二次函数二次函数的概念及特殊二次函数的图像
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精心整理 【新知归纳与梳理】 【主要结论归纳】 【例题分析】
【例1】判断下列函数中,哪些是二次函数?
(1)222y x x =-++(2)21y x x =++(3)21
2y x x =++(4)2(2)23y a x x =--++
【例2】函数33222)1(---=k k x k y 的图像是抛物线,求k 的值。
【例3】二次函数2223m m x mx y -+-=的图像过原点,求m 的值。
【例4】若抛物线m x x y ++=62的顶点在x 轴上,求m 的值。
【例5】在二次函数n mx x y ++=2中,如果0=-n m ,那么它的图像一定经过点_________。
【例6】抛物线321
2+=x y 的对称轴是__________,顶点坐标是__________,它与抛物线221x y =的形
___________。
【例7】把抛物线22x y -=向_______平移________个单位,就得到函数622--=x y 的图像。
【例8】把函数22x y -=的图像_________________________就会得到函数22x y =的图像。
【例9】已知抛物线的顶点为原点,对称轴是y 轴,且经过点(2,-2),求此抛物线的表达式_。
【例10】二次函数2ax y =与一次函数43-=x y 的图像都经过点A )2,(b ,求a ,b 的值。
【例11】如图所示,直线AB 过x 轴上的点A (2,0),且与抛物线2ax y =交于B 、C 两点,已知B (
1)。
(1)求直线AB 和抛物线2ax y =的表达式;
(2)如果抛物线上有一点D ,使OBC OAD S S ??=,求D 点的坐标。
【同步练习】
【拓展练习】
21.如图,二次函数m mx y 42+-=的顶点坐标为(0,2),矩形ABCD 在抛物线与x 轴所围成的图形内
(1)求此二次函数的解析式;
(2)设点A 的坐标为(y x ,),试求矩形ABCD 的周长P 关于自变量x 的函数解析式,并求出自变量的取值范围;
(3)是否存在这样的矩形ABCD ,使它的周长为9?试证明你的结论。
二次函数的图像教学设计
《二次函数的图像(1)》教学设计 教学目标: 1、经历描点法画函数图像的过程; 2、学会观察、归纳、概括函数图像的特征; 3、掌握2ax y =型二次函数图像的特征; 4、经历从特殊到一般的认识过程,学会合情推理。 教学重点: 2ax y =型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳 教学难点: 选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像,该过程较为复杂。 教学设计: 一、回顾知识 前面我们在学习正比例函数、一次函数和反比例函数时时如何进一步研究这些函数的?先(用描点法画出函数的图像,再结合图像研究性质。) 引入:我们仿照前面研究函数的方法来研究二次函数,先从最特殊的形式即 2ax y =入手。因此本节课要讨论二次函数2ax y =(0≠a )的图像。 板书课题:二次函数2ax y =(0≠a )图像 二、探索图像 1、 用描点法画出二次函数2x y =和2x y -=图像 ①无论x 取何值,对于2x y =来说,y 的值有什么特征?对于2x y -=来说,又有什么特征? ②当x 取 1,2 1 ±±等互为相反数时,对应的y 的值有什么特征? (2) 描点(边描点,边总结点的位置特征,与上表中观察的结果联系起来). (3) 连线,用平滑曲线按照x 由小到大的顺序连接起来,从而分别得到
2x y =和2x y -=的图像。 2、 练习:在同一直角坐标系中画出二次函数22x y =和22x y -=的图像。 学生画图像,教师巡视并辅导学困生。(利用实物投影仪进行讲评) 3、二次函数2ax y =(0≠a )的图像 由上面的四个函数图像概括出: (1) 二次函数的2ax y =图像形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线, (2) 这条抛物线关于y 轴对称,y 轴就是抛物线的对称轴。 (3) 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。注意:顶点不是与y 轴的交点。 (4) 当o a 时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线上的最低点,图像在x 轴的上方(除顶点外);当o a 时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线上的最高点图像在x 轴的下方(除顶点外)。 (最好是用几何画板演示,让学生加深理解与记忆) 三、 课堂练习 观察二次函数2x y =和2x y -=的图像 (2)在同一坐标系内,抛物线2x y =和抛物线2x y -=的位置有什么关系?如果在同一个坐标系内画二次函数2ax y =和2ax y -=的图像怎样画更简便? (抛物线2x y =与抛物线2x y -=关于x 轴对称,只要画出2ax y =与2 ax y -=中的一条抛物线,另一条可利用关于x 轴对称来画) 四、例题讲解 例题:已知二次函数2ax y =(0≠a )的图像经过点(-2,-3)。 (1) 求a 的值,并写出这个二次函数的解析式。 (2) 说出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置。 练习:(1)课本第31页课内练习第2题。 (2)已知抛物线y=ax2经过点A (-2,-8)。 (1)求此抛物线的函数解析式;
