015年高考数学(文)一轮课件：10-6双曲线

∴4b－2c＝2a，即c＝2b－a. 又c2＝a2＋b2， b 4 ∴ a ＋b ＝2b－a，整理得a＝3.
2 2
4 ∴双曲线的渐近线方程为y＝± 3x. 即4x± 3y＝0.
答案：(1)B (2)C
点评： 在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近 线方程，简化解题过程．同时要熟练掌握以下三方面内容：(1)已 知双曲线方程，求它的渐近线；(2)求已知渐近线的双曲线的方 b 程；(3)渐近线的斜率与离心率的关系，如k＝ ＝ a c2 2 2－1＝ e －1. a c2－a2 ＝ a
2b2 2b2 思维启迪：(1)AB为双曲线的通径，其长 a ，由 a ＝4a可求 解；(2)应用双曲线的定义可求解．
x2 y2 2b2 解析：(1)不妨设双曲线为 2－ 2＝1，则可得|AB|＝ ，于是 a b a 2b2 ＝4a，∴b2＝2a2，c2＝3a2，c＝ 3a， a c ∴e＝a＝ 3. (2)由已知：|PF2|＝|F1F2|＝2c，F2到直线PF1的距离为2a，易 求|PF1|＝4b. 由双曲线的定义|PF1|－|PF2|＝2a，
(2)1＋ 3
考点三
直线与双曲线的位置关系
【例3】 1.
在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x2－y2＝
(1)设F是C的左焦点，M是C右支上一点．若|MF|＝2 M的坐标；
2 ，求点
(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线 围成的平行四边形的面积； (3)设斜率为k(|k|< 2 )的直线l交C于P、Q两点．若l与圆x2＋y2＝ 1相切，求证：OP⊥OQ.
答案：
●一条规律 双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝ 条渐近线互相垂直． ●两种方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线 定义，确定2a、2b或2c，从而求出a2、b2，写出双曲线方程． 2 ⇔双曲线的两
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(2)待定系数法：先确定焦点是在x轴上还是在y轴上，设出标 准方程，再由条件确定a2、b2的值，即“先定型，再定量”；如 x2 y2 果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为 2 － 2 ＝λ(λ≠0)，再 m n 根据条件求λ的值．
答案：C
2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( A．2 B．2 2 C．4
) D．4 2
2 2 x y 解析：双曲线2x2－y2＝8的标准方程为 － ＝1，所以实轴 4 8
长2a＝4，故选C.
答案：C
x2 y2 3．设双曲线 2 － ＝1(a＞0)的渐近线方程为3x± 2y＝0，则a a 9 的值为( A．4 ) B．3 C．2 D．1
3 ∴|PF1|＝|F1F2|cos30° ＝ 2 |F1F2|. 1 |PF2|＝|F1F2|sin30° ＝ |F1F2|， 2 ∴双曲线的实轴长为 3－1 2a＝|PF1|－|PF2|＝ 2 |F1F2|， |F1F2| 2 ∴双曲线的离心率为e＝ ＝ ＝1＋ 3. 2a 3－1
答案：(1)A
－1＋b2－k2 ＝ . 2－k2 → → 由(*)知，OP· OQ＝0，所以OP⊥OQ.
答案：(1)M 2 6 ；(2) 4 ；(3)证明略． 2 ，± 2
点评：(1)直线与双曲线的位置关系和直线与椭圆的位置关系 有类似的处理方法，但要注意联立后得到的一元二次方程的二次 项系数能否为零． (2)当涉及直线与双曲线的交点在同一支或两支上时，在消元 时要注意消去范围为R的变量，为解决根据一元二次方程两根的 正负条件的问题打下基础．
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必考必记 夯基固本
1．双曲线的概念 1 ________等于常数 平面内到两定点F1，F2的距离之差的 □ (大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲 2 ______，两焦点间的距离叫□ 3 ______. 线的□
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数 且a＞0，c＞0}． 4 ______时，P点的轨迹是□ 5 __________； (1)当□ 6 ______时，P点的轨迹是□ 7 __________； (2)当□ 8 ______时，P点不存在． (3)当□
第十章 解析几何
第六节
双曲线
教材回归 自主学习
核心考点 引领通关
考题调研 成功体验
开卷速查 规范特训
【考点分析】
(1)考查双曲线的定义、标准方程和几何性
质；(2)考查直线与双曲线的位置关系，考查数形结合思想的应 用． 【复习指导】 (1)熟练掌握双曲线的定义和标准方程，理解
双曲线的基本量对图形、性质的影响；(2)理解数形结合思想，掌 握解决直线与双曲线问题的通法．
解析：设F(x，y)为轨迹上的任意一点， ∵A、B两点在以C、F为焦点的椭圆上， ∴|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a(其中a表示椭圆的长半轴 长)， ∴|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|， ∴|FA|－|FB|＝|CB|－|CA| ＝ 122＋92－ 122＋－52 ＝2，
2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 y2 － ＝1 a2 b2 (a＞0，b＞0) y2 x2 － ＝1 a2 b2 (a＞0，b＞0)
图形
3．等轴双曲线 22 □ __________等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程
23 ________，渐近线方程为 □ 24 为x2－y2＝λ(λ≠0)，离心率e＝ □ ________.
