经历知识的形成成过程,建构“倍”的数学模型

经历“倍”概念的形成过程，建构“倍”的数学模型
-----“倍的认识”磨课实践与思考
《倍的认识》这节课，是人教版教材三年级上册第5单元第一课时的内容。

教材提供“小兔拔萝卜”的童话情景，让学生分清三种萝卜的名称和数量后，教材分四个层次教学。

首先，通过比较红萝卜（6根）与胡萝卜（2根）的数量，教材引导学生看一看、摆一摆、圈一圈、说一说活动，根据红萝卜有3个2根，引出了红萝卜的根数是胡萝卜的3倍，让学生初步感知“倍”。

其次，通过圈一圈，放手让学生在动手操作中比较白萝卜与胡萝卜根数的关系，根据“白萝卜有5个2根，得出白萝卜的根数是胡萝卜的5倍”。

第三，通过例题的对比，让学生发现：求“白萝卜（红萝卜）是胡萝卜的几倍”，都是以胡萝卜的根数为标准，把白萝卜（或红萝卜）每2根圈起来，再看白萝卜（或红萝卜）里包含了几个2，白萝卜（或红萝卜）的根数就是胡萝卜的几倍。

加深学生对倍概念的认识。

第四，通过做一做、练习，提供圆片、小棒、水果等活动，比较两个量的倍数关系的机会，帮助学生建立倍的直观模型，理解倍的本质特征。

基于对教材的分析理解，我们确定本课的【教学目标】为：（1）通过看、摆、圈活动，在情景中获得“倍”的直观体验，建立倍的概念；（2）在观察、比较、变化中进一步加深对“倍”本质的理解。

（3）培养学生观察、归纳、抽象、推理及语言表达能力，养成良好学习习惯。

【教学重点】经历“倍”概念的形成过程，建立倍的概念【教学难点】理解一个数是另一个数的几倍的含义。

【第一次试教】
1.创设情境，揭示课题（出示主题图）
黑兔2只，白兔4只；红萝卜3根；白萝卜6根；
师：根据“2只黑兔，4只白兔”，提出数学问题？
师：两个数量之间，除了有“比多与少”的相差关系，其实两个数之间还有一种-----“倍数”关系。

这节课我们就一起来认识“倍”
2.初步感知“倍”
通过4只白兔与2只黑兔比，把2只黑兔看成1份，白兔这样的2份，我们就说白兔的只数是黑兔的2倍。

3. 模仿表述“倍”。

（1）生摆小棒，自主探索，自己研究红萝卜的根数是白萝卜的（ 2 ）倍。

（第一行摆3根白萝卜，第二行摆6根红萝卜）
（2）看图说一说，三角形的个数与五角星（ 2 ）倍
4.通过比较，抽象出“倍”的模型
师：刚才研究的三幅图数量不同、形状不同，为什么都说第二行的数量是第一行的2倍呢？（同桌交流）
师：无论第一行有几个，只要以第一行的数量为标准，在第二行有这样的2份，也就是2个几，我们就说第二行的数量是第一行的2倍。

（抽象模型）
5.在变化中，加深“倍”的认识，凸显倍的本质
（1）标准不变，改变倍数。

摆小棒。

第一行摆4根，第二行摆第一行的2倍，第二行摆（）个（），第二行摆几根？摆3倍、4倍、5倍呢，怎么摆？
对比：有什么发现？
（2）改变标准，倍数改变。

圈一圈。

第二行有12根小棒，第一行小棒分别有6、3、4、1根，第二行小棒的根数是第一行的（）倍。

对比：又有什么发现？
（3）倍数不变，标准改变。

画一画，第二行图形的数量是第一行的3倍.
（4）拍手游戏，认识一个数的几倍是多少。

6.用“倍”的模型，解决问题。

（1）桃子：
梨：
推想梨有几个？
（2）如果梨有4个，你又能推想出什么呢？
桃子：？
梨：
？个
（3）如果这样呢，你能推想出桃子有几个吗？
桃子：？
梨：
27个
小结：在今后的学习中，如果遇到倍数关系的题目，老师希望你们先想到这样的关系图，然后再列式这样解决问题就非常方便了。

7.课堂小结。

【试教感受】
1. 改主题图不合理。

教学中为了绕开拗口的胡萝卜、红萝卜、白萝卜，我
把主题图进行了修改，只出现白萝卜的根数（6根）是红萝卜（3根）的2倍；黑图（4只）是白兔（2只）的2倍，且它们之间都是2倍的关系，想从两倍入手，初步认识倍，建立倍的概念。

这样修改虽然避免了各种说各种萝卜，但是学生在“2倍”和“两倍”之间表述时，也是绕来绕去，妨碍了学生课堂语言的表达，影响教学效果。

2.“倍”的表达，描述模糊。

我是引导学生从“1份”、“几份”的角度去描述的，如“4只白兔与2只黑兔比，把2只黑兔看成1份，白兔这样的2份，我们就说白兔的只数是黑兔的2倍。

”这样的描述，在引入新知时似乎降低了难度，学生只是从“形”去关注两个数量之间的关系，没有从“数”的角度去关注两个数量之间的关系，学生如果脱离图，学生很难联想到两个数量之间的联系。