二次函数概念和图像
二次函数概念与性质 【知识概要】 1.二次函数的概念 一般地,解析式形如(其中a、b、c是常数,且)的函数叫做二次 函数.二次函数的定义域为一切实数. 2.二次函数图像特征 二次函数的图像是一条曲线,类似于抛出物体在空中所经过的路线,所以称为抛物线.二次函数的图像,叫做抛物线. 开口方向:抛物线的开口向上或者向下. 对称轴:二次函数的图像是轴对称图形.抛物线左侧部分沿着对称轴翻转能得到右侧部分的图像. 顶点:抛物线与对称轴的交点,为抛物线的最低点或最高点. 3.特殊二次函数的性质与图像 ◆一般地,二次函数(其中是常数,且)的图像是抛物线,称为 抛物线.这时,是这条抛物线的表达式. 抛物线(其中a是常数,且)的图像性质如下: (1)开口方向:由a所取值的符号决定,当时,它的开口向上,顶点是抛物线的最低点;当时,它的开口向下,顶点是抛物线的最高点. (2)对称轴:轴,即直线. (3)顶点:原点. ◆一般地,二次函数的图像是抛物线,称为抛物线,它可 以通过将抛物线向上(时)或向下(时)平移个单位得到.由此可知抛物线(其中是常数,且)的图像性质如下: (1)开口方向:当时,它的开口向上,顶点是抛物线的最低点; 当时,它的开口向下,顶点是抛物线的最高点.
(2)对称轴:轴,即直线. (3)顶点:. 一般地,抛物线(其中a、m是常数,且)可以通过将抛物线向左(时)或向右(时)平移个单位得到. 由此可知:抛物线(其中a、m是常数,且)的图像性质如下: (1)开口方向:当时,抛物线开口向上,顶点是抛物线的最低点; 当时,抛物线开口向下,顶点是抛物线的最高点.(2)对称轴:过点且平行(或重合)于轴的直线,即直线. (3)顶点:. 4.一般二次函数的性质与图像 抛物线(其中a、m、k是常数,且)的图像性质如下: (1)开口方向:当时,它的开口向上,顶点是抛物线的最低点; 当时,它的开口向下,顶点是抛物线的最高点. (2)对称轴:是过点且平行(或重合)于轴的直线,即直线. (3)顶点:. 对二次整式配方,得 所以. 将上式与作比较,得 由此可知,抛物线(其中是常数,且)的图像性质如下:
二次函数的基本概念的理解与应用
二次函数概念 学习要求 1.熟练掌握二次函数的有关概念. 2.熟练掌握二次函数y =ax 2的性质和图象. 综合、运用、诊断 一、填空题 1.抛物线y =ax 2的顶点是______,对称轴是______.当a >0时,抛物线的开口向______;当a <0时,抛物线的开口向______. 2.抛物线y =ax 2,|a |越大则抛物线的开口就______,|a |越小则抛物线的开口就______. 3.二次函数y =ax 2的图象大致如下,请将图中抛物线字母的序号填入括号内. (1)y =2x 2如图( );(2)22 1x y = 如图( );(3)y =-x 2 如图( ); (4)231x y -=如图( );(5)29 1 x y =如图( );(6)291x y -=如图( ). 4.已知函数,2 3 2x y -=不画图象,回答下列各题. (1)开口方向______;(2)对称轴______;(3)顶点坐标______;(4)当x ≥0时,y 随x 的增大而______; (5)当x ______时,y =0;(6)当x ______时,函数y 的最______值是______. 5.在下列函数中①y =-2x 2;②y =-2x +1;③y =x ;④y =x 2,回答: (1)______的图象是直线,______的图象是抛物线. (2)函数______y 随着x 的增大而增大.函数______y 随着x 的增大而减小. (3)函数______的图象关于y 轴对称.函数______的图象关于原点对称. (4)函数______有最大值为______.函数______有最小值为______. 6.已知函数y =ax 2+bx +c (a ,b ,c 是常数).(1)若它是二次函数,则系数应满足条件______. (2)若它是一次函数,则系数应满足条件______.(3)若它是正比例函数,则系数应满足条件______. 7.已知函数y =(m 2-3m )1 22--m m x 的图象是抛物线,则函数的解析式为______,抛物线的顶点坐标为______, 对称轴方程为______,开口______. 9.已知函数y =m 2 22+-m m x +(m -2)x . (1)若它是二次函数,则m =______,函数的解析式是______,其图象是一条______,位于第______象限. (2)若它是一次函数,则m =______,函数的解析式是______,其图象是一条______,位于第______象限. 9.