x2 y2 (2)设F1、F2分别为双曲线 a2 － b2 ＝1(a>0，b>0)的左、右焦 点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线 PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为 ( ) A．3x± 4y＝0 C．4x± 3y＝0 B．3x± 5y＝0 D．5x± 4y＝0
思维启迪：(1)对于双曲线中的坐标问题可运用方程思想解 之；(2)求出交点坐标，再应用三角形的面积公式求解；(3)利用 直线与圆相切，求出b的值，将直线方程与双曲线方程联立，利 用数量积的坐标运算、根与系数的关系等知识，以算代证．
x2 2 6 解析：(1)双曲线C： －y ＝1，左焦点F－ ，0 ， 1 2 2
∴|FA|－|FB|＝2<14. 由双曲线的定义知，F点在以A、B为焦点，2为实轴长的双 曲线的下支上，
2 x ∴点F的轨迹方程是y2－48＝1(y≤－1)．
2 x 答案：y2－48＝1(y≤－1)．
点评：双曲线的定义理解到位是解题的关键．应注意定义中 的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是双曲线的两支，还是双 曲线的一支．若是一支，是哪一支，以确保解答的正确性．
1．过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若 |PQ|＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是( A．28 C．14＋8 2 B．14－8 2 D．8 2 )
解析：由双曲线定义知， |PF2|－|PF1|＝4 2，|QF2|－|QF1|＝4 2， ∴|PF2|＋|QF2|－(|PF1|＋|QF1|)＝8 2. 又|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝7， ∴|PF2|＋|QF2|＝7＋8 2. ∴△PF2Q的周长为14＋8 2.
解析：(1)抛物线的焦点坐标为(3,0)， ∴据题意得b2＝5， ∴双曲线的渐近线方程为 5x± 2y＝0， 3 5 ∴该双曲线的焦点到其渐近线的距离为 2 2＝ 5. 5 ＋2 → → → (2)∵F1F2在F1P上的投影的大小恰好为|F1P|，
∴PF1⊥PF2，如图所示．
π → → ∵F1F2与F1P的夹角为6，
●三个防范 (1)区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在 椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2. (2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈(0,1)． x2 y2 b y2 (3)双曲线 a2 － b2 ＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是y＝±a x， a2 x2 a －b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是y＝± bx.
解析：由题意得a2＝16，b2＝m， ∴c2＝a2＋b2＝16＋m， 16＋m c2 2 又e＝2，由 2＝e ，得 ＝4，∴m＝48. a 16
答案：48
核心考点
引领通关
考点研析 变式通关
考点一
双曲线的定义及标准方程
【例1】
已知定点A(0,7)、B(0，－7)、C(12,2)，以C为一个
焦点作过A、B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程． 思维启迪：由于椭圆过A，B两点，且以C、F为焦点，所以可 利用椭圆的定义寻找点F所满足的关系．
y2 x2 解析：设双曲线方程为 2－ 2＝1， a b a 其中一条渐近线方程为y＝ x， b c2－a2 2 a 1 a ∴ ＝ ＝ 2 2，即 a2 ＝e －1＝4. b 2 c －a ∴e＝ 5.
答案：A
5．若双曲线 ______________.
y2 16
－
x2 m
＝1的离心率e＝2，则m＝
y＝kx＋b， 由 2 2 2x －y ＝1，
得(2－k2)x2－2kbx－b2－1＝0.
x1＋x2＝ 2kb 2， 2－k 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 2 － 1 － b x1x2＝ 2 . 2 － k 又y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)， → → 所以OP· OQ＝x1x2＋y1y2 ＝(1＋k2)x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2 1＋k2－1－b2 2k2b2 2 ＝ ＋ 2 2 ＋b 2－k 2－k
∵a＝ 2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14. x2 y2 ∴点M的轨迹方程是 2 －14＝1(x≥ 2)．
x2 y2 答案： 2 －14＝1(x≥ 2).
考点二
双曲线的几何性质
【例2】
(1)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对
称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离 心率为( A. 2 C．2 ) B. 3 D．3
x2 y2 x y 解析：双曲线 2 － ＝1的渐近线方程为 ± ＝0，整理得 a 9 a 3 3x± ay＝0，故a＝2，故选C.
答案：C
4．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为x－2y＝0，则它的离心率为( 5 A. 5 B. C. 3 2 D．2 )
通关训练1
已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与
圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解析：设动圆M的半径为r，则由已知|MC1|＝r＋ 2 ，|MC2|＝ r－ 2， ∴|MC1|－|MC2|＝2 2. 又C1(－4,0)，C2(4,0)， ∴|C1C2|＝8.∴2 2＜|C1C2|. 根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4,0)、C2(4,0)为焦 点的双曲线的右支．
通关训练2
x2 y2 (1)已知双曲线 － 2 ＝1的右焦点与抛物线y2 4 b
＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 ( ) A. 5 C．3 B．4 2 D．5
x2 y2 (2)已知双曲线 2 － 2 ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点是F1、F2， a b → → → 设P是双曲线右支上一点， F1F2 在 F1P 上的投影的大小恰好为| F1P π |，且它们的夹角为 ，则双曲线的离心率e是__________． 6
设M(x，y)，则|MF|
2
＝ x＋
6 2 2 2 2 ＋ y ＝ 3 x ＋ . 2 2
2 由M点是右支上一点，知x≥ 2 ， 2 所以|MF|＝ 3x＋ 2 ＝2 2，
6 6 得x＝ 2 .所以M ，± 2 . 2 (2)左顶点A － 2 ， 0 ，渐近线方程：y＝± 2x. 2
过点A与渐近线y＝ 2x平行的直线方程为： y＝
2 x＋
2 ，即y＝ 2x＋1. 2
2 x＝－ 4 ， y＝－ 2x， 解方程组 得 y＝ 2x＋1， y＝1. 2
2 所求平行四边形的面积为S＝|OA||y|＝ 4 . (3)设直线PQ的方程是y＝kx＋b. |b| 因直线PQ与已知圆相切，故 2 ＝1， k ＋1 即b2＝k2＋1.(*)