所以，在教学“倍的认识”时需要数形结合，尊重学生已有的只是基础，要通过“几个几的关系”把两个数量之间联系起来，才能跟好的研究它们的倍数关系。

3.“倍”的模型，抽象太早。

学生只是从“白萝卜的根数（6根）是红萝卜（3根）的2倍；黑兔（4只）是白兔（2只）的2倍；三角形的个数与五角星（ 2 ）倍”这三次经历中，很难抽象出“倍”的模型。

这样的教学没有多层次的活动，没有充分的感知，让学生充分经历只是的形成过程，学生很难理解倍的概念，所以导致学生对“倍的认识”表述不清，对倍的本质更是一无所知。

【教学亮点剖析】
1.数形结合抽象倍模型。

对于“倍的认识”，教学中运用模型思想让学生认识倍的概念，建立倍的直观模型，表达出倍的本质特征，抽象概括出基本的数量关系。

2.注重几何直观，解释倍模型。

练习中设计用倍的模型解决问题，注重几何
直观，帮助学生借助示意图分析数量关系，为后面两个课时的学习做了很好的铺垫作用，使本课的教学起到种子课的辐射作用。

3.在变化中，加深对倍本质的认识。

针对倍数关系的变化，利用摆小棒的资源，通过设计连续的情景，不断改变两个比较的量的数量，让学生在不断的变化中进一步认识“倍”。

首先是增减连续量的变化；然后时改变标准量；让学生在感受比较倍数关系时，标准的重要性。

【团队质疑】
1.教学中要不要使用主题图，主题图能不能改？
2.教学中用“1份、几份”来认识倍，还是用“几个几”来认识倍
3.教学中如何突出“标准量”，要不要强调“谁和谁比？”
4.练习设计既要有坡度，又要少而精，怎么设计更合理？
【教后思考】
1. “倍”的上位知识是什么？“倍”是小学教材中比较抽象的概念，“倍”代表着两个数量之间的关系，是两个量比较的结果。

本课时的学习是学生在认识了乘法和除法的基础上安排的，学生已有的知识基础是“几个几”，教材主题图也是通过3个2根和5个2根的关系，引出倍的含义的。

布鲁纳认为：“学习是在原有知识的基础上产生的，不管采取的形式怎样，个人的学习都是通过把新的信息和原有的认知结构联系起来，积极建构新的认知结构。

”所以教学中，我还是要用好主题图，抓住“几个几”与新知“几倍”之间的联系来进行授课。

2. “倍”的本质是什么？教学中如何展开更合理？“倍”的本质是两个量比较的结果，而非一个量。

所以在教学中，如何将“比较”贯穿与整个教学之中。

首先是标准量不变，比较量变化，让学生体会“倍”的变化-，有这样的几个几，就是有这样的几倍。

第二，改变标准量，通过对比，异中求同，抽象出
倍的直观模型，让学生感受到倍的本质就是两个量在进行比较时，有这样的几份，就是这个数的几倍；第三层，是标准改变，比较量不变时，通过动手摆一摆的活动，让学生体会倍的改变，教学中制造这样的矛盾冲突，就是为了是学生在反思对比中体会到比的标准很重要，当标准发生改变时，虽然比较量不变，但倍数也会跟着变。

这样的教学中，对于“倍”概念的建立，既有标准结构，有提供变式结构，使学生体会到不同的两个量进行比较时，以一个量为标准，另一量里面有这样相同的几份就是几倍，在变中求不变，在异中求同，从“形”到“数”较好的沟通了知识之间的区别和练习。

3. “1倍.”、“0倍”要不要处理？怎么处理？
【第二次试教】
一、创设情境，引出概念---“倍”。

秋天到了，小兔一家到地里去收萝卜。

师：数一数每种萝卜各有多少根？
师：根据“2根胡萝卜，6根红萝卜”这两条数学信息，你能提出哪些数学问题？师：两个数量之间，除了有“比多与少”的相差关系，还有一种“倍数”关系。

这节课我们就来学习“倍的认识”（师板书课题：倍的认识）
二、新知教学，认识“倍”。

1.初步感知“倍”，建立“倍”的表象
师：有人能看出红萝卜的根数是胡萝卜（）倍吗？（板书3倍）你是怎么想的？演示给大家看（摆、圈）。

生质疑：你为什么要2根2根的摆？
师：（课件）胡萝卜有2根，红萝卜有（）个2根，我们就说红萝卜的根数是胡萝卜的3倍。

2.模仿表述“倍”，强化倍的表象
师：白萝卜的根数是胡萝卜的（）倍呢，这个问题能自己解决吗？
生摆、圈、交流，自主探究。

师追问：白萝卜为什么也要2根2根的摆？
师：胡萝卜有2根，白萝卜有5个2根，我们就说白萝卜的根数就是胡萝卜的5倍
3.理解认识“倍”，凸显倍的本质。

（1）改变份数，加深对倍的认识。

师：如果小兔又拔了2根白萝卜，现在白萝卜的根数是胡萝卜的几倍？
如果运走一些，现在白萝卜的根数是胡萝卜的几倍？再运走一些呢？
师：观察这些题目，你们有什么发现？（同桌交流）
师：以胡萝卜的根数为标准来比，白萝卜有几个2，我们就说白萝卜的根数就是胡萝卜的几倍。