已知函数y =m m m x +2,则当m =______时它的图象是抛物线;当m =______时,抛物线的开口向上;当m =______时抛物线的开口向下. 二、选择题 110.下列函数中属于一次函数的是( ),属于反比例函数的是( ),属于二次函数的是( ) A .y =x (x +1) B .xy =1 C .y =2x 2-2(x +1)2 D .132+=x y 11.在二次函数①y =3x 2;②223 4 ;32x y x y == ③中,图象在同一水平线上的开口大小顺序用题号表示应该为 A .①>②>③ B .①>③>② C .②>③>① D .②>①>③ 12.对于抛物线y =ax 2,下列说法中正确的是( ) A .a 越大,抛物线开口越大 B .a 越小,抛物线开口越大 C .|a |越大,抛物线开口越大 D .|a |越小,抛物线开口越大 13.下列说法中错误的是( ) A .在函数y =-x 2中,当x =0时y 有最大值0
二次函数综合题经典习题(含答案及基本讲解)
二次函数综合题训练题型集合 1、如图1,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线m x y+ =与该二次函数的图象交于A、B两点,其中A点的坐标为(3,4),B点在轴y上. (1)求m的值及这个二次函数的关系式; (2)P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合),过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点,设线段PE的长为h,点P的横坐标为x,求h与x之间 的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四边形?若存在,请求出此时P点的坐标;若不存在,请说 明理由. 2、如图2,已知二次函数24 y ax x c =-+的图像经过点A和点B.(1)求该二次函数的表达式; (2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标; (3)点P(m,m)与点Q均在该函数图像上(其中m>0),且这两点关于抛物线的对称轴对称,求m的值及点Q 到x轴的距离 E B A C P 图1 O x y D x y O 3 -9 -1 -1 A B 图2
P B A C O x y Q 图3 3、如图3,已知抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0),A(4,0),B(3,3)三点,连结AB ,过点B 作BC ∥x 轴交该抛物线于点C. (1) 求这条抛物线的函数关系式. (2) 两个动点P 、Q 分别从O 、A 两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中,点P 沿着线段0A 向A 点运动,点Q 沿着折线A →B →C 的路线向C 点运动. 设这两个动点运动的时间为t (秒) (0<t <4),△PQA 的面积记为S. ① 求S 与t 的函数关系式; ② 当t 为何值时,S 有最大值,最大值是多少?并指出此时△PQA 的形状; ③ 是否存在这样的t 值,使得△PQA 是直角三角形?若存在,请直接写出此时P 、Q 两点的坐标;若不存在,请说明理由. 7、(07海南中考)如图7,直线43 4 +- =x y 与x 轴交于点A ,与y 轴交于点C ,已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B . (1)求该二次函数的关系式; (2)设该二次函数的图象的顶点为M ,求四边形AOCM 的面积; (3)有两动点D 、E 同时从点O 出发,其中点D 以每秒 2 3 个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动,点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C → A 的路线运动, 当D 、E 两点相遇时,它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时,ODE ?的面积为S . ①请问D 、E 两点在运动过程中,是否存在DE ∥OC ,若存在,请求出此时t 的值;若不存在,请说明理由; ②请求出S 关于t 的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围; ③设0S 是②中函数S 的最大值,那么0S = . C A M y B O x C A M y B O x C A M y B O x
几种特殊的二次函数的图象特征如下
当时开口向上当时开口向下(轴) (轴) (0,) (,0) (,) () 的图象 的解 方程有两个相等实数解 四、规律方法指导 1.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法:,∴顶点是,对称轴是直线. (2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为的形式,得到顶点为(, ),对称轴是直线.
2.直线与抛物线的交点 (1)轴与抛物线得交点为(0,). (2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,). (3)抛物线与轴的交点 二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标、,是对应一元二次方程 的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别 式 判定: ①有两个交点抛物线与轴相交; ②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切; ③没有交点抛物线与轴相离. (4)平行于轴的直线与抛物线的交点 同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为 ,则横坐标是的两个实数根. (5)一次函数的图象与二次函数的图象的交点,由方程 组的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时与有两个交点;②方程组只有一组解时与只有一个交点;③方程组无解时与没有交点. (6)抛物线与轴两交点之间的距离:若抛物线与轴两交点为, 由于、是方程的两个根,故 抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c的作用
决定对称轴的位置,对称轴是直线 b-4ac<0 抛物线与x轴无公共点 确定二次函数的最大值或最小值,首先先看自变量的取值范围.再分别求出二次函数在顶点处的函数值和在端点处的函数值,比较这些函数值,其中最大的是函数的最大值,最小的是函数的最小值. ①若自变量的取值范围是全体实数,函数有最大值或最小值,如图所示. 图(1)中,抛物线开口向上,有最低点,则当时,函数有最小值是; 图(2)中,抛物线开口向下,有最高点,则当时,函数有最大值是. ②若自变量的取值范围不是全体实数,函数有最大值或最小值,如图所示.
二次函数基本定义完整版
二次函数基本定义 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
基本定义一般地,把形如 (a、b、c是)的叫做二次函数,其中a称为,b为,c为。x 为,y为。等号右边自变量的最高次数是2。 顶点坐标 为 (仅限于与x轴有交点的抛物线), 与x轴的交点坐标是和 顶点式 y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k)[4],对称轴为直线x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2 的图像相同,当x=h时,y最大(小)值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。 例:已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10),求y的解析式。 解:设y=a(x-1)2+2,把(3,10)代入上式,解得y=2(x-1)2+2。 注意:与点在中的平移不同,二次函数平移后的顶点式中,h>0时,h越大,图像的对称轴离y轴越远,且在x轴正方向上,不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。[2] 具体可分为下面几种情况:
当h>0时,y=a(x-h)2的图像可由抛物线y=ax2向右平行移动h 个单位得到; 当h<0时,y=a(x-h)2的图像可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到; 当h>0,k>0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)2+k的图象; 当h>0,k<0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象; 当h<0,k>0时,将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象; 当h<0,k<0时,将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。[5] 交点式 [仅限于与x轴即y=0有交点时的 与X轴交点的情况: 当时,函数图像与x轴有两个交点,分别是(x1,0)和 (x2,0)。 当时,函数图像与x轴只有一个切点,即 。[2] 当 时,抛物线与x轴没有公共交点。x的取值范围是虚数 抛物线,即b2-4ac≥0]. 已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x1,0)和B(x2,0),我们可设
二次函数知识点梳理
初三年级数学—二次函数的基础 一、考点、热点回顾 二次函数知识点 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2 y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c , 可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c , ,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2 y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2 y ax c =+的性质:上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质:左加右减。
4. ()2 y a x h k =-+的性质: 三、二次函数图象的平移 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴ c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵ c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得 到前者,即2 2424b ac b y a x a a -??=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-=,. 五、二次函数2 y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2 y ax bx c =++化为顶点式2 ()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、 与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 六、二次函数2 y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a =-时,y 有最小值2 44ac b a -.
二次函数的概念和图像
二次函数 二次函数的概念: 问题1、现有一根12m 长的绳子,用它围成一个矩形,如何围法,才使矩形的面积最大?小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ,它的面积最大,他说的有道理吗? 问题2、很多同学都喜欢打篮球,你知道吗:投篮时,篮球运动的路线是什么曲线?怎样计算篮球达到最高点时的高度? 这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决,今天我们学习“二次函数”. 探索: 请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系: (1)面积y (cm 2)与圆的半径 x ( cm ) (2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期,一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为 x 两年后王先生共得本息y 元; (3)拟建一个矩形温室,其周长为120m , 设一条边长为 x (m), 求其面积 y (m 2) 与边长的关系式. 上述三个函数解析式具有哪些共同特征? 归纳总结:上述三个函数解析式经化简后都具y=ax2+bx+c (a,b,c 是常数, a ≠0)的形式. 二次函数 1.定义:我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,C 是常数,a ≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion) ,称a 为二次项系数, b 为一次项系数,c 为常数项, 请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项 (一) 做一做 1、 下列函数中,哪些是二次函数? (1)2 x y = (2) 21x y - = (3) 122 --=x x y (4))1(x x y -= (5))1)(1()1(2-+--=x x x y