（2）改变标准，加深对“倍”的认识
师：求白萝卜的根数是红萝卜的（）倍,需要哪些信息？
思考：如果只知道白萝卜有12根，能求白萝卜的根数是红萝卜的（）倍吗？为什么？
师：“倍”是两个数量相比较才产生的，只有一个量，讨论“倍”是没有意义的。

师：出6根红萝卜，现在能求白萝卜的根数与红萝卜的（）倍吗？
如果红萝卜倍吃掉一些，再吃掉，又吃掉，你还会求白萝卜的根数与红萝卜的（）倍吗？
生练习纸上圈一圈，填一填，圈好后跟同桌交流：你是怎样想的？
师：都是求白萝卜的根数是红萝卜的（）倍，为什么圈法不一样呢？（引发对标准的关注）
师：红萝卜的根数变了，圈的标准就会改变，白萝卜与胡萝卜之间的倍数关系也会改变。

三、多角度练习，完善“倍”的认识。

1.通过多种结构，建构“倍”的直观模型。

（填空）
（1）标准结构模型的实物图：苹果的个数是草莓的（）倍
（2）非标准结构模型的示意图：蓝圆是绿圆的（）倍；红圆是绿圆的（）倍；
红圆是蓝圆的（）倍；
（3）散乱结构模型图：桃子的个数第香蕉的（）倍（）
（4）几何直观的线段图：长跳绳是短跳绳的几倍
2.呈现错误结构，内化“倍”的直观模型。

（判断）
00
000 000
第二行的数量是第一行的2倍
3.动手操作，抽象“倍”的数学模型。

（画一画）
画第二行图形的个数是第一行的2倍。

第一行画：（）个
第二行画：（）个（）
师：第一行无论画几个，只要以第一行个数为标准，第二行画这样的2份，第二行的数量就是第一行的2倍。

（抽象模型）
如果再增加同样的1份呢，第二行的数量是第一行的几倍？如果第二行有这样
的4份，第二行的数量是第一行的几倍？
4.解释运用“倍”模型，解决问题。

过渡：水果店的桃和梨有这样的倍数关系。

如果桃有5个，你能推想出梨有几个吗？（课件）
（1
梨：
？个
（2）如果梨有27个，你能推想出桃的个数吗？
桃子：？个
27个
四、课堂回顾与反思。

师：今后如果遇到有关“倍”的数学问题，希望你们能先想到这样的关系图，找准有（）个（），然后再联系乘法或除法的知识来解决。

【课后思考】
1.主线更清晰，素材更简单。

从主题图入手，用3个2根引入“倍”的概念。

在这个环节中解决怎样圈？为什么这样圈？引发学生关注跟谁比，就以谁为标准来圈，同时关注学生的语言表述。

5个2根的教学，放手让学生探索，加深对倍的认识，熟练用语言表征两个数量之间倍数关系。

由5个2根后，动态的引出6个2、4个2、1个2、0个2的思考，让学生
通过对比发现：都是以胡萝卜的根数为标准，白萝卜有几个2，白萝卜的根数就
是胡萝卜的几倍。

由白萝卜与红萝卜的对比中，让学生圈一圈，填一填，让学生直观感知标
准改变，圈法就会改变，倍数关系也会随之改变。

2.学生感知更充分，倍的结构更丰富。

充分利用主题图教学让学生感知倍，认识倍。

红萝卜与胡萝卜比一次，通
过圈、摆、说认识3倍，白萝卜与胡萝卜比6次，通过圈、摆、说认识了5倍、
6倍、4倍、2倍、1倍、0倍；白萝卜与红萝卜比4次，通过圈一圈、填一填认
识了2倍、3倍、4倍、12倍等。

练习中提供不同结构，丰富学生对倍的结构认识。

如整齐结构的倍、散乱
结构的倍；有实物图的，有示意图的；有标准量在上面的，有标准量在下面的；
有正确结构的，有错误结构的，通过呈现不同的结构，巩固学生对倍的认识。

3.结构更优化，学得更轻松。

课堂是促进学生发展的主阵地，纵观在本课的成长经历，让我感受到：研
读教材，理清编者的意图，尊重学生知识基础，课堂才会彰显出勃勃生机。

课
堂中关注数学思想的渗透，突出活动经验的积累，让学生经历知识的形成过程，
课堂才能成为学生成长的摇篮，课堂才能走向深刻和高效。

教学设计的内容应
当适当简化，注意把握好各个环节之间的衔接和过渡，关注过程中的重点是否
突出，难点是否突破，学生是否有深入思考，在进行适量的、有层次的、有拓
展的练习，这样才能带给学生轻松愉快的学习。

2018-10